三角問題靈活多變，多維探究發(fā)散思維

陳國林

解三角形問題一直是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般難度不大，但是需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力. 隨著新課程的推進(jìn)，解三角形問題也呈現(xiàn)出了不同的考查形式和命題形式，其中最具特點(diǎn)的就是開放性解三角形問題.

一、真題再現(xiàn)

【例題】（2020年高考全國I卷，文18，12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 已知B=150°.

（1）若a= c，b=2 ，求△ABC的面積;

（2）若sinA+ sinC= ，求C.

【考向分析】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式和三角恒等變換，意在考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)，較好地對考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想進(jìn)行了考查.

【思維引領(lǐng)】（1）根據(jù)題意，B=150°，通過余弦定理，即可求得c=2，a=2 ，進(jìn)而通過三角形面積公式S△ABC=? acsinB= ·2 ·2· = .

（2）通過三角形三邊和為180°，將A=180°-150°-C代入sinA+ sinC= ，根據(jù)C的范圍，即可求得C=15°.

【解析】（1）△ABC中，B=150°，a= c，b=2 ，cosB= = =- ，

∴ c=2（負(fù)值舍去），a=2 ，∴ S△ABC= acsinB= ·? ? 2? ·2· = .

（2） sinA+ sinC= ， 即sin（180°-150°-C）+ sinC = ，

化簡得 cosC+ sinC= ，sin（C+30°）= ，∵ 0°

∴ 30°

【點(diǎn)評】解三角形時(shí)，一般是根據(jù)正弦定理求邊或列等式，若式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理;余弦定理揭示的是三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，若式子中含有角的余弦或邊的二次式，則考慮用余弦定理;若以上特征都不明顯，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

二、多維探究

高考真題是最經(jīng)典的數(shù)學(xué)試題，因此我們要反復(fù)的去研究和訓(xùn)練，為了更好的讓同學(xué)們掌握常見的解三角形的命題形式，下面我們對2020年高考全國I卷文科第18題作深入探究.

素養(yǎng)解讀：題目給出一個(gè)角、一個(gè)邊和另外兩個(gè)邊之間的關(guān)系，可通過余弦定理建立等式關(guān)系解方程，這里能夠較好的檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)，要求三角形的面積，需要知道兩邊及其夾角，結(jié)合所給條件可以發(fā)現(xiàn)滿足求解條件，這里能夠進(jìn)一步深入的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算.

有關(guān)三角函數(shù)式的化簡，關(guān)鍵在于“統(tǒng)”，常見的統(tǒng)一形式有統(tǒng)一角度和統(tǒng)一邊長，這里需要發(fā)掘一個(gè)三角形中的隱含條件，即三角形的內(nèi)角和為180°，利用A=180°-150°-C將A用C表示，這里能夠較好的對考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力進(jìn)行考查，再利用輔助角公式求解第二問時(shí)，這里需要注意C的取值范圍.

通過以上分析，相信大家已經(jīng)對這道解三角形問題有著深刻的印象了，下面在例題的基礎(chǔ)上，我們來一起探究一下它的變式題型：

【探究1】若b=3，求△ABC面積的最大值

【解析】△ABC的面積S= acsinB= ac. 由已知及余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即9=a2+c2-2accos ，又a2+c2≥2ac，所以ac≤ =18-9 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號成立. 因此△ABC面積的最大值為 .

【探究2】若△ABC的面積S= c2，求sinC的值.

【解析】∵ B= ，∴ sinB= ，由S= acsinB= ac= c2，得a= c，∴ b2=a2+c2-2bccosB=7c2，則b= c，由正弦定理得sinC= = .

【探究3】若△ABC的面積為 ，b=2 ，求△ABC的周長.

【解析】因?yàn)镾△ABC= acsinB= ac= ，解得ac=4 ，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac，解得a+c=2 +2，故△ABC的周長為 2（ + +1）.

三、解三角形命題新形式分析

新高考試題中展現(xiàn)出了一道解三角形新題型，該新題型的呈現(xiàn)形式為從三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件再進(jìn)行解答，與山東省模擬考試試題命題形式完全吻合，這也意味著面對高考開放解答題型的備考，將以這類開放性試題為依據(jù)，當(dāng)然，開放解答題并不一定拘泥于解三角形，也可能放在其它知識點(diǎn)中，預(yù)計(jì)考查難度不會太大.

