區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型的參數(shù)優(yōu)化

崔學(xué)海

（重慶工商大學(xué)長(zhǎng)江上游經(jīng)濟(jì)研究中心，重慶400067）

區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型的參數(shù)優(yōu)化

崔學(xué)海

（重慶工商大學(xué)長(zhǎng)江上游經(jīng)濟(jì)研究中心，重慶400067）

面積序列及坐標(biāo)序列的模擬精度是影響區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型性能的重要因素，文章通過(guò)克萊姆法則建立面積序列與坐標(biāo)序列的灰色模型參數(shù)無(wú)偏估計(jì)新方法，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了一種新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型；最后通過(guò)與傳統(tǒng)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型模擬精度進(jìn)行了比較，結(jié)果表明新模型具有更為優(yōu)秀的模擬性能。

灰色理論；預(yù)測(cè)模型；Cramer法則；區(qū)間灰數(shù)；參數(shù)優(yōu)化

0 引言

在灰色理論[1]中，灰數(shù)是最基本的表示單元或“細(xì)胞”，而區(qū)間灰數(shù)則是灰色系統(tǒng)中最常見(jiàn)的灰色信息表現(xiàn)形式[2]，區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型是研究如何利用數(shù)學(xué)方法對(duì)區(qū)間灰數(shù)上下界進(jìn)行模擬及預(yù)測(cè)的建模方法。由于區(qū)間灰數(shù)具有比實(shí)數(shù)更加復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與灰信息特征，同時(shí)受制于區(qū)間灰數(shù)之間代數(shù)運(yùn)算體系的不完善，導(dǎo)致人們對(duì)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的研究成果遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于傳統(tǒng)以實(shí)數(shù)為建模對(duì)象的灰色預(yù)測(cè)模型，這有悖于灰數(shù)是灰色系統(tǒng)最基本表示單元或“細(xì)胞”的理論內(nèi)涵。因此，近年來(lái)關(guān)于區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的研究備受關(guān)注[3]。

為了規(guī)避區(qū)間灰數(shù)之間的代數(shù)運(yùn)算所帶來(lái)的運(yùn)算結(jié)果不確定性（灰度）增加的缺陷，研究人員主要從區(qū)間灰數(shù)序列與實(shí)數(shù)序列之間轉(zhuǎn)換的角度對(duì)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型建模方法展開(kāi)研究，其建模過(guò)程概括起來(lái)分為三步：（1）區(qū)間灰數(shù)序列與實(shí)數(shù)序列的轉(zhuǎn)換；（2）面向?qū)崝?shù)序列的灰色預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建；（3）區(qū)間灰數(shù)上界及下界的推導(dǎo)。在這三個(gè)步驟中，“區(qū)間灰數(shù)序列與實(shí)數(shù)序列的轉(zhuǎn)換”是研究區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的核心內(nèi)容，從區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型既有研究成果來(lái)看，這種“灰→實(shí)”轉(zhuǎn)換主要分為三類：

（1）幾何坐標(biāo)法[4,5]：主要是將區(qū)間灰數(shù)序列在二維直角坐標(biāo)平面中進(jìn)行映射，通過(guò)分析區(qū)間灰數(shù)序列的幾何特征來(lái)實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)序列與實(shí)數(shù)序列的等價(jià)轉(zhuǎn)換，通過(guò)構(gòu)建實(shí)數(shù)序列群的灰色預(yù)測(cè)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)上界及下界的模擬及預(yù)測(cè)。

（2）信息分解法[6,7]：該方法認(rèn)為區(qū)間灰數(shù)中的信息實(shí)際上由確定信息與不確定信息兩個(gè)部分組成，因此可以按照一定的方式進(jìn)行分解，從而構(gòu)成由實(shí)數(shù)構(gòu)成的“白部”及“灰部”序列，“核與灰半徑”的轉(zhuǎn)換思路與該方法本質(zhì)上是一致的。

（3）灰色屬性法[8-10]：通過(guò)區(qū)間灰數(shù)的“核”、“灰度”、“認(rèn)知度”等基本屬性實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)序列與實(shí)數(shù)序列的轉(zhuǎn)換。這種轉(zhuǎn)換以“核”為中心展開(kāi)，通過(guò)“灰度”確定“核”的變化范圍，通過(guò)建立基于“核”序列的灰色模型實(shí)現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)核的模擬與預(yù)測(cè)。

