邊形數(shù)、棱錐體數(shù)及其三角形的循序逐增規(guī)律

摘 要：該文遵循循序逐增原理，從對(duì)邊形數(shù)、棱錐體數(shù)以及其點(diǎn)與點(diǎn)之間連線形成的三角形的量的循序逐增現(xiàn)象研究中，求得其循序逐增規(guī)律。應(yīng)用拓?fù)湓?，可將邊形?shù)置換為扇形圖表達(dá)，將棱錐體數(shù)置換為圓形圖表達(dá)，發(fā)現(xiàn)了棱錐體數(shù)與邊形數(shù)之間的相近相同規(guī)律。

關(guān)鍵詞：邊形數(shù) 棱錐體數(shù) 三角形 循序逐增規(guī)律 拓?fù)湓?/p>

中圖分類號(hào)：O123 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）02（c）-0041-06

關(guān)于邊形數(shù)、棱錐體數(shù)，《數(shù)學(xué)史通論》（李建文等譯，由高等教育出版社出版）的第二章和第五章都有記述。筆者依照循序逐增原理，對(duì)邊形數(shù)、棱錐體數(shù)以及其點(diǎn)與點(diǎn)之間連線形成的三角形的量的循序逐增現(xiàn)象進(jìn)行了研究，找到了它們各自的循序逐增規(guī)律。

1 邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

邊形數(shù)是指以點(diǎn)為記號(hào)，以起點(diǎn)為始點(diǎn)，循著圖形的邊形的有序擴(kuò)延而形成的邊形點(diǎn)數(shù)（如圖1是三邊形數(shù)圖）。對(duì)于邊形數(shù)，公元1世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家尼可馬科斯曾作研究。筆者只是遵循循序逐增原理，從邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象來論證邊形數(shù)循序逐增的規(guī)律性。

1.1 三邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

圖1是三邊形數(shù)圖。圖2是三邊形點(diǎn)數(shù)規(guī)律表。從圖1、圖2看出，三邊形起點(diǎn)為1，之后擴(kuò)延的邊形點(diǎn)數(shù)，是循著自然數(shù)“2，3，4，5……”的規(guī)律有序逐增，其數(shù)列差為1。假如將每次擴(kuò)延邊形的點(diǎn)的第一個(gè)點(diǎn)設(shè)為1，那么，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三邊形擴(kuò)延邊形的點(diǎn)數(shù)，是循著“1+（1*1），1+（2*1），1+（3*1）……”的規(guī)律有序逐增，而被乘數(shù)“1、2、3……”，正好與擴(kuò)延次序的“1、2、3……”相吻合。據(jù)此，可求得三邊形數(shù)的規(guī)律，其定理為：

三邊形數(shù)=1+[1+（1*1）]+[1+（2*1）]+[1+（3*1）]+…+[1+（n*1）]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

1.2 四邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

圖3是四邊形數(shù)圖。圖4是四邊形點(diǎn)數(shù)規(guī)律表。從圖3、圖4看出，四邊形起點(diǎn)為1，之后擴(kuò)延的邊形點(diǎn)數(shù)，是循著奇數(shù)“3，5，7……”的規(guī)律有序逐增，其數(shù)列差為2。

假如將每次擴(kuò)延邊形的點(diǎn)的第一個(gè)點(diǎn)設(shè)為1，那么，就會(huì)發(fā)現(xiàn)四邊形擴(kuò)延邊形的點(diǎn)數(shù)，是循著“1+（1*2），1+（2*2），1+（3*2）……”的規(guī)律有序逐增，而被乘數(shù) “1、2、3……”，正好與擴(kuò)延次序的“1、2、3 ……”相吻合。據(jù)此，可求得四邊形數(shù)的規(guī)律，其定理為：

四邊形數(shù)=1+[1+（1*2）]+[1+（2*2）]+[1+（3*2）]+…+[1+（n*2）]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

1.3 五邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

圖5是五邊形數(shù)圖。圖6是五邊形點(diǎn)數(shù)規(guī)律表。從圖5、圖6看出，五邊形起點(diǎn)為1，之后擴(kuò)延的邊形點(diǎn)數(shù)，是循著“4，7，10……”的規(guī)律有序逐增，其數(shù)列差為3。假如將每次擴(kuò)延邊形的點(diǎn)的第一個(gè)點(diǎn)設(shè)為1，那么，就會(huì)發(fā)現(xiàn)五邊形擴(kuò)延邊形的點(diǎn)數(shù)，是循著“1+（1*3），1+（2*3），1+（3*3）……”的規(guī)律有序逐增，而被乘數(shù)“1、2、3 ……”，正好與擴(kuò)延次序“1、2、3……”相吻合。據(jù)此，可求得五邊形數(shù)的規(guī)律，其定理為：

