用樣本估計(jì)總體　為未來謀劃發(fā)展

周華軍

統(tǒng)計(jì)的基本思想是用樣本估計(jì)總體，它主要研究?jī)蓚€(gè)基本問題：一是如何從總體中抽取樣本，二是如何通過對(duì)所抽取的樣本進(jìn)行計(jì)算和分析，從而對(duì)總體的相應(yīng)情況作出推斷，為未來的發(fā)展規(guī)劃提出合理建議。下面老師從2020年中考題中選取兩例，說明統(tǒng)計(jì)的基本思想——如何用樣本去估計(jì)總體。

例1 （2020·江蘇揚(yáng)州）揚(yáng)州教育推出的“智慧學(xué)堂”已成為同學(xué)們課外學(xué)習(xí)的得力助手。為了解同學(xué)們“智慧學(xué)堂”平臺(tái)使用的熟練程度，某校隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖。

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）本次調(diào)查的樣本容量是__，扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示A等級(jí)的扇形圓心，角為____°;

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

（3）學(xué)校擬對(duì)“不太熟練或不熟練”的同學(xué)進(jìn)行平臺(tái)使用的培訓(xùn)，若該校有2000名學(xué)生，試估計(jì)該校需要培訓(xùn)的學(xué)生人數(shù)。

【分析】（1）本題以兩種統(tǒng)計(jì)圖的形式描述數(shù)據(jù)，我們首先要從圖中獲取數(shù)據(jù)信息。根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中A等級(jí)的人數(shù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中A等級(jí)的所占百分比，求得樣本容量，進(jìn)而計(jì)算出扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示A等級(jí)的扇形圓心角的度數(shù)。

（2）根據(jù)（1）中得到的本次調(diào)查的樣本容量，結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖中B等級(jí)所占百分比，計(jì)算出B等級(jí)的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整。

（3）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中提供的樣本數(shù)據(jù)去估算全校需要培訓(xùn)的學(xué)生人數(shù)。

解：（1）本次調(diào)查的樣本容量是150÷30%=500.

扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示A等級(jí)的扇形圓心角為360°×30%=108°。

（2）B等級(jí)的人數(shù)為500×40%=200（人）。

補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示;

（3）2000×50/500=200（人）。

答：該校需要培訓(xùn)的學(xué)生估計(jì)有200人。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)據(jù)和數(shù)量之間的關(guān)系是解決問題的前提。用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)中常用的思想方法。

例2 （2020·重慶B卷）每年的4月15日是我國(guó)全民國(guó)家安全教育日。某中學(xué)在全校七、八年級(jí)共800名學(xué)生中開展“國(guó)家安全法”知識(shí)競(jìng)賽，并從七、八年級(jí)學(xué)生中各抽取20名學(xué)生統(tǒng)計(jì)這部分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（競(jìng)賽成績(jī)均為整數(shù)，滿分10分，6分及以上為合格）。相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、整理如下：

八年級(jí)抽取的學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)：

4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10。

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=__，b=___，c=___;

（2）估計(jì)該校七、八年級(jí)共800名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到9分及以上的人數(shù);

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，從一個(gè)方面評(píng)價(jià)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生“國(guó)家安全法”知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)誰更優(yōu)異。

【分析】本題考查數(shù)據(jù)的代表值和用樣本估計(jì)總體。

（1）從圖表中獲取數(shù)據(jù)信息，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的意義確定a、b、c;

（2）利用樣本估計(jì)總體思想：用樣本成績(jī)達(dá)到9分及以上的人數(shù)所占的百分比來估計(jì)總體成績(jī)達(dá)到9分及以上的人數(shù)所占的百分比即可;

（3）通過比較兩個(gè)年級(jí)樣本的中位數(shù)、眾數(shù)或9分及以上人數(shù)所占百分比的大小，可以判斷誰的成績(jī)更優(yōu)異。

解：（1）由圖表可得。a=7+8/2=7.5，b=8+8/2=8，c=8。

（2）設(shè)七年級(jí)有學(xué)生x人，則八年級(jí)有（800-x）人，由題意，得

或整體思想考慮：

該校七、八年級(jí)共800名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到9分及以上的人數(shù)=800×5+5/40=200（人）。

答：估計(jì)該校七、八年級(jí)800名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到9分及以上的人數(shù)為200人。

（3）答案一：八年級(jí)的成績(jī)更優(yōu)秀。理由：八年級(jí)被抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是8，而七年級(jí)被抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是7.5，從這一統(tǒng)計(jì)量看，八年級(jí)成績(jī)更優(yōu)秀。

答案二：八年級(jí)的成績(jī)更優(yōu)秀。理由：八年級(jí)被抽取學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是8，而七年級(jí)被抽取學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是7，從這一統(tǒng)計(jì)量看，八年級(jí)成績(jī)更優(yōu)秀。

答案三：八年級(jí)的成績(jī)更優(yōu)秀。理由：八年級(jí)被抽取學(xué)生成績(jī)的合格率是90%，而七年級(jí)被抽取學(xué)生成績(jī)的合格率是85%，從這一統(tǒng)計(jì)量看，八年級(jí)成績(jī)更優(yōu)秀。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的意義和計(jì)算方法，理解各個(gè)概念的內(nèi)涵和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。