明辨概率與頻率

季承潔

概率與頻率是兩個(gè)不同的概念，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系。事件發(fā)生的概率是一個(gè)確定的數(shù)值，而頻率是不確定的數(shù)值。我們可以通過(guò)試驗(yàn)，用頻率估計(jì)概率的大小。在試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小不夠穩(wěn)定，不能反映概率，但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)漸漸增多時(shí)，頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定在概率附近，而且非常接近概率，但不一定相等。我們可以利用頻率的穩(wěn)定性估計(jì)相應(yīng)的概率，也可以利用概率來(lái)預(yù)測(cè)不確定事件進(jìn)行多次試驗(yàn)后的頻率，由此解決實(shí)際問(wèn)題。

一、概念辨析

例1 做“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”試驗(yàn)，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，對(duì)于事件“正面朝上”的頻率和概率，下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.概率等于頻率

B.頻率等于1/2

C.概率是隨機(jī)的

D.頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)

【解析】頻率只能估計(jì)概率，不一定等于概率，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;頻率是試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，是隨機(jī)的，它隨試驗(yàn)而變化，是一個(gè)不確定的值，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;事件發(fā)生的概率是唯一確定的一個(gè)值，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率等于1/2，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率穩(wěn)定在概率附近，故D選項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率與頻率的概念辨析，我們需要正確理解概率與頻率的概念和關(guān)系：反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，某事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)的附近，這個(gè)常數(shù)就叫作事件概率的估計(jì)值，而不是一種必然的結(jié)果。

二、通過(guò)模擬試驗(yàn)來(lái)估計(jì)概率

例2（2020·新疆）下表中記錄了某種蘋果樹(shù)苗在一定條件下移植成活的情況：

由此估計(jì)這種蘋果樹(shù)苗移植成活的概率約為_(kāi)_____。（精確到0.1）

【解析】由表格可知，試驗(yàn)次數(shù)為12000（足夠多）時(shí)，它的頻率為0.903≈0.9，所以估計(jì)這種蘋果樹(shù)苗移植成活的概率約為0.9。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻率估計(jì)概率：在一定條件下，試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是頻率的穩(wěn)定值。頻率的穩(wěn)定值就作為這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率的估計(jì)值。

三、擲瓶蓋試驗(yàn)判斷結(jié)論

例3 下圖顯示了小亞用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚某品牌啤酒瓶蓋的試驗(yàn)結(jié)果。

那么可以推斷出如果小亞實(shí)際投擲一枚這個(gè)品牌的啤酒瓶蓋時(shí)，“凸面向上”的可能性____“凹面向上”的可能性。（填“大于”“等于”或“小于”）

【解析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可得，“凸面向上”的頻率在0.443與0.440之間，所以“凸面向上”的可能性小于“凹面向上”的可能性。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率。解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)解答。

四、通過(guò)模擬試驗(yàn)來(lái)估計(jì)能發(fā)芽的作物種子數(shù)量

例4 某農(nóng)科所在相同條件下做玉米種子發(fā)芽試驗(yàn)，結(jié)果如下：

某位顧客購(gòu)進(jìn)這種玉米種子10千克，那么大約有____千克種子能發(fā)芽。

【解析】根據(jù)農(nóng)科所在相同條件下做玉米種子發(fā)芽率的試驗(yàn)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，玉米種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.88左右，由此求出10千克種子中能發(fā)芽的種子的質(zhì)量是：10×0.88=8.8（千克）。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下，頻率穩(wěn)定值即概率。解答此題的關(guān)鍵是判斷出大量重復(fù)試驗(yàn)后，玉米種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.88左右。