五邊形數(shù)=1+[1+（1*3）]+[1+（2*3）]+[1+（3*3）]+…+ [1+（n*3）]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

1.4 六邊形數(shù)的循序逐增現(xiàn)象及其規(guī)律

圖7是六邊形數(shù)圖。圖8是六邊形點(diǎn)數(shù)規(guī)律表。從圖7、圖8看出，六邊形起點(diǎn)為1，之后擴(kuò)延的邊形點(diǎn)數(shù)，是循著“5，9，13……”的規(guī)律有序逐增，其數(shù)列差為4。假如將每次擴(kuò)延邊形的點(diǎn)的第一個(gè)點(diǎn)設(shè)為1，那么，就會(huì)發(fā)現(xiàn)六邊形擴(kuò)延邊形的點(diǎn)數(shù)，是循著“1+（1*4），1+（2*4），1+（3*4）……”的規(guī)律有序逐增，而被乘數(shù)“1、2、3……”，正好與擴(kuò)延次序的“1、2、3……”相吻合。據(jù)此，可求得六邊形數(shù)的規(guī)律，其定理為：

六邊形數(shù)=1+[1+（1*4）]+[1+（2*4）]+[1+（3*4）]+…+[1+（n*4）]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

求證邊形數(shù)的循序逐增定理

從上證明可知：三邊形擴(kuò)延邊形的點(diǎn)數(shù)，是循著“1+（1*1），1+（2*1），1+（3*1）……”的規(guī)律有序逐增，乘數(shù)“1”正是三邊形的3-2之差；

四邊形擴(kuò)延邊形的點(diǎn)數(shù)，是循著“1+（1*2），1+（2*2），1+（3*2）……”的規(guī)律有序逐增，乘數(shù)“2”正是四邊形的4-2之差；

五邊形擴(kuò)延邊形的點(diǎn)數(shù)，是循著“1+（1*3），1+（2*3），1+（3*3）……”的規(guī)律有序逐增，乘數(shù)“3”正是五邊形的5-2之差；

六邊形擴(kuò)延邊形的點(diǎn)數(shù)，是循著“1+（1*4），1+（2*4），1+（3*4）……”的規(guī)律有序逐增，乘數(shù)“4”，正是六邊形的6-2之差。

依照歸納法，得出結(jié)論，式中乘數(shù)正是邊形的邊的量減去2之差。據(jù)此，將邊形的邊的量以“邊”的漢語拼音第一個(gè)字母“B”來表示，那么，邊形數(shù)的定理為：

邊形數(shù)=1+[1+1*（B-2）]+[1+2*（B-2）]+[1+3*（B-2）]+…+[1+n*（B-2）]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)，B表示邊形的邊的量）

2 邊形數(shù)的點(diǎn)與點(diǎn)之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

事實(shí)表明，多邊形圖是由若干大三角形組成的整體。而大三角形又由若干小三角形組成。據(jù)此，筆者將邊形數(shù)的點(diǎn)與點(diǎn)之間以直線相連形成為（?。┤切危瑥闹邪l(fā)現(xiàn)三角形的量的循序逐增規(guī)律。

2.1 三邊形數(shù)的點(diǎn)與點(diǎn)之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

圖9是將圖1（三邊形數(shù)圖）中的點(diǎn)與點(diǎn)之間以直線相連形成為三角形（簡(jiǎn)稱為“點(diǎn)之間形成的三角形”）的圖。圖10是反映圖9的三角形的量的統(tǒng)計(jì)表。從圖9、圖10看出，三邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，隨著有序擴(kuò)延，是循著奇數(shù)“1、3、5、7……”的規(guī)律逐增，其數(shù)列差為2。筆者研究結(jié)果表明，奇數(shù)“1、3、5、7……”的循序逐增規(guī)律實(shí)際上是兩個(gè)自然數(shù)循序相加之和，即：1=1+0，3=2+1，5=3+2，7=4+3，……根據(jù)此規(guī)律，筆者又將三邊形的整體設(shè)定為1個(gè)大三角形的整體，那么，可求得三邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

三邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*1]+[（2+1）*1]+[（3+2）*1]+[（4+3）*1]+……+[（n+n-1）*1]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

2.2 四邊形數(shù)的點(diǎn)與點(diǎn)之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

圖11是將圖3（四邊形數(shù)圖）中的點(diǎn)與點(diǎn)之間以直線相連形成為三角形的圖。圖12是反映圖11的三角形的量的統(tǒng)計(jì)表。從圖11看出，圖11（即四邊形）是由2個(gè)圖9（即大的三角形）組成的整體。因此，從圖12看出，四邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，其每次有序擴(kuò)延，均是三邊形的2倍，以此可求得四邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

四邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*2]+[（2+1）*2]+[（3+2）*2]+[（4+3）*2]+……+[（n+n-1）*2]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

2.3 五邊形數(shù)的點(diǎn)與點(diǎn)之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

圖13是將圖5（五邊形數(shù)圖）中的點(diǎn)與點(diǎn)之間以直線相連形成為三角形的圖。圖14是反映圖11的三角形的量的統(tǒng)計(jì)表。從圖13看出，圖13（即五邊形）是由3個(gè)圖9（即大的三角形）組成的整體。因此，從圖14看出，五邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，其每次有序擴(kuò)延，均是三邊形的3倍，以此可求得五邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

五邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

2.4 六邊形數(shù)的點(diǎn)與點(diǎn)之間連線形成的三角形的量的循序逐增規(guī)律

圖15是將圖7（六邊形數(shù)圖）中的點(diǎn)與點(diǎn)之間以直線相連形成為三角形的圖。圖16是反映圖15的三角形的量的統(tǒng)計(jì)表。從圖15看出，圖15（即六邊形）是由4個(gè)圖9（即大的三角形）組成的整體。因此，從圖16看出，六邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，其每次有序擴(kuò)延，均是三邊形的4倍，以此可求得六邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

六邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

求證邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增定理

從上證明中已知：

三邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為“0+[（1+0）*1]+[（2+1）*1]+[（3+2）*1]+[（4+3）*1]+……+[（n+n-1）*1]”，其式中的乘數(shù)“1”，正是三邊形的3-2（即B-2）之差；

四邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為“0+[（1+0）*2]+[（2+1）*2]+[（3+2）*2]+[（4+3）*2]+……+[（n+n-1）*2]”，其式中的乘數(shù)“2”，正是四邊形的4-2（即B-2）之差；

五邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為“0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]”， 其式中的乘數(shù)“3”，正是五邊形的5-2（即B-2）之差；

六邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為“0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]”，其式中的乘數(shù)“4”，正是六邊形的6-2（即B-2）之差。

依照歸納法，求得邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增定理為：

邊形數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=“0+[（1+0）*（B-2）]+[（2+1）*（B-2）]+[（3+2）*（B-2）]+[（4+3）*（B-2）]+……+[（n+n-1）*4]”（式中B是表示邊形的邊的量，n表示擴(kuò)延次數(shù)）

邊形數(shù)可置換為扇形圖來表達(dá)

從上證明中已知，三邊形是由1個(gè)大三角形組成的整體，四邊形是由2個(gè)大三角形組成的整體，五邊形是由3個(gè)大三角形組成的整體，六邊形是由4個(gè)大三角形組成的整體，余此類推。根據(jù)此規(guī)律，邊形數(shù)完全可以圖17來表達(dá)，應(yīng)用拓?fù)湓?，邊形?shù)又可置換為扇形圖來表達(dá)，見圖18。

3 棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

數(shù)學(xué)家尼可馬科斯在研究邊形數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了棱錐體數(shù)。筆者對(duì)棱錐體數(shù)的研究，自然是從循序逐增原理的角度來研究的。筆者研究結(jié)果表明，當(dāng)將棱錐體數(shù)以平面的圖來表達(dá)時(shí)，實(shí)質(zhì)是不同于前文邊形數(shù)的另一種邊形數(shù)，即以點(diǎn)為記號(hào)，其起點(diǎn)既是始點(diǎn)又是中心點(diǎn)，依照邊形的要求有序向周邊畫點(diǎn)擴(kuò)延而形成的邊形點(diǎn)數(shù)（如圖19是三棱錐體數(shù)圖）。

