基于ARIMA模型的制動(dòng)摩擦襯片磨損預(yù)測(cè)

何晰浩 李金龍 郝占武 隋清海

（1. 中國第一汽車股份有限公司 研發(fā)總院，長(zhǎng)春130013；2. 汽車振動(dòng)噪聲與安全控制綜合技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春130013）

主題詞：摩擦襯片 ARIMA 磨損 制動(dòng)

1 引言

隨著國內(nèi)汽車保有量的爆發(fā)式增長(zhǎng)，交通事故的數(shù)量也隨之升高。為了減少交通事故，降低人員傷亡，行車安全被越來越多的關(guān)注。汽車制動(dòng)系統(tǒng)的制動(dòng)器摩擦副在工作時(shí)產(chǎn)生摩擦阻力，將車輛行駛的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能，讓車輛減速或者停車[1]。在能量轉(zhuǎn)化的過程中，制動(dòng)器摩擦襯片會(huì)出現(xiàn)磨損現(xiàn)象。當(dāng)摩擦材料磨損到極限時(shí)，制動(dòng)系統(tǒng)性能會(huì)下降甚至功能失效，影響汽車駕乘安全。因此摩擦材料的壽命預(yù)測(cè)顯得非常重要。

汽車摩擦材料磨損性能試驗(yàn)是檢驗(yàn)?zāi)Σ敛牧夏湍コ潭群皖A(yù)測(cè)整車壽命的檢驗(yàn)方法，可分為摩擦材料小樣試驗(yàn)、摩擦片臺(tái)架試驗(yàn)和整車道路試驗(yàn)3種[2]。

摩擦材料小樣試驗(yàn)具有簡(jiǎn)捷、快速、設(shè)備投資與試驗(yàn)費(fèi)用低等優(yōu)點(diǎn)[3]，但通常小樣試驗(yàn)只會(huì)在基礎(chǔ)摩擦材料研發(fā)時(shí)進(jìn)行，當(dāng)摩擦材料應(yīng)用到具體車型時(shí)，其磨損特性與車型慣量、摩擦材料形狀、散熱條件關(guān)系密切。摩擦片臺(tái)架試驗(yàn)各個(gè)整車廠均有相關(guān)的臺(tái)架試驗(yàn)方法，典型的有krauss 試驗(yàn)和慣性臺(tái)架試驗(yàn)，慣性臺(tái)架試驗(yàn)成本高,方法復(fù)雜，完整試驗(yàn)時(shí)間長(zhǎng)。

整車道路試驗(yàn)常由整車廠進(jìn)行，涵蓋市區(qū)、高速、鄉(xiāng)村、山路等工況，如美國的洛杉磯LACT試驗(yàn)以及西班牙Mojcar 試驗(yàn)等[4]；雖然整車道路試驗(yàn)對(duì)摩擦襯片壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，但試驗(yàn)耗時(shí)長(zhǎng)，開發(fā)驗(yàn)證的時(shí)間較晚。

因此，需要建立摩擦襯片壽命的預(yù)測(cè)方法。王麗賢[5-7]等人指出，預(yù)測(cè)是指運(yùn)用適當(dāng)?shù)氖侄未罱ǚ线^去狀態(tài)、當(dāng)前水平和未來發(fā)展趨勢(shì)的模型。傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)方法有回歸分析預(yù)測(cè)法、灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)法、時(shí)間序列預(yù)測(cè)法等。李王宇辰[8]和張彥[9]利用灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)法對(duì)摩擦襯片的壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，但預(yù)測(cè)精度有限。羅慶生[10]應(yīng)用回歸分析法對(duì)摩擦襯片的壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，但缺乏工程應(yīng)用價(jià)值。自回歸求積移動(dòng)平均模型(Auto Regressive Integrated Moving Average model，ARIMA)[11]是Box 和Jenkins 等在上個(gè)世紀(jì)七十年代提出的一種時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，能夠排除擾動(dòng)，不依賴外部變量、克服其他因素的影響，根據(jù)時(shí)間序列歷史值對(duì)未來值進(jìn)行預(yù)測(cè)[12]，簡(jiǎn)稱ARIMA 模型，是目前應(yīng)用最廣、精度最高的線性時(shí)間預(yù)測(cè)方法。

