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    基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)

    2010-11-27 02:31:54劉衛(wèi)鋒張又林許宏偉
    關(guān)鍵詞:灰數(shù)代數(shù)乘法

    劉衛(wèi)鋒,何 霞,張又林,許宏偉

    (鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系,河南 鄭州 450015)

    劉思峰教授等在文獻(xiàn)[1-3]中提出的灰數(shù)的核和灰度的概念,在一定程度上解決了灰數(shù)運(yùn)算存在的難題,特別是較為完善地解決了區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算的問題.但是,關(guān)于灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的性質(zhì)與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)問題,一直是灰色系統(tǒng)理論研究的一個(gè)難題,至今仍無令人滿意的結(jié)果,這不僅在一定程度上阻礙著灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用,而且影響著灰色系統(tǒng)理論的發(fā)展以及學(xué)科自身的完整性與優(yōu)美性.

    本文在區(qū)間灰數(shù)的核和灰度的基礎(chǔ)上,從代數(shù)學(xué)的角度對(duì)區(qū)間灰數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論,并給出了一系列結(jié)論,從而進(jìn)一步完善了區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算和區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng).

    1 核和灰度

    1.1 核和灰度的概念

    1.2 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算法則[1]

    2 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

    2.1 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)的加法運(yùn)算

    (1)加法滿足交換律和結(jié)合律;

    (2) 0是單位元;

    (4)加法消去律不成立;例如,30.3°+10.2°=30.3°+10.1°,而10.2°≠10.1°.

    (5)構(gòu)成一個(gè)可換半群.

    因?yàn)閷?duì)于R(?)上的運(yùn)算+來說,不僅運(yùn)算封閉,而且滿足結(jié)合律和交換律,故是一個(gè)可換半群.

    (6)是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn).

    顯然, 0是單位元,故再有(5)知,

    是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn).

    2.2 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)的乘法運(yùn)算

    (1)乘法滿足交換律和結(jié)合律;

    (2) 1是單位元;

    (4)乘法消去律不成立;例如, 30.3°×10.2°=30.3°×10.1°,而10.2°≠10.1°;

    (5)構(gòu)成一個(gè)可換半群;

    (6)是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn).

    3 基于核的區(qū)間灰數(shù)的逆元

    區(qū)間灰數(shù)的簡(jiǎn)化形式為區(qū)間灰數(shù)的相關(guān)運(yùn)算帶來了極大的方便,但是,基于核和灰度即簡(jiǎn)化形式的區(qū)間灰數(shù)在不同運(yùn)算下,其逆元又該如何定義呢?基于此,我們從核的角度分別為具有加法和乘法的區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)定義了逆元,并在此基礎(chǔ)上探討區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì).

    3.1 基于核的區(qū)間灰數(shù)加法的逆元

    根據(jù)該定義,有

    因此,這與文獻(xiàn)[4-5]中關(guān)于灰數(shù)的自差運(yùn)算結(jié)果是一致的.

    命題1 在基于核的逆元的意義下,

    是Abel群.

    證明首先,由法則1知,加法運(yùn)算是封閉的;其次,由2.1內(nèi)容知,加法是可交換和可結(jié)合的,且存在單位元0; 最后,由定義6知,每個(gè)區(qū)間灰數(shù)存在唯一個(gè)逆元.即有是Abel群.

    命題2 已知區(qū)間灰數(shù)集合R(?),令關(guān)系

    r={|?1,?2∈R(?)

    由以上性質(zhì)可知, r是R(?)上的等價(jià)關(guān)系.

    定義7 令 r 是R(?)上的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于任意?1∈R(?),集合

    [?1]={?|?∈R(?),∈r}

    稱為元素?1形成的等價(jià)類.

    命題3 設(shè)[?1]={?|?∈R(?),

    ∈r},[?2]={?|?∈R(?),

    ∈r},則[?1]∩[?2]=Φ

    或者[?1]=[?2]=Φ.(證明略)

    定義8 令r是R(?)上的等價(jià)關(guān)系,其等價(jià)類的集合{[?1]|?1∈R(?)}稱為R(?)關(guān)于r的商集,記作R(?)/r.

    命題4 商集R(?)/r構(gòu)成商群.

    證明任意[?1],[?2]∈R(?)/r, 定義一個(gè)加法:[?1]+[?2]=[?],其中,

    顯然,在基于核的逆元的意義下,我們規(guī)定的加法滿足群的所有條件,故商集R(?)/r是商群.

    3.2 基于核的區(qū)間灰數(shù)關(guān)于乘法的逆元

    類似于基于核的區(qū)間灰數(shù)關(guān)于加法的逆元,我們有基于核的區(qū)間灰數(shù)關(guān)于乘法逆元的定義和結(jié)論.

    命題5 在基于核的逆元的意義下,

    是Abel群. (證明略)

    命題6 已知區(qū)間灰數(shù)集合R(?)*,令關(guān)系

    r={|?1,?2∈R(?)*

    定義9 令r是R(?)*上的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于任意?1∈R(?)*,集合

    [?1]={?|?∈R(?)*,∈r}稱為元素?1形成的等價(jià)類.

    命題7 設(shè)[?1]={?|?∈R(?)*,

    ∈r},[?2]={?|?∈R(?)*,∈r},

    則[?1]∩[?2]=Φ或者[?1]=[?2].(證明略)

    定義10 令r是R(?)*上的等價(jià)關(guān)系,其等價(jià)類的集合{[?1]|?1∈R(?)*}稱為R(?)*關(guān)于r的商集,記作R(?)*/r.

    命題8 商集R(?)*/r構(gòu)成商群. (證明略)

    4 基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)分類

    下面以核和灰度為基礎(chǔ),從距離的角度來考慮區(qū)間灰數(shù)的分類問題.

    命題9 已知區(qū)間灰數(shù)集合R(?),令關(guān)系

    由以上性質(zhì)可知, r是R(?)上的相容關(guān)系.

    定義11 令r是R(?)上的相容關(guān)系,對(duì)于任意?1∈R(?),集合

    [?1]={?|?∈R(?),∈r}

    稱為元素?1形成的相容類.

    命題10 令r是R(?)上的相容關(guān)系,其相容類的集合{[?1]|?1∈R(?)}構(gòu)成R(?)的一個(gè)覆蓋. (證明略)

    5 結(jié) 論

    本文通過區(qū)間灰數(shù)的核和灰度的概念,利用區(qū)間灰數(shù)的簡(jiǎn)化形式,分別探討了區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)關(guān)于加法和乘法所具有的性質(zhì).然后,利用區(qū)間灰數(shù)的核為區(qū)間灰數(shù)定義了逆元,在此基礎(chǔ)上,先后探討了基于核的逆元下的區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì),得出了一系列的結(jié)論,從而完善了區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng).最后,從距離的角度建立了區(qū)間灰數(shù)相容類.這些探討有助于人們掌握區(qū)間灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu),對(duì)于進(jìn)一步研究灰數(shù)代數(shù)系統(tǒng)具有一定的理論意義.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 劉思峰,方志耕,謝乃明.基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算法則[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010, 32(2) :313-316.

    [2] 劉思峰,黨耀國(guó),方志耕,等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].5版.北京:科學(xué)出版社,2010.

    [3] 劉思峰,林益.灰數(shù)灰度的一種公理化定義[J].中國(guó)工程科學(xué),2004,6(8):91-94.

    [4] 鄧聚龍.灰色控制系統(tǒng)[M].2版.武漢:華中理工大學(xué)出版社,1993.

    [5] 鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2002.

    [6] 左孝凌,李為鑑,劉永才.離散數(shù)學(xué)[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,1982.

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