基于主體退出效應(yīng)的灰色無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型研究

◆段林博 王迪飛

（1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所江蘇 210007；2.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院江蘇 211106）

無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)演化模型（簡(jiǎn)稱BA模型），是Barab演化模和Albert通過(guò)提取真實(shí)網(wǎng)絡(luò)演化過(guò)程中普遍存在的規(guī)模增長(zhǎng)與偏好選擇兩種機(jī)制建立的網(wǎng)絡(luò)演化模型[1]。BA模型突破以往假定網(wǎng)絡(luò)規(guī)模不變與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)始終為規(guī)則或均勻的限制，使得演化機(jī)制能夠在更符合現(xiàn)實(shí)的情境中進(jìn)行研究，極大地拓展了以網(wǎng)絡(luò)為工具研究實(shí)際動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)的應(yīng)用范圍。然而，BA模型只考慮了實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的部分演化機(jī)制，主體退出行為、主體間連線斷鍵等現(xiàn)象并未考慮。因此，BA模型的某些性質(zhì)與真實(shí)網(wǎng)絡(luò)仍有較大差異，普適性較弱。主體退出行為會(huì)在很多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)并伴隨網(wǎng)絡(luò)的整個(gè)演化周期，例如市場(chǎng)中主體的退出是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的一個(gè)必然要求，因?yàn)橐粋€(gè)經(jīng)濟(jì)體沒(méi)有退出，就不可能產(chǎn)生有效的市場(chǎng)定價(jià)機(jī)制，進(jìn)而也就不可能形成資源的優(yōu)化配置。戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)集群、技術(shù)創(chuàng)新網(wǎng)絡(luò)等亦是如此，沒(méi)有主體的退出，就無(wú)法催生新循環(huán)，集群網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有了新鮮血液，整體的效率就會(huì)降低，新興技術(shù)停滯不前，錯(cuò)失發(fā)展良機(jī)。因此，利用BA模型研究主體退出效應(yīng)更加貼合實(shí)際，更具實(shí)踐意義。

目前，結(jié)合BA模型研究主體退出效應(yīng)的文獻(xiàn)數(shù)量相對(duì)較少，主要集中在理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真兩個(gè)方面。Moore C[2]構(gòu)建了隨機(jī)刪除節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)演化模型，發(fā)現(xiàn)隨著刪除節(jié)點(diǎn)規(guī)模的不斷增大，度指數(shù)發(fā)散，網(wǎng)絡(luò)度分布從冪律分布逐漸向廣延指數(shù)分布過(guò)渡，并通過(guò)模擬仿真驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。Feng M[3]構(gòu)建了反擇優(yōu)刪除節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)演化模型，利用模擬仿真得出模型的度分布呈冪律形式。Shi D等[4]研究了優(yōu)勝劣汰演化模型，利用平均場(chǎng)方法推導(dǎo)了模型度分布的近似解，演化網(wǎng)絡(luò)服從度指數(shù)為（1，4]的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。Kong X等[5]構(gòu)建了連邊的一端擇優(yōu)選擇，另一端在被選擇節(jié)點(diǎn)的鄰域中隨機(jī)選取的連邊刪除網(wǎng)絡(luò)演化模型，利用馬爾可夫鏈理論求得該模型度分布的精確解，并得出新增連線在大于刪除連邊數(shù)量時(shí)，網(wǎng)絡(luò)才具有無(wú)標(biāo)度性，且度指數(shù)在（3，5]范圍內(nèi)。Li J等[6]研究了基于時(shí)齊泊松過(guò)程的“嵌入——?jiǎng)h除——補(bǔ)償”的網(wǎng)絡(luò)演化模型，發(fā)現(xiàn)模型的度指數(shù)在（1，3]之間。