【例題】（2020年山東高考）在① ac= ，② csinA=3，③ c= b這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA= sinB，C= ，_______？

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】① ac= . 在△ABC中，sinA= sinB，即b= a，ac= ，∴ c= ，cosC= = = ，∴ a= ，b=1，c=1.

② csinA=3. △ABC中，csinA=asinC=asin =3，∴ a=6. ∵ sinA= sinB，即a= b，∴ b=2 . cosC= = = ，∴ c=2 .

③ c= b. ∵ sinA= sinB，即a= b. 又∵ c= b，cosC= = ≠cos ，與已知條件C= 相矛盾，所以問題中的三角形不存在.

【點(diǎn)評】① 根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵. ② 熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.

四、常見誤區(qū)

解決解三角形問題需要做到力避易錯(cuò)點(diǎn)，這樣才能確保不失分，少失分. 在已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，在求得另一內(nèi)角的正弦值后，求角時(shí)不要忽略角的范圍，這時(shí)需要根據(jù)大邊對大角，大角對大邊和三角形內(nèi)角和為180° 的規(guī)則來驗(yàn)證. 在遇到有關(guān)等式的化簡時(shí)，應(yīng)注意在三角形ABC中sinA=sinB，可推出A=B或A+B=π，缺一不可. 在解三角形問題中，一般等式兩邊不要隨意約去公因式，而應(yīng)通過移項(xiàng)提取公因式，以免造成漏解致誤. 最后要指出的是不要忽略了構(gòu)成三角形的前提條件：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

五、新題速練

1.（2020湖南岳陽模擬）已知△ABC是斜三角形，內(nèi)角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c. 若csinA= acosC.

（1）求角C;

（2）若c= ， 且sinC+sin（B-A）=5sin2A，求△ABC的面積.

【解析】（1）根據(jù) = ，可得csinA=asinC，又∵ csinA= acosC，∴ asinC= acosC，∴ sinC= cosC，∴ tanC= = ，∵ C∈（0， π），∴ C= .

（2）∵ sinC+sin（B-A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴ sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A，

∴ 2sinBcosA=5×2sinAcosA.

∵ △ABC為斜三角形，∴ cosA≠0，∴ sinB=5sinA. 由正弦定理可知b=5a，……①

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，

∴ 21=a2+b2-2ab× =a2+b2-ab，……②

由①②解得a=1，b=5，∴ S△ABC = absinC= ×1×5× = .

2.（2020山東泰安模擬）在①asinC- ccosBcosC= bcos 2 C;②5ccosB+4b=5a;③（2b-a）cosC=ccosA，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 且滿足______.

（1）求sinC;

（2）已知a+b=5，△ABC的外接圓半徑為 ，求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn).

【解析】選擇條件①：

（1）因?yàn)閍sinC- ccosBcosC= bcos 2 C，所以由正弦定理得sinAsinC= sinCcosBcosC+ sinBcos 2 C，即sinAsinC= cosC（sinCcosB+sinBcosC），故sinAsinC= cosCsinA，又A∈（0， π），故sinA≠0，所以sinC= cosC，即tanC= . 由C∈（0， π）， 得C= . 所以sinC=sin = ，

（2）由正弦定理得c=2× sin =4，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos =（a+b）2-3ab=16，所以ab= ，故ab=3，于是得△ABC的面積S= absinC= ch，所以h= = = ，

選擇條件②：

（1）因?yàn)?ccosB+4b=5a，由正弦定理得5sinCcosB+4sinB=5sinA，即5sinCcosB+4sinB = 5sin（B+C） = 5sinBcosC+5cosBsinC，于是sinB（4-5cosC）=0，

在△ABC中，sinB ≠0，所以cosC= ，sinC= = ，

（2）由正弦定理得c=2× × = ，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2- ab= ，所以ab=[（a+b）2- ]× = ，

于是得△ABC的面積S= absinC= ch，所以h= = × × = .

選擇條件③：

（1）因?yàn)椋?b-a）cosC=ccosA，所以由正弦定理得（2sinB-sinA）cosC = sinCcosA，所以2sinBcosC= sin（A+C） = sinB，因?yàn)锽∈（0， π），所以sinB ≠0，所以cosC=? ，

又C∈（0， π），所以C=? ，所以sinC=? .

（2）由正弦定理得c=2× sin =4，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos =（a+b）2-3ab=16，所以ab= ，故ab=3，于是得△ABC的面積S= absinC= ch，所以h= = = .

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)