課本中摸球概率題的演變史

柳宏明

教材是中考命題的天然素材，每年都有大量的中考題目直接出自教材，或擷此作基，演變生發(fā)。我們以蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第136頁例4為源，探其演、究其變。

【原題再現(xiàn)】一只不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同。攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球。求兩次都摸到紅球的概率。

中考演變1：摸一次

例1 （2020·黑龍江哈爾濱）一個不透明的袋子中裝有9個小球，其中6個紅球、3個綠球，這些小球除顏色外無其他差別。從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是紅球的概率是（ ）。

A：2/3 B.1/2 C.1/3 1/9

【分析】將原題中的摸2次弱化為摸1次，直接考查一步事件概率。根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點：①符合條件的情況數(shù)目，②全部情況的總數(shù)。二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小。

解：∵袋子中一共有9個除顏色不同外其它均相同的小球，其中紅球有6個，

∴摸出的小球是紅球的概率是罟6/9=2/3，因此本題選A。

【點評】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。

中考演變2：摸兩次，從兩個袋子中各摸一個球

例2 （2020·黑龍江鶴崗）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球，1個白球，另一個裝有1個黃球，2個紅球，這些球除顏色外完全相同。從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（ ）。

A.1/3 B.4/9 C.3/5 D.2/3

【分析】將原題中的“摸一次、放回、再摸一次”演變?yōu)椤胺謩e從兩個袋子中各摸一個球”，兩者摸法上有區(qū)別，但模型是一樣的。用列表法列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，從中找出“兩球顏色相同”的結(jié)果數(shù)，進而求出概率。

解：用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：

共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“兩球顏色相同”的有4種，

∴P（兩球顏色相同）=4/9。故選B。

【點評】將教材的原題換一種敘述方式考查，形異實同，考查同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的掌握情況。這也是最基本的命題方式。

中考演變3：摸兩次，不放回

例3 （2020·黑龍江牡丹江）在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1、2、3、4。若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標(biāo)號的和等于5的概率為（ ）。

A.1/4 B.2/3 C.1/3 D.3/16

【分析】將原題中的“摸一次、放回、再摸一次”演變?yōu)椤懊淮?、不放回、再摸一次”。不放回，摸出的球?qū)⒉粫幻?，這是列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果時需要注意的地方。

解：用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：

共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“和等于5”的有4種，∴P（和等于5）=4/12=1/3。故選C。

【點評】對于袋中球摸兩次，同學(xué)們需要看清題目條件的敘述是“有放回”還是“無放回”。對于從不透明的袋中一次摸出兩個球，則相當(dāng)于“摸一次、不放回、再摸一次”，換個背景如“擲骰子、拋硬幣、搖轉(zhuǎn)盤”兩次，第一次出現(xiàn)的，第二次還有可能出現(xiàn)，相當(dāng)于“摸一次、放回、再摸一次”。

中考演變4：摸三次

例4 （2020·內(nèi)蒙古通遼）甲口袋中裝有2個相同小球，它們分別寫有數(shù)字1、2;乙口袋中裝有3個相同小球，它們分別寫有數(shù)字3、4、5;丙口袋中裝有2個相同小球，它們分別寫有數(shù)字6、7。從三個口袋各隨機取出1個小球。用畫樹狀圖或列表法求：

（1）取出的3個小球上恰好有一個偶數(shù)的概率;

（2）取出的3個小球上全是奇數(shù)的概率。

【分析】將原題中的摸2次演變?yōu)閺?個袋子中摸（相當(dāng)于摸3次），同樣畫樹狀圖，有序展示所有12種等可能的結(jié)果，找出符合題目要求的事件數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算。

解：

畫出樹狀圖：

共有12種等可能的結(jié)果。

（1）取出的3個小球上恰好有一個偶數(shù)的情況有（1，3，6），（1，4，7），（1，5，6），（2，3，7），（2，5，7）共5種情況，所以P（取出的3個小球上恰好有一個偶數(shù)）=5/12。

（2）取出的3個小球上全是奇數(shù)的情況有（1，3，7），（1，5，7）共2種情況，所以P（取出的3個小球上全是奇數(shù)）=2/12=1/6。