線性流形上矩陣方程(AX,XB)=(C,D)最小二乘自反解及其最佳逼近

張 敏，林衛(wèi)國

(1.武漢軍械士官學校 基礎部，湖北 武漢 430075；2.武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢 430070)

本文用Cm×n表示m×n復矩陣集，OCn×n為n階酉矩陣集，0為零矩陣，AH與rank(A)分別表示復矩陣A的共軛轉置與秩，‖·‖表示矩陣的Frobenius范數(shù)，A+表示矩陣的Moore-penrose廣義逆，A*B表示A與B的Hadamard乘積，即當A=(aij),B=(bij)∈Cn×m時有A*B=(aijbij)∈Cn×m.

定義1[1]如果P∈Cn×n滿足：(i)P=PH,(ii)P2=In，則稱P為廣義反射陣.

定義2[1]設P∈Cn×n為廣義反射陣，稱A∈Cn×n為關于P的自反陣(反自反陣)，若A=PAP(A=-PAP).

對于生產(chǎn)實踐中的這樣一類線性系統(tǒng)：AX=B,XD=E，其中A∈Cm×n,B∈Cm×p,D∈Cp×q,E∈Cn×q是給定的矩陣.1910年Cecioni[2]給出了該線性系統(tǒng)有公共解的充分必要條件，1984年Mitra[3]討論了最小可能秩解，2006年盛興平和陳果良[4]對此矩陣方程有公共解和無公共解時的情況做了詳細的討論.鑒于自反矩陣[5～7]具有很好的性質，且在工程和科學計算中有很廣泛的應用，因此研究線性流形上該線性矩陣方程組的自反解對豐富矩陣理論、工程應用和科學計算都有重要意義.本文討論如下兩個問題：

(1)

問題1 求X∈S，使得‖AX-C‖2+‖XB-D‖2=min.

1 幾個引理

引理1[1]設P∈Cn×n為廣義反射陣，則存在U∈OCn×n，使得:

(2)

證明過程類似于文獻[5]中定理1，顯然S為線性流形.

2 主要結果

定理1 給定A,C∈Cm×n;B,D∈Cn×k,令:

(3)

其中：

M1=(M11,M12)∈OCm×m,N1=(N11,N12)∈OCr×r,M2=(M21,M22)∈OCm×m,

N2=(N21,N22)∈OC(n-r)×(n-r),P1=(P11,P12)∈OC(r-t1)×(r-t1),R1=(R11,R12)∈OCk×k,

Γ1=diag(δ1,δ2,…,δr1),δi>0(i=1,2,…,r1),Γ2=diag(γ1,γ2,…,γr2),γi>0(i=1,2,…,r2),

∑1=diag(ξ1,ξ2,…,ξs1),ξi>0(i=1,2,…,s1),Σ2=diag(α1,α2,…,αs2),αi>0(i=1,2,…,s2),

M11∈Rm×r1,M21∈Rm×r2,N11∈Rr×r1,N21∈R(n-r)×r2,P11∈R(r-t1)×s1,P21∈R(n-r-t2)×s2,R11∈Rk×s1,R21∈Rk×s2,

則問題1的解的表達式為：

(4)

其中：

并且G1∈C(r-r1)×(r-t1-s1),G2∈C(n-r-r2)×(n-r-t2-s2)為任意矩陣.

證明由引理4以及U,Q1,Q2的酉不變性知:

‖AX-C‖2+‖XB-D‖2=

故‖AX-C‖2+‖XB-D‖2=min等價于:

(5)

(6)

(7)

由式(3)，(7)知:

故式(5)等價于:

故問題1的解的表達式為(4)式.

(8)

其中:

證明由于:

故‖X-X*‖=min等價于:

(9)

(10)

由式(4)中Z1表達式知:

[1]陳景良,陳向暉.特殊矩陣[M].北京：清華大學出版社，2001.

[2]Cecioni F.Sopra operazioni algebriche[J].Ann Scuola Norm Sup Piss Sci Fis MAT,1910,11:17-20.

[3]Mitra S K.The matrix equationsAX=B,XD=E[J].Linear Algebra and Its Applications,1984,59:171-181.

[4]盛興平,陳果良.矩陣方程AX=B,XD=E解的研究[J].蘭州大學學報,2006，42(3):101-104.

[5]Peng Z Y,Hu X Y.The reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equation AX=B [J].Linear Algebra and its Applications,2003,375:148-155.

[6]張磊，謝冬秀.一類逆特征值問題[J].數(shù)學物理學報，1993，13(1):94-99.

[7]Chen H C.Generalized reflexive matrices special prosperities and applications [J].SIAM J Matrix Anal Appl,1998,19:140-153.