本文建立了一定時(shí)間范圍內(nèi)的摩擦片磨損量ARIMA模型。研究結(jié)果表明，該模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)摩擦片磨損趨勢(shì)的預(yù)測(cè)，且預(yù)測(cè)精度較高，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

2 ARIMA模型基本理論

當(dāng)汽車制動(dòng)時(shí)，摩擦襯片便會(huì)磨損，磨損量隨著車輛的里程增加而隨之增加，因此可以將摩擦襯片的磨損過程看作隨時(shí)間變化而發(fā)展的時(shí)間序列，時(shí)間序列的觀測(cè)值要求時(shí)間是等間隔的。從上個(gè)世紀(jì)二十年代起，陸續(xù)有學(xué)者開始研究時(shí)間序列并建立數(shù)學(xué)分析模型[12]，時(shí)間序列模型包括自回歸AR(p)模型、移動(dòng)平均MA(q)模型、自回歸移動(dòng)平均ARMA(p,q)模型、自回歸求積移動(dòng)平均ARIMA(p,d,q)模型。

2.1 時(shí)間序列模型簡(jiǎn)介

2.1.1 自回歸AR模型

如果一個(gè)時(shí)間序列{yt;t=1,2,…}只與該序列的歷史數(shù)據(jù)有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān)。那么該時(shí)間序列可以用自回歸(AR)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

式中，p為自回歸模型的階數(shù)，記為AR(p),α和ω是回歸系數(shù),c為常數(shù)。

2.1.2 移動(dòng)平均MA模型

如果一個(gè)時(shí)間序列{yt;t=1,2,…}可以用過去各個(gè)時(shí)期的隨機(jī)干擾或預(yù)測(cè)誤差的線性組合來表達(dá)當(dāng)前預(yù)測(cè)值，那么可以用移動(dòng)平均MA(q)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

式中，yi-1為t時(shí)刻和t-i時(shí)刻的隨機(jī)誤差，q表示模型的階數(shù)，記為MA(q)。

2.1.3 自回歸移動(dòng)平均ARMA模型

如果一個(gè)時(shí)間序列{yt;t=1,2,…}既有自回歸模型AR(p)和移動(dòng)平均模型MA(q)的特點(diǎn)時(shí)，該序列可以用自回歸移動(dòng)平均ARMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

式（3）可以看作自回歸模型AR(p)和移動(dòng)平均模型MA(q)的組合，當(dāng)p=0 時(shí)，模型表現(xiàn)為移動(dòng)平均模型；當(dāng)q=0 時(shí)，模型表現(xiàn)為自回歸模型。

2.1.4 自回歸求積移動(dòng)平均ARIMA模型

如果時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，需要先對(duì)序列進(jìn)行差分處理，將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列后再使用ARMA(p,q)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，即ARIMA(p,d,q)模型。模型中p表示自回歸項(xiàng)數(shù)，d表示時(shí)間序列差分次數(shù)、q表示移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)。

2.2 時(shí)間序列預(yù)測(cè)流程

時(shí)間序列的預(yù)測(cè)首先要以時(shí)間為標(biāo)準(zhǔn)收集一系列數(shù)據(jù)。其次對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。對(duì)于平穩(wěn)序列，應(yīng)建立ARMA模型的識(shí)別，確定模型參數(shù)p值和q值；對(duì)于非平穩(wěn)序列，要先通過d次差分得到平穩(wěn)序列，再建立ARIMA 模型。模型建立之后，需要對(duì)其擬合效果進(jìn)行檢驗(yàn)，擬合效果較好的模型方可用于時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。

3 ARIMA模型構(gòu)建

3.1 ARIMA模型建模步驟

首先采集一組隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，應(yīng)用Python或者EViews 等軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。如果數(shù)據(jù)平穩(wěn)，進(jìn)行ARMA分析，確定p、q值；如果數(shù)據(jù)不平穩(wěn)，則需要差分后再次進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，差分的次數(shù)是d值。最終建立差分后平穩(wěn)序列的ARIMA模型，模型即可用于該序列的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，圖1是ARIMA建模流程。

圖1 ARIMA模型預(yù)測(cè)流程

3.2 獲取原始數(shù)據(jù)