3.1 三棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

圖19是反映三棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的例圖，圖20是三棱錐體點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計(jì)表，圖21是三棱錐體的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的統(tǒng)計(jì)表。

從圖19、圖20看出，圖21隨著三棱錐體的有序擴(kuò)延，其增加點(diǎn)數(shù)的數(shù)列是循著“1*3，2*3， 3*3，4*3……”的規(guī)律逐增，此乘數(shù)的“3”，正是三棱錐體的“3”。據(jù)此，可求得三棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，其定理為：

三棱錐體數(shù)=1+《1*3》+（2*3）+（3*3）+（4*3）+…… +（n*3）

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

現(xiàn)求三棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。從圖19、圖21看出，隨著三棱錐體的有序擴(kuò)延，其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，循著“[（1+0）*3]，[（2+1）*3]，[（3+2）*3]，[（4+3）*3]+……”的規(guī)律逐增。式中乘數(shù)“3”，正是三棱錐體的“3”。與三邊形相比，式中乘數(shù)多“2”（即3-1=2），從中可知其每次有序擴(kuò)延的三角形的量，比三邊形多“（n+n-1）*2”個(gè)。由此可求得三棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

三棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

3.2 四棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

圖22是反映四棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的例圖，圖23是四棱錐體點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計(jì)表，圖24是四棱錐體的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的統(tǒng)計(jì)表。

從圖22、圖23看出，隨著四棱錐體的有序擴(kuò)延，其增加的點(diǎn)數(shù)是循著“1*4，2*4，3*4，4*4……”的規(guī)律逐增，此乘數(shù)的“4”，正是四棱錐體的“4”。據(jù)此，可求得四棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，其定理為：

四棱錐體數(shù)=1+《1*4》+（2*4）+（3*4）+（4*4）+……+（n*4）（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）現(xiàn)求四棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。從圖22、圖24看出，隨著四棱錐體的有序擴(kuò)延，其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，循著“[（1+0）*4]，[（2+1）*4]，[（3+2）*4]，[（4+3）*4]+……”的規(guī)律逐增。式中乘數(shù)“4”，正是四棱錐體的“4”。與四邊形相比，式中乘數(shù)多“2”（即4-2=2），從中可知其每次有序擴(kuò)延的三角形的量，比四邊形多“（n+n-1）*2”個(gè)。由此可求得四棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律，其定理為：

四棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

3.3 五棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

圖25是反映五棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的例圖，圖26是五棱錐體點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計(jì)表，圖27是五棱錐體的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的統(tǒng)計(jì)表。

從圖25、圖26看出，隨著五棱錐體的有序擴(kuò)延，其增加點(diǎn)數(shù)的數(shù)列是循著“1*5，2*5，3*5，4*5……”的規(guī)律逐增，此乘數(shù)的“5”，正是五棱錐體的“5”。據(jù)此，可求得五棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，其定理為：

五棱錐體數(shù)=1+《1*5》+（2*5）+（3*5）+（4*5）+……+（n*5）（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

現(xiàn)求五棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。從圖25、圖27看出，隨著五棱錐體的有序擴(kuò)延，其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，循著“[（1+0）*5]，[（2+1）*5]，[（3+2）*5]，[（4+3）*5]+……”的規(guī)律逐增。式中乘數(shù)“5”，正是五棱錐體的“5”。與五邊形相比，式中乘數(shù)多“2”（即5-3=2），從中可知其每次有序擴(kuò)延的三角形的量，比五邊形多“（n+n-1）*2”個(gè)。由此可求得五棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

五棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*5]+[（2+1）*5]+[（3+2）*5]+[（4+3）*5]+……+[（n+n-1）*5]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

3.4 六棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律

圖28是反映六棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的例圖，圖29是六棱錐體點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計(jì)表，圖30是六棱錐體的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的統(tǒng)計(jì)表。

從圖28、圖29看出，隨著六棱錐體的有序擴(kuò)延，其增加點(diǎn)數(shù)的數(shù)列是循著“1*6，2*6，3*6，4*6……”的規(guī)律逐增，此乘數(shù)的“6”，正是六棱錐體的“6”。據(jù)此，可求得六棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，其定理為：六棱錐體數(shù)=1+《1*6》+（2*6）+（3*6）+（4*6）+ ……+（n*6）（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