通過(guò)梳理上述文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化模型均認(rèn)為每一時(shí)間步刪除節(jié)點(diǎn)的行為是必然發(fā)生的，而現(xiàn)實(shí)中主體退出是具有某種不確定性的行為；節(jié)點(diǎn)的刪除主要分為隨機(jī)與反擇優(yōu)兩種選取規(guī)則，反擇優(yōu)規(guī)則也包含不同的定義。若用某一概率值反映主體退出的不確定性，則固定概率值的演化模型僅對(duì)應(yīng)一種可能性。因此，本文運(yùn)用灰數(shù)表征主體退出的不確定性，并考慮三類不同的主體退出方式，結(jié)合BA模型，構(gòu)建了基于主體退出效應(yīng)的灰色無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型。本文以理論基礎(chǔ)、模型構(gòu)建和算例仿真三部分依次展開(kāi)，分析主體退出行為將會(huì)給網(wǎng)絡(luò)帶來(lái)何種效應(yīng)。

1 理論基礎(chǔ)

根據(jù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)程度和小世界性是區(qū)分網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)最基本且最主要的兩個(gè)方面，并且本文是在BA模型的基礎(chǔ)上對(duì)主體退出效應(yīng)進(jìn)行研究。因此，理論基礎(chǔ)部分按無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)演化算法、反映網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)程度的網(wǎng)絡(luò)度分布和網(wǎng)絡(luò)小世界性的聚類系數(shù)三部分進(jìn)行介紹。

1.1 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)演化算法

（1）增長(zhǎng)：給定一個(gè)含有m0個(gè)少量節(jié)點(diǎn)的初始網(wǎng)絡(luò)，每一單位時(shí)間內(nèi)生成一個(gè)帶有m(m≤m0)條連邊的新節(jié)點(diǎn)，每條連邊選擇一個(gè)已有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，不允許重復(fù)連接和自連接。

（2）偏好連接：新節(jié)點(diǎn)與已有節(jié)點(diǎn)vi相連的概率Π(ki)由下式表示：

其中ki表示節(jié)點(diǎn)vi在時(shí)刻t擁有的連邊數(shù)，即度數(shù)。分母表示網(wǎng)絡(luò)在時(shí)刻t的總度數(shù)。從式（1）可以看出，已有節(jié)點(diǎn)的度數(shù)越大，其獲得新節(jié)點(diǎn)連邊的可能性也越大。隨著網(wǎng)絡(luò)的不斷演化，這類節(jié)點(diǎn)獲得新節(jié)點(diǎn)連邊的能力越來(lái)越強(qiáng)，富者愈富的現(xiàn)象逐漸形成，從而復(fù)現(xiàn)了二八定律。

1.2 網(wǎng)絡(luò)無(wú)標(biāo)度特征

網(wǎng)絡(luò)度分布是反映網(wǎng)絡(luò)無(wú)標(biāo)度性的主要指標(biāo)。網(wǎng)絡(luò)度分布的定義根據(jù)不同的推導(dǎo)方法會(huì)有不同的形式，但本質(zhì)上完全相同。本文采用平均場(chǎng)方法，因此，基于平均場(chǎng)方法[7]的網(wǎng)絡(luò)度分布定義如下：

定義 1[7]在時(shí)刻t從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱節(jié)點(diǎn)自身?yè)碛械倪B線數(shù)量為節(jié)點(diǎn)的度數(shù)。若該節(jié)點(diǎn)度數(shù)恰好為k的概率為P(k,t)，則稱P(k,t)為時(shí)刻t網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)度分布。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模足夠大時(shí)，若極限存在，則稱P(k)為網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)度分布。

BA模型的穩(wěn)態(tài)度分布存在，根據(jù)平均場(chǎng)方法推導(dǎo)出的結(jié)果為P(k) = 2m2k-γ，其中γ=3為網(wǎng)絡(luò)度分布的度指數(shù)。根據(jù)P(k)的冪函數(shù)形式，BA模型的度分布呈冪律性質(zhì)，異質(zhì)程度較高，該分布在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中近似為一條直線。研究表明，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)程度隨度指數(shù)γ取值的不斷增大而逐漸降低，即網(wǎng)絡(luò)愈來(lái)愈趨于同質(zhì)化。

1.3 網(wǎng)絡(luò)小世界特性

網(wǎng)絡(luò)的小世界特性可由網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)反映。網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的定義是通過(guò)節(jié)點(diǎn)聚類系數(shù)定義的，節(jié)點(diǎn)聚類系數(shù)的定義如下：

