關(guān)于 Diophantine方程 xd(n)+yφ(n)=zσ(n)

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系,江蘇泰州 225300）

關(guān)于 Diophantine方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系,江蘇泰州 225300）

對于正整數(shù)n=2tpa11pa22…pakk,這里pi是奇素?cái)?shù),mi是正整數(shù),i=1,2,…,k,2＜p1＜p2＜…＜pk,t是非負(fù)整數(shù).設(shè)d(n),φ(n),σ(n)分別表示n的約數(shù)函數(shù),Euler函數(shù)和約數(shù)和函數(shù).給出了:n=2和 3時(shí),方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整數(shù)解的一般公式;并證明了ai(i=1,2,…,k)中至少有兩個(gè)為奇數(shù)或存在i及奇素?cái)?shù)p,使pi≡1(modp)且ai≡ -1(modp)兩種情形時(shí),方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)沒有正整數(shù)解.

高次 Diophantine方程;約數(shù)函數(shù);Euler函數(shù);約數(shù)和函數(shù);正整數(shù)解;素?cái)?shù)

1 引言及主要結(jié)論

對于正整數(shù)n,設(shè)d(n),φ(n),σ(n)分別表示n的約數(shù)函數(shù),Euler函數(shù)和約數(shù)和函數(shù).J.Sandor[1]提出了方程:

的求解問題.2009年,樂茂華[2]證明了:當(dāng)n無平方因子時(shí),除了n=2或者n是適合n≡3(mod 4)的奇素?cái)?shù)這兩種情形外,方程(1)沒有正整數(shù)解.作為文獻(xiàn)[2]的補(bǔ)充,本文證明了如下:

定理 1n=2時(shí),方程(1)的全部正整數(shù)解為(x,y,z)=(a,b3-a2,b),這里a,b為正整數(shù),a2＜b3;n=3時(shí),方程(1)滿足條件(x,y)=1的全部正整數(shù)解為(x,y,z)=(|6a2b2-a4-b4|,4ab(a2-b2),a2+b2)或(4ab(a2-b2),|6a2b2-a4-b4|,a2+b2),這里a＞b＞0,(a,b)=1,a,b一奇一偶.

定理 2 設(shè)正整數(shù)n=2tpa11pa22…pakk,這里k＞1,pi是奇素?cái)?shù),mi是正整數(shù),i=1,2,…,k,2＜p1＜p2＜…＜pk,t是非負(fù)整數(shù).若ai(i=1,2,…,k)中至少有兩個(gè)為奇數(shù)或存在i及奇素?cái)?shù)p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)時(shí),方程(1)沒有正整數(shù)解.

2 關(guān)鍵性引理

證明 可參見文獻(xiàn)[4].

引理 3 不定方程:

假定式(4)有正整數(shù)解(x,y,z)滿足(x,z)=1且z是所有解中最小的.顯然 2?z且x是奇數(shù)或偶數(shù).

如果x是奇數(shù),則由式(4)結(jié)合引理 2得出:x2=a2-b2,y=2ab,z2=a2+b2,(a,b)=1,a＞b＞0.從而x2z2=a4-b4,即:b4+(xz)2=a4,(a,b)=1.這是式(4)的一個(gè)情形,但 0＜a＜z,與z最小矛盾.

引理 4 (Fer mat大定理)若p為奇素?cái)?shù),則不定方程:xp+yp=zp,沒有正整數(shù)解.

證明 可參見文獻(xiàn)[5].

3 定理的證明

3.1 定理 1的證明

1)n=2時(shí),由引理 1可知:d(n)=2,φ(n)=1,σ(n)=3.于是方程(1)變?yōu)?

令x=a,z=b,代入式(5)得:y=b3-a2,故方程(1)的全部正整數(shù)解為:

這里a,b為正整數(shù),a2＜b3.

2)n=3時(shí),由引理 1可知:d(n)=2,φ(n)=2,σ(n)=4.于是方程(1)變?yōu)?

設(shè)x,y,z是式(6)的正整數(shù)解,滿足(x,y)=1,則x,y,z2是式(2)滿足(x,y)=1的正整數(shù)解.因?yàn)閤,y一奇一偶,不妨設(shè) 2∣y,由引理 2知:

其中r,s滿足方程(3).因而r,s,z也是式(2)滿足(r,s)=1的正整數(shù)解.

若 2|s,則由引理 2知:

此外,容易直接驗(yàn)證,式(10)、(14)滿足方程(6).因此n=3時(shí),方程(1)滿足條件(x,y)=1的全部正整數(shù)解為:(x,y,z)=(|6a2b2-a4-b4|,4ab(a2-b2),a2+b2)或(4ab(a2-b2),|6a2b2-a4-b4|,a2+b2),這里a＞b＞0,(a,b)=1,a,b一奇一偶.定理 1得證.

3.2 定理 2的證明

由引理 3知,式(6)沒有正整數(shù)解,從而方程(1)沒有正整數(shù)解.

2)若存在i及奇素?cái)?shù)p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp),則有:

這時(shí)p∣d(n),p∣φ(n).

由引理 4知,式(17)沒有正整數(shù)解,從而方程(1)沒有正整數(shù)解.定理 2得證.

[1] Sandor J.Open question 2127[J].OctogonMathMag,2006,14(1):409.

[2] 樂茂華.關(guān)于 Diophantine方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,27(3):289-292.

[3] 華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,1979.

[4] 閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,2004.

[5] Faltings G.The Proof of Fer mat’sLast Theorem by R.Taylor and A wiles[J].Notice AmerMath Soc,1995,42(7):743-746.

On the D iophantine Equationxd(n)+yφ(n)=zσ(n)

GUAN Xun-gui
(Depar tment ofMathematics&Physics,Taizhou Normal College,Taizhou 225300,China)

For any positive integern=2tpa11pa22…pakk,where pibe odd pr ime andmibe positive integer withi=1,2,…,k,2＜p1＜p2＜…＜pk,tbe a non-negative integer.Letd(n),φ(n)andσ(n)denote the divisor function,Euler′s totient function and the sum of distinct divisors ofnrespectively.In this paper,we obtained the general for mulas of positive integral solutions of equationxd(n)+yφ(n)=zσ(n)forn=2 and 3.We proved if(1)there are two odd numbers inai(i=1,2,…,k),or(2)there arei(i=1,2,…,k)and odd primep,such thatpi≡1(modp)andai≡ -1(modp),xd(n)+yφ(n)=zσ(n)has no positive integral solutions(x,y,z).

higherDiophantine equation;divisor function;Euler′s tontine function;sum of distinct divisors;positive integral solution;prime

O156

A

1008-8423(2010)02-0147-03

2010-05-28.

泰州師范高等專科學(xué)校重點(diǎn)課題資助項(xiàng)目(2009-ASL-04).

管訓(xùn)貴 (1963-),男,副教授,主要從事基礎(chǔ)數(shù)論的研究.