現(xiàn)求六棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。從圖28、圖30看出，隨著六棱錐體的有序擴(kuò)延，其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，循著“[（1+0）*6]，[（2+1）*6]，[（3+2）*6]，[（4+3）*6]+……”

的規(guī)律逐增。式中乘數(shù)“6”，正是六棱錐體的“6”。與六邊形相比，式中乘數(shù)多“2”（即6-4=2），從中可知其每次有序擴(kuò)延的三角形的量，比四邊形多“（n+n-1）*2”個(gè)。由此可求得六棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增規(guī)律。其定理為：

六棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*6]+[（2+1）*6]+[（3+2）*6]+[（4+3）*6]+……+[（n+n-1）*6]

（式中n表示擴(kuò)延次數(shù)）

3.5 求證棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的循序逐增定理

先求證棱錐體數(shù)循序逐增定理。

已知，三棱錐體數(shù)=1+《1*3》+（2*3）+（3*3）+（4*3）+……+（n*3）；

四棱錐體數(shù)=1+《1*4》+（2*4）+（3*4）+（4*4）+……+（n*4）；

五棱錐體數(shù)=1+《1*5》+（2*5）+（3*5）+（4*5）+……+（n*5）；

六棱錐體數(shù)=1+《1*6》+（2*6）+（3*6）+（4*6）+……+（n*6）。

依照歸納法，得棱錐體數(shù)循序逐增定理為：

棱錐體數(shù)=1+《1*L》+（2*L）+（3*L）+（4*L）+……+（n*L）

（式中L表示棱的量，n表示擴(kuò)延次數(shù)）

現(xiàn)求證棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量循序逐增定理。

已知，三棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*3]+[（2+1）*3]+[（3+2）*3]+[（4+3）*3]+……+[（n+n-1）*3]；

四棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）4]+[（2+1）*4]+[（3+2）*4]+[（4+3）*4]+……+[（n+n-1）*4]；

五棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*5]+[（2+1）*5]+[（3+2）*5]+[（4+3）*5]+……+[（n+n-1）*5]

六棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*6]+[（2+1）*6]+[（3+2）*6]+[（4+3）*6]+……+[（n+n-1）*6]

依照歸納法，得棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量定理為：棱錐體數(shù)的“點(diǎn)之間形成的三角形”的量=0+[（1+0）*L]+[（2+1）*L]+[（3+2）*L]+[（4+3）*L]+……+[（n+n-1）*L]

（式中L表示棱的量，n表示擴(kuò)延次數(shù)）

3.6 棱錐體數(shù)可置換為扇形圖來表達(dá)

筆者研究結(jié)果表明，依照拓?fù)湓?，遵循棱錐體數(shù)的循序逐增規(guī)律，棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，可以置換為圓形圖來表達(dá)。如圖31，是表達(dá)三棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的圓形圖；如圖32，是表達(dá)四棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的圓形圖；如圖33，是表達(dá)五棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量的圓形圖。其余略。

4 棱錐體數(shù)（含“點(diǎn)之間形成的三角形”的量）與邊形數(shù)的相近相同現(xiàn)象

在此，值得一提的，如將三棱錐體數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量，跟五邊形數(shù)及其“點(diǎn)之間形成的三角形”的量作比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，三棱錐體的每一次擴(kuò)延增加的點(diǎn)數(shù)比五邊形的每一次擴(kuò)延增加的點(diǎn)數(shù)，只是1個(gè)點(diǎn)之差；三棱錐體的每一次擴(kuò)延增加的三角形的量與五邊形的每一次擴(kuò)延增加的三角形的量等同。同理，四棱錐體數(shù)跟六邊形數(shù)作比較，四棱錐體的每一次擴(kuò)延增加的點(diǎn)數(shù)比六邊形的每一次擴(kuò)延增加的點(diǎn)數(shù)，只是1個(gè)點(diǎn)之差，四棱錐體的每一次擴(kuò)延增加的三角形的量與六邊形的每一次擴(kuò)延增加的三角形的量等同。事實(shí)也表明，五棱錐體數(shù)跟七邊形數(shù)，六棱錐體數(shù)跟八邊形數(shù)……作比較，均存在這種相近相同的情況。對(duì)此，筆者認(rèn)為，棱錐體數(shù)（含“點(diǎn)之間形成的三角形”的量）與邊形數(shù)這種相近相同現(xiàn)象，是數(shù)學(xué)中值得研究的一個(gè)問題。

參考文獻(xiàn)

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