定義2[8]稱與節(jié)點(diǎn)vi直接相連的節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)vi的鄰居節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)vi的集群系數(shù)Ci定義為節(jié)點(diǎn)vi與ki個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)Ei與理論中總邊數(shù)ki(ki-1)/2的比值。

因此，網(wǎng)絡(luò)集群系數(shù)C就是所有節(jié)點(diǎn)集群系數(shù)的平均值，即

BA模型的聚類系數(shù)的建模較為復(fù)雜，可通過(guò)數(shù)值模擬的方法得到C=N-0.75，比同規(guī)模現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的集群系數(shù)要小很多。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)可表征主體間信息流動(dòng)的穩(wěn)定性與效率。聚類系數(shù)的增大說(shuō)明某個(gè)主體與其他主體接觸的數(shù)量變多、主體間相互交流更加頻繁，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性越高，魯棒性越強(qiáng)。

2 考慮主體退出效應(yīng)的灰色無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型構(gòu)建

根據(jù)文獻(xiàn)[2-3，9]，本文總結(jié)了三類節(jié)點(diǎn)退出方式。令N(t)表示時(shí)刻t網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量，ki(t)為時(shí)刻t節(jié)點(diǎn)vi的度數(shù)，簡(jiǎn)記為ki；Π(ki)為新節(jié)點(diǎn)的偏好連接概率。則主體可按隨機(jī)Γ1、反擇優(yōu)概率Γ2(ki)和反擇優(yōu)概率Γ3(ki)三種方式退出。其中，Γ1、Γ2(ki)和Γ3(ki)的函數(shù)表達(dá)式分別為

由式（3）和式（4）可以看出，三種選取方式均滿足歸一性，即Σi= 1 ,i=1,2,3。

在主體決定以某種方式退出之前，主體退出行為本身是具有不確定性的，即在網(wǎng)絡(luò)演化過(guò)程中的每一時(shí)間步內(nèi)，主體并不總是必然退出的。主體的退出行為是主體決策的意愿，而現(xiàn)實(shí)情況中主體對(duì)于周圍環(huán)境的認(rèn)知往往有限，其意愿應(yīng)在某一范圍內(nèi)變化，表現(xiàn)為某種不確定性，這種不確定性并不能以單一數(shù)值全面反映出來(lái)。根據(jù)灰色系統(tǒng)理論[10]，灰數(shù)可以很好地描述這類不確定性，因此，本文用灰數(shù)?表示主體退出的不確定性。為研究方便，若以 0表示主體必然不退出，1表示主體必然退出，則?的取值范圍為 ? ∈[0,1]，即主體退出意愿的最大考慮范圍為[0，1]，但此次的可能性究竟為區(qū)間中的哪一個(gè)值并不可知。

結(jié)合以上分析，構(gòu)建基于主體退出效應(yīng)的灰色無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型演化算法如下。

給定一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)量為m0的初始網(wǎng)絡(luò)，此后的每一時(shí)間步有兩個(gè)演化過(guò)程獨(dú)立且同時(shí)發(fā)生：

Step1 產(chǎn)生a個(gè)新節(jié)點(diǎn)并進(jìn)入原有網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)新節(jié)點(diǎn)以擇優(yōu)概率Π(ki)選擇m個(gè)已有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，不允許重復(fù)連接和自連接。

Step2 選擇b個(gè)已有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行刪除，被刪節(jié)點(diǎn)與其連線一并移除原有網(wǎng)絡(luò)。其中，被刪節(jié)點(diǎn)可按式（3）中的三種形式進(jìn)行選擇，且決定該時(shí)間步刪除原有節(jié)點(diǎn)的可能性為?。

由優(yōu)化模型的演化算法可知，當(dāng)a＜?·b時(shí)，新節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的數(shù)量小于被刪節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，隨著過(guò)程的演進(jìn)，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模逐漸減小，直至為0。此種情況的網(wǎng)絡(luò)一定是退化的。當(dāng)a=?·b時(shí)，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模不變，在初始網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較小的情況下，此種情況的實(shí)際意義不明顯。當(dāng)a＞ ?·b，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模不斷增大，這符合大多數(shù)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的演化特征。