可見(jiàn)，區(qū)間灰數(shù)序列與實(shí)數(shù)序列的轉(zhuǎn)換是構(gòu)建區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的重要內(nèi)容，而傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型性能之優(yōu)劣則是影響區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型精度的關(guān)鍵。通常某一區(qū)間灰數(shù)序列會(huì)轉(zhuǎn)換成若干實(shí)數(shù)序列，因此基于不同實(shí)數(shù)序列將構(gòu)建出體系復(fù)雜的灰色預(yù)測(cè)模型群，而現(xiàn)有的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型還缺乏對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型參數(shù)優(yōu)化方法進(jìn)行有效研究，導(dǎo)致這些模型對(duì)區(qū)間灰數(shù)的模擬及預(yù)測(cè)效果不甚理想，基于此，本文試圖從參數(shù)優(yōu)化的角度對(duì)區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型進(jìn)行研究，以提高區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的整體性能。

1 區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型

本文區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型的序列轉(zhuǎn)換及建模過(guò)程如下：

其中p=1，2，…，n-1，

分別構(gòu)建面積序列S及坐標(biāo)序列W的GM(1,1)模型，可以推導(dǎo)得如下結(jié)果：

公式（3）稱為區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型[4]。

2 區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型參數(shù)優(yōu)化

對(duì)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的優(yōu)化，其實(shí)質(zhì)是對(duì)區(qū)間灰數(shù)面積序列S及坐標(biāo)序列W的GM(1,1)模型參數(shù)a?s=[as，bs]、a?w=[aw，bw]的優(yōu)化。由于GM(1,1)模型的最終還原式為齊次指數(shù)形式，這限制了該模型對(duì)非齊次或近似非齊次指數(shù)序列的模擬及預(yù)測(cè)能力。然而，即使對(duì)嚴(yán)格齊次指數(shù)序列，其GM(1,1)模型同樣存在誤差，這主要是由于GM(1,1)模型在建模過(guò)程中存在面向差分方程的參數(shù)估計(jì)方法與基于微分方程的灰色模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)之間的非一致性所導(dǎo)致的。本文通過(guò)克萊姆法則對(duì)GM(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行研究，從優(yōu)化模型參數(shù)的角度實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型的優(yōu)化。

為面積序列S的GM(1,1)模型通用形式。根據(jù)定義2，可以對(duì)公式（4）進(jìn)行變形，得：

其中：

當(dāng)k=2時(shí)，

當(dāng)k=3時(shí)，根據(jù)公式（5）得：

將公式（7）代入公式（8）整理得：

當(dāng)k=4時(shí)，根據(jù)公式（5）得：

將公式（9）代入公式（10）整理得：

根據(jù)前面的推導(dǎo)，當(dāng)k=u時(shí)，可得如下公式：

將公式（9）進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：

根據(jù)累加生成及累減還原的定義可知：

則：

整理公式（15）得：

公式（16）可簡(jiǎn)化為：

其中，

類似地

其中，

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中區(qū)間灰數(shù)面積序列的定義，可知：

當(dāng)p=1時(shí)，

當(dāng)p=2時(shí)，

…

當(dāng)p=n-1時(shí)，

類似地，

聯(lián)立式（20）及式（21），可得：

公式（22）稱為基于克萊姆法則的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，簡(jiǎn)稱KIGM(1,1)模型。

3 模型比較分析

為了驗(yàn)證KIGM(1,1)模型的模擬性能，本文以文獻(xiàn)[4]中的區(qū)間灰數(shù)序列為基礎(chǔ)，構(gòu)建該序列的KIGM(1,1)模型，并將模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[4]進(jìn)行比較和分析。

表1 X(?)中的區(qū)間灰數(shù)

S=(1.5,1.9,2.3,2.4,3.1)，W=(3.1,3.4,3.75,3.6,3.7)

分別應(yīng)用經(jīng)典GM(1,1)模型及本文公式（17）、（18）對(duì)面積序列與坐標(biāo)序列進(jìn)行模擬，結(jié)果如表2所示。

表2 面積序列及坐標(biāo)序列的模擬值及模擬誤差

根據(jù)公式（22）對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列X（）?進(jìn)行模擬，模擬值及模擬誤差如表3所示。