根據(jù)徐仁泉等人的研究[13]，為獲取某摩擦片磨損量的下限與工作時(shí)間的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用相同的工作時(shí)間間隔(5 h)檢測(cè)得到的磨損量下限隨時(shí)間的變化關(guān)系為研究對(duì)象。取前45 h的測(cè)量值為原始數(shù)據(jù)，對(duì)第50 h的磨損量進(jìn)行預(yù)測(cè)，驗(yàn)證ARIMA模型的預(yù)測(cè)精度和可靠性（表1）。

表1 摩擦片磨損量下限與工作時(shí)間的數(shù)據(jù)

3.3 模型及參數(shù)的確定

3.3.1d值的確定

首先應(yīng)用ADF 檢驗(yàn)法查看時(shí)間序列的穩(wěn)定性。ADF檢驗(yàn)法假設(shè)時(shí)間序列存在單位根，即假設(shè)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，存在周期性的波動(dòng)。如果檢驗(yàn)結(jié)果顯示T值的絕對(duì)值低于1%、5%、10%的觀測(cè)水平，并且顯著概率P-value值大于0.05時(shí)，則認(rèn)為序列不平穩(wěn)，此時(shí)不能拒絕原假設(shè)。

表2給出了原始序列、一階差分序列、二階差分序列的ADF 檢驗(yàn)結(jié)果，可以看出，原始序列T值的絕對(duì)值小于1%，5%，10%的觀測(cè)水平，顯著概率P-value值大于0.05，說明原始序列不平穩(wěn)。一階差分序列T值的絕對(duì)值大于5%，10%的觀測(cè)水平，但小于1%的觀測(cè)水平，說明當(dāng)序列的置信度大于99%時(shí)，一階差分序列不平穩(wěn)。二階差分序列的T值的絕對(duì)值大于1%水平的絕對(duì)值，且原假設(shè)的接受概率為0，證明了二階差分序列平穩(wěn)，故ARIMA模型的參數(shù)d取值為2。

表2 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

3.3.2p值和q值的確定

ARIMA分析可以通過自相關(guān)圖(ACF)和偏自相關(guān)圖(PACF)來判斷序列的大概范圍。

如圖2所示，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理可以看出，差分序列在自相關(guān)圖一階截尾，偏自相關(guān)圖一階拖尾，所以p值取1，q值取1。

圖2 差分序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

因此，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析后，可以用ARIMA(1,2,1)對(duì)原始序列建模，進(jìn)行模型預(yù)測(cè)和數(shù)據(jù)分析工作。

4 模型預(yù)測(cè)及分析

4.1 模型預(yù)測(cè)

對(duì)摩擦襯片磨損的序列建立ARIMA(1,2,1)的模型，建模參數(shù)如表3。擬合數(shù)據(jù)的R2達(dá)到0.997，證明擬合程度非常好，AR和MA的系數(shù)分別為0.429 和0.989，顯著性水平都不為0。

表3 ARIMA(1,2,1)模型建模結(jié)果

表4給出了ARIMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，第50 h的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值相比，絕對(duì)殘差為-4.17，相對(duì)殘差為-1.67%，擬合精度達(dá)到了預(yù)測(cè)的要求。

表4 ARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果

4.2 與其他預(yù)測(cè)方式的比較

與灰色數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)方法的比較見表5，可以看出，ARIMA模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)更完整，預(yù)測(cè)精度更高。

表5 ARIMA模型與灰色數(shù)學(xué)模型比較

5 結(jié)論

通過實(shí)例分析可以看出，采集摩擦襯片的磨損量隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，建立的基于ARIMA 的摩擦襯片磨損量模型在工程上是可行的。

相比于殘差修正的灰色數(shù)學(xué)模型，ARIMA模型具有更高較高的精度，更貼合工程實(shí)際，可以較為真實(shí)的反應(yīng)摩擦襯片的隨時(shí)間變化的磨損變化趨勢(shì)，有助于相關(guān)從業(yè)者通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析預(yù)測(cè)摩擦襯片的磨損壽命。

針對(duì)目前常用的制動(dòng)器臺(tái)架試驗(yàn)?zāi)p方法，SAE J2707 中的method A 章節(jié)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以用本文介紹的方法進(jìn)行分析，method B 章節(jié)block wear 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，更適合用非均勻采樣數(shù)據(jù)的相關(guān)試驗(yàn)方法進(jìn)行分析研究，筆者也將繼續(xù)深入研究。