在所有關(guān)于網(wǎng)絡(luò)度分布的研究方法中[8，10-14]，均認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變化與復(fù)雜系統(tǒng)類似，即網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較小時(shí)其結(jié)構(gòu)并沒(méi)有明顯的規(guī)律。隨著時(shí)間的推移，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模越來(lái)越大，其結(jié)構(gòu)會(huì)呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律。基于此，首先將網(wǎng)絡(luò)演化時(shí)間定格在較大的t值處。在a＞?·b的條件下，主體無(wú)論選擇何種方式退出，由于擇優(yōu)連接機(jī)制的存在，網(wǎng)絡(luò)同質(zhì)化的可能性很小。在異質(zhì)化的前提下，網(wǎng)絡(luò)中存在少數(shù)擁有大量連線的節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)的連線數(shù)很少。下面對(duì)兩類反擇優(yōu)刪除節(jié)點(diǎn)機(jī)制進(jìn)行討論。

則在反擇優(yōu)概率Γ2(ki)中，N(t)-1與 Σ ′均為較大的正整數(shù)，則(N(t) - 1 )-1≈N(t)-1。由于網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性，1-Π(ki)的取值只有少數(shù)節(jié)點(diǎn)較小，大部分節(jié)點(diǎn)均較高，并且隨著網(wǎng)絡(luò)的不斷演化，每一個(gè)ki對(duì) Σ ′的貢獻(xiàn)越來(lái)越小，則1 - Π(ki) = 1 -ki/Σ′≈1，且度數(shù)較大的節(jié)點(diǎn)在1-Π(ki)的取值也越來(lái)越大。因此，在時(shí)間t較大時(shí)，反擇優(yōu)概率 Γ2(ki)≈Γ1，即

在反擇優(yōu)概率Γ3(ki)中，網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)為0的節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于孤立節(jié)點(diǎn)，可認(rèn)為已從網(wǎng)絡(luò)中刪除。因此 ， Σ ′為調(diào)和級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)發(fā)散。隨著網(wǎng)絡(luò)的演化，調(diào)和級(jí)數(shù) Σ ′不斷增大，在多數(shù)節(jié)點(diǎn)擁有少量連線的情況下，對(duì)于 Σ ′的貢獻(xiàn)愈來(lái)愈趨于平均。因此，在時(shí)間t較大時(shí)，反擇優(yōu)概率 Γ3(ki)≈ Γ1，即

根據(jù)上述分析，在時(shí)間t較大時(shí)，兩類反擇優(yōu)選擇機(jī)制與隨機(jī)選擇非常接近。因此，本文以隨機(jī)選取節(jié)點(diǎn)進(jìn)行刪除作為網(wǎng)絡(luò)度分布的建模依據(jù)。由于網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)與平均路徑長(zhǎng)度在最簡(jiǎn)單的BA模型中建模已十分困難，至今沒(méi)有很有效的方法進(jìn)行解析研究。對(duì)于上述兩種統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，本文會(huì)在第四部分給出其仿真結(jié)果。

在網(wǎng)絡(luò)從t時(shí)刻至t+1時(shí)刻的演化過(guò)程中，主體vi度數(shù)的變化率由該單位時(shí)間內(nèi)新主體的進(jìn)入與原有主體的退出共同決定。令t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)的連線總數(shù)為L(zhǎng)(t)，則新主體的進(jìn)入使主體vi度數(shù)的增長(zhǎng)率為

楊梅并沒(méi)有被打暈，之所以裝作被打暈，不與盜賊沖突，是爸爸教給她保全自己不再受二次受傷害的上上之策。就在楊梅佯裝倒下后，她聽(tīng)見(jiàn)盜賊從工具包里窸窸窣窣翻東西的聲音。還沒(méi)等楊梅反應(yīng)過(guò)來(lái)，嘴巴就被膠帶封住了。楊梅立即睜開(kāi)眼瞪著盜賊，盜賊一看暈倒的楊梅突然睜開(kāi)眼睛也有點(diǎn)懵。但這個(gè)操著東北口音的盜賊連忙說(shuō)：“我就跟你爸談點(diǎn)事。你合作點(diǎn)，我就不傷害你?！?/p>