表3 區(qū)間灰數(shù)模擬與誤差比較

從表2可以看出，基于公式（17）和公式（18）所模擬的區(qū)間灰數(shù)面積序列與坐標(biāo)序列的模擬誤差優(yōu)于傳統(tǒng)的GM (1,1)模型，而區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的模擬性能又與面積序列與坐標(biāo)序列的模擬值息息相關(guān)，因此理論上KIGM(1,1)模型應(yīng)該比文獻(xiàn)[4]所提出的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型具有更高的模擬精度。而從表3可看出,本文提出的KIGM(1,1)模型，其模擬精度高于文獻(xiàn)[4]中的模型，驗(yàn)證了本文對(duì)傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型優(yōu)化的有效性。

4 結(jié)論

由于區(qū)間灰數(shù)代數(shù)運(yùn)算體系的不完善，導(dǎo)致無(wú)法直接構(gòu)建面向區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預(yù)測(cè)模型?，F(xiàn)有方法主要通過(guò)將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)序列，然后通過(guò)構(gòu)建實(shí)數(shù)序列的灰色預(yù)測(cè)模型去實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)的間接預(yù)測(cè)，因此，傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型性能之優(yōu)劣則是影響區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型精度的關(guān)鍵。本文基于克萊姆法則對(duì)傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)幾何預(yù)測(cè)模型中面積序列與坐標(biāo)序列的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了一種新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型（KIGM(1,1)模型），通過(guò)算例比較與誤差分析，驗(yàn)證了該模型的有效性與實(shí)用性。研究成果對(duì)拓展灰色預(yù)測(cè)模型的應(yīng)用范圍，促進(jìn)灰色預(yù)測(cè)模型與實(shí)際問(wèn)題的有效對(duì)接具有積極意義。

[1]Deng J L.Control Problems of Grey Systems[J].Systems&Control Letters,1982,1,(5).

[2]Liu S F,Forrest J,Yang Y J.A Brief Introduction to Grey Systems Theory[J].Grey Systems:Theory and Application,2012,2,(2).

[3]Xie N M,Liu S F,Yuan,C Q.Grey Number Sequence Forecasting Approach for Interval Analysis:A Case of China's Gross Domestic Product Prediction[J].The Journal of Grey System,2014,26,(1).

[4]曾波,劉思峰,謝乃明等.基于灰數(shù)帶及灰數(shù)層的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[J].控制與決策,2010,25(10).

[5]Zeng B,Guo C,Liu S F.A Novel Interval Grey Prediction Model Considering Uncertain Information[J].Journal of the Franklin Institute,2013，(350).

[6]方志耕,劉思峰.區(qū)間灰數(shù)表征與算法改進(jìn)及GM(1, 1)模型應(yīng)用研究[J].中國(guó)工程科學(xué),2005,7(2).

[7]孟偉,劉思峰.區(qū)間灰數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化及其預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建與應(yīng)用研究[J].控制與決策,2012,27(5).

[8]劉解放,劉思峰,方志耕.基于核與灰半徑的連續(xù)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[J].系統(tǒng)工程,2013,31(2).

[9]曾波.基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011,33(4).

[10]袁潮清,劉思峰.基于發(fā)展趨勢(shì)和認(rèn)知程度的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)[J].控制與決策,2011,26(2).

（責(zé)任編輯/亦民）

Parameter Optimization of Interval Grey Number Geometry Prediction Model

Cui Xuehai
（National Research Center for Upper Yangtze Economy,Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,China）

The simulative precision of area sequence and coordinate sequence are important factors that exert impact on the performance of the geometric prediction model of interval gray number.This paper applies Cramer Rule to deduce a novel unbiased estimation method of area sequence and coordinate sequence,on the basis of which the paper establishes a new interval gray number prediction model.Finally,comparison is made between the accuracy of the proposed model and that of the traditional interval gray model without parameter optimization.The result shows that the novel model has better simulative performances.

grey theory;prediction model;Cramer Rule;interval grey number;parameter optimization

N941.5

A

1002-6487（2017）11-0010-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71271226）

崔學(xué)海（1979—），男，山東煙臺(tái)人，博士研究生，研究方向：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。