同時(shí)，原有主體的退出導(dǎo)致主體vi度數(shù)的下降率為

因此，根據(jù)平均場(chǎng)方法，可得如下主體vi度數(shù)的灰色動(dòng)力學(xué)方程

由于主體以隨機(jī)的方式退出，因此每一單位時(shí)間內(nèi)網(wǎng)絡(luò)連線的刪除數(shù)量為原有連線均值的b倍，則優(yōu)化模型中連邊數(shù)量的變化規(guī)律由如下灰色微分方程表示：

結(jié)上以上分析，優(yōu)化模型網(wǎng)絡(luò)度分布由式（10）與（11）同時(shí)確定：

由于式（11）中參數(shù)L(t)嵌套在式（10）中，當(dāng)計(jì)算出L(t)的解析表達(dá)式代入至式（10）后，求解式（10）的解析表達(dá)式較為困難，因此本文在第四部分采用數(shù)值解法與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

4 算例仿真

本文以德國(guó)激光產(chǎn)業(yè)[15]作為案例背景，文中創(chuàng)新網(wǎng)絡(luò)是以項(xiàng)目為紐帶構(gòu)建的。從激光產(chǎn)業(yè)1991年至2007年近16年的演化過(guò)程來(lái)看，每年都有新的主體加入，也有很多合作關(guān)系以及節(jié)點(diǎn)的消失，自身?yè)碛泻献鲾?shù)量較多的主體之間往往也存在聯(lián)系，在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖中呈現(xiàn)很明顯的密集區(qū)。從實(shí)證的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，網(wǎng)絡(luò)中主體的合作數(shù)量大多在[1，3]之間，少數(shù)主體合作數(shù)量可達(dá)46個(gè)。

首先，固定優(yōu)化模型中所有的參數(shù)值。由德國(guó)激光產(chǎn)業(yè)的實(shí)際數(shù)據(jù)可知，創(chuàng)新網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模不斷增大，顯然有a＞?·b，由?的范圍可知，只要a＞b即可。本文使用等權(quán)均值白化的方法白化灰數(shù)。因此，模型中所有參數(shù)的取值如表1所示。

表1 優(yōu)化模型參數(shù)取值表

圖 1展示了主體的不同退出方式所對(duì)應(yīng)的演化網(wǎng)絡(luò)的度分布情況。

圖1 三類主體退出方式相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)度分布

由圖1可以看出，主體以隨機(jī)方式Γ1、反擇優(yōu)選取方式Γ2(ki)和反擇優(yōu)選取方式Γ3(ki)在網(wǎng)絡(luò)演化時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，三者的度分布近乎一致，這證明了第三部分對(duì)于兩種反擇優(yōu)刪除機(jī)制與隨機(jī)刪除機(jī)制幾乎相同討論的正確性；隨機(jī)方式Γ1與反擇優(yōu)Γ2(ki)在小度數(shù)范圍內(nèi)的分布規(guī)律非常相似，而反擇優(yōu)選取Γ3(ki)在小度數(shù)范圍內(nèi)的分布規(guī)律與隨機(jī)Γ1及反擇優(yōu)Γ2(ki)有較為明顯的差異，前者在主體度數(shù)最小及次小處所占比例明顯低于后兩者，這說(shuō)明度數(shù)逆的反擇優(yōu)選取方式更能降低度數(shù)最小和次小的比例。網(wǎng)絡(luò)整體服從冪律分布，與BA模型不同的是，度數(shù)最小的節(jié)點(diǎn)數(shù)量所占節(jié)點(diǎn)總量的比重已不再最大，并且在最小度數(shù)與某個(gè)較小度數(shù)之間的對(duì)應(yīng)度數(shù)節(jié)點(diǎn)的比例呈比例增加。因此，優(yōu)化模型中在小度數(shù)范圍內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)量的分布規(guī)律與度數(shù)較大時(shí)完全相反。網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)隨時(shí)間的演化規(guī)律如圖2所示。

圖2中三角形、菱形和五角形分別代表聚類系數(shù)按隨機(jī)方式 Γ1、反擇優(yōu)選取方式 Γ2(ki)和反擇優(yōu)選取方式 Γ3(ki)演化的取值。從圖中可以看出，聚類系數(shù)取值的下降速率按反擇優(yōu)選取方式 Γ3(ki)、反擇優(yōu)選取方式 Γ2(ki)和隨機(jī)方式 Γ1依次增大，說(shuō)明主體隨機(jī)退出使網(wǎng)絡(luò)的小世界性變得最差，因?yàn)殡S機(jī)方式會(huì)導(dǎo)致一些度數(shù)較大的主體以同樣可能性被選取，這些主體退出后，網(wǎng)絡(luò)的連通性變?nèi)酰∈澜缧宰儾睢?/p>

圖2 網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)變化規(guī)律圖

下面考察網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對(duì)于主體退出不確定性的變化情況。注意到?為連續(xù)灰數(shù)，網(wǎng)絡(luò)度分布、網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)均為一條窄帶，因此下圖只描繪當(dāng)?取0、1/2、1時(shí)的圖例，其余取值均在0與1之間變化。

圖3 優(yōu)化模型網(wǎng)絡(luò)度分布隨主體退出不確定?的變化規(guī)律圖

由圖 3可以看出，主體退出行為的不確定性對(duì)于較小度數(shù)節(jié)點(diǎn)的分布規(guī)律影響顯著，而在度數(shù)較大節(jié)點(diǎn)的處的作用不很明顯。隨著灰數(shù)的白化值逐漸變大，小度數(shù)節(jié)點(diǎn)所占比例愈來(lái)愈大，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)程度不斷降低。

圖4 優(yōu)化模型網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)隨主體退出不確定?的變化規(guī)律圖

圖4中三角形、菱形和五角形分別代表聚類系數(shù)按隨機(jī)方式Γ1、反擇優(yōu)選取方式Γ2(ki)和反擇優(yōu)選取方式Γ3(ki)演化的取值。從圖中可以看出，聚類系數(shù)隨灰數(shù)白化值的增大而減小，說(shuō)明主體退出的可能性越大，網(wǎng)絡(luò)的小世界性越差。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文嘗試將區(qū)間灰數(shù)與經(jīng)典無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合，研究主體退出的效應(yīng)問(wèn)題。主要得出以下兩個(gè)結(jié)論：

（1）主體退出的方式對(duì)網(wǎng)絡(luò)度數(shù)較大范圍內(nèi)節(jié)點(diǎn)分布規(guī)律的影響較弱，在度數(shù)較小范圍內(nèi)對(duì)節(jié)點(diǎn)分布情況作用明顯。反擇優(yōu)方式Γ3(ki)在小度數(shù)節(jié)點(diǎn)處作用最強(qiáng)；網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)對(duì)主體退出的方式較依賴，隨機(jī)方式Γ1的小世界性最差，反擇優(yōu)方式Γ3(ki)的小世界性最強(qiáng)。

（2）主體退出行為的不確定性對(duì)網(wǎng)絡(luò)度數(shù)較大范圍內(nèi)節(jié)點(diǎn)分布規(guī)律的影響較弱，對(duì)度數(shù)較小處的節(jié)點(diǎn)分布作用明顯，且隨著可能性的增強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性減弱；網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)與主體退出行為的可能性大小呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，隨著可能性的增強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)的小世界性變差。

灰數(shù)的引進(jìn)使優(yōu)化模型網(wǎng)絡(luò)的度分布、網(wǎng)絡(luò)集群系數(shù)具備了一定的灰性，囊括了多種情形，而這些情形在實(shí)際中均有可能出現(xiàn)。因此，灰數(shù)拓展了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用范圍。運(yùn)用灰色無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)研究相關(guān)演化機(jī)理是今后研究的重點(diǎn)。