水相分流量全過程有理式模型的建立及應(yīng)用

呂 晶，劉顯太，孫業(yè)恒，陳德坡，黃迎松

（1.中國石化勝利石油管理局有限公司博士后科研工作站，山東東營 257001；2.中國石化勝利油田分公司，山東東營 257001；3.中國石化勝利油田分公司勘探開發(fā)研究院，山東東營 257015）

水相分流量曲線是研究油藏開發(fā)動態(tài)的重要基礎(chǔ)資料之一，利用水相分流量曲線能夠分析油藏含水率上升規(guī)律、水驅(qū)油藏含水飽和度分布、地層平均含水飽和度及采出程度、驅(qū)油效率等重要開發(fā)指標，對分析油藏開發(fā)動態(tài)意義重大［1-3］。目前水相分流量曲線的獲取方法是利用室內(nèi)相對滲透率測試數(shù)據(jù)，通過水相分流量定義式計算得到［4-5］。由于室內(nèi)實驗驅(qū)替倍數(shù)有限，不能直接獲得殘余油飽和度，水相分流量方程的末端值是估算所得。理論上水相分流量的數(shù)值為0～1，但現(xiàn)階段針對水相分流量方程的近似擬合模型，如經(jīng)典邏輯斯蒂方程，其方程形式?jīng)Q定了水相分流量計算結(jié)果在初始時刻無法等于0，同時曲線末端不能等于1，只能無限逼近1，無法計算殘余油飽和度，水相分流量曲線的末端值仍無法確定。

針對水相分流量擬合以及曲線末端含水飽和度取值的問題，以室內(nèi)一維小巖心驅(qū)替實驗為研究對象，根據(jù)水相分流量曲線的實際特征，結(jié)合水相分流量的實際物理意義及水相分流量在理論上的初始條件和邊界條件，通過對比多種S型函數(shù)，確定并建立滿足水相分流量的邊界條件的全過程數(shù)學(xué)模型。該模型通過2 個調(diào)整指數(shù)，保障曲線S 型特征與實測水相分流量分布特征一致。同時，圍繞水相分流量末端含水飽和度預(yù)測的問題，通過設(shè)置極限含水飽和度參數(shù)，實現(xiàn)利用實測資料擬合直接獲得殘余油飽和度。該方法利用相對滲透率測試報告即可實現(xiàn)殘余油飽和度的預(yù)測，具有較為廣泛的適用性?；谠撃Ｐ涂色@得相對滲透率比值全過程曲線，能夠明確驅(qū)替從初始時刻到極限時刻的油水運動規(guī)律變化特征，為開展水驅(qū)油藏開發(fā)動態(tài)研究，特別是高含水老油田注水開發(fā)動態(tài)特征研究和長期注水導(dǎo)致的油藏局部高耗水等問題的研究提供理論基礎(chǔ)和指導(dǎo)。

1 水相分流量曲線

1.1 形態(tài)特征及物理意義

根據(jù)油藏工程理論，水相分流量的物理意義為任意位置的水相流量與油水兩相流量之和的比值，反映油水兩相流動中水相的流動能力［6］。水相分流量通常用fw表示，數(shù)值范圍介于0 到1，函數(shù)表達式為：

（1）式表明，水相分流量與油水黏度比和油水相相對滲透率比值有關(guān)，對于特定油藏，油水黏度比可近似認為是定值，因此，水相分流量的大小和變化過程實質(zhì)上反映了油水相相對滲透率比值隨驅(qū)替過程的變化。由于油水相相對滲透率比值是含水飽和度的函數(shù)，水相分流量也是含水飽和度的函數(shù)（圖1）。

圖1 水相分流量理論曲線Fig.1 Theoretical curve of water fractional flow

大量室內(nèi)實驗及礦場開發(fā)實踐表明，水相分流量曲線呈S 型，具有單調(diào)遞增性質(zhì)［7-8］。曲線形態(tài)反映了油水兩相流量在不同驅(qū)替階段的變化過程，初始階段水相分流量較低，表明低含水期水相流速低，地層中流體以油相流動為主；進入中高含水期后，曲線大幅上升，此時水相流速逐漸上升，油相流速下降迅速；到了高含水階段，曲線趨近平緩且逐漸接近于1，表明此時兩相流體以水相流動為主，油相流動能力極低，驅(qū)替效果越來越差［9-11］。當fw=1 時，地層流體完全為水相單相流，油相不再發(fā)生流動，此時曲線對應(yīng)的含水飽和度為殘余油飽和度［12-13］。

1.2 邊界條件

殘余油是指被注入水或驅(qū)油劑波及仍驅(qū)替不出來的原油，這部分原油體積占地層孔隙體積的百分數(shù)即為殘余油飽和度。對于室內(nèi)一維小巖心驅(qū)替實驗而言，注入水波及系數(shù)為1，因此，小巖心驅(qū)替的殘余油飽和度是在注入量足夠大甚至達到無窮大時出現(xiàn)。由于室內(nèi)實驗注入量有限，利用實驗獲取分流量末端含水飽和度是難以實現(xiàn)的。

從數(shù)學(xué)角度上，注入量趨近于無限大是存在的，水相分流量理論上可等于1，此時對應(yīng)的含水飽和度為水驅(qū)油含水飽和度的極限值。同時，在注入水即將注入的時刻，巖心內(nèi)尚未但即將發(fā)生流動，此時水相分流量為0，含水飽和度為原始含水飽和度，由此確定了水相分流量曲線的邊界條件。

初始條件為：

極限條件為：

由于Sorw不確定，直接擬合fw與Sw關(guān)系具有多解性，為提高數(shù)學(xué)模型的精度，定義參數(shù)可采儲量采出程度的物理意義為目前累積采出油量與可動油區(qū)間內(nèi)地質(zhì)儲量的比值。其表達式為：

由于Sw∈[Swi,Sorw]，由（2）式和（3）式可知ηo∈[0,1 ]。將fw與Sw曲線轉(zhuǎn)化成fw與ηo曲線，等同于對水相分流量曲線進行橫向拉伸，縱軸不變，仍可以保持曲線形態(tài)及特征（圖2）。

圖2 fw與ηo關(guān)系曲線Fig.2 Relationship curve between fw and ηo

2 水相分流量曲線模型的建立

2.1 模型基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的確定

通過對水相分流量曲線邊界條件的分析，將fw∈[0,1 ]，Sw∈[Swi,Sorw]的擬合問題轉(zhuǎn)化成fw∈[0,1 ]，ηo∈[0,1 ]的問題，由于ηo取值范圍明確，對數(shù)學(xué)模型的選擇也更加嚴格?？紤]待求曲線的S型特征，結(jié)合曲線定義域和值域均為[0,1 ]的特點，對目前較為常見的S 型曲線進行分析，目前較為常用的S型曲線模型［14-17］如表1所示。

目前大多數(shù)S型曲線的函數(shù)模型由于存在指數(shù)e，導(dǎo)致函數(shù)初始值不能取0，且極限值不能取1，與水相分流量曲線的初始條件和理論極限不符。這些函數(shù)大多可以用于擬合水相分流量曲線的中間區(qū)間，無法用于擬合包含初始值和極限值的全過程分流量曲線。多項式理論上只要階數(shù)足夠高，就可以表征任意復(fù)雜函數(shù)曲線，但考慮多項式的復(fù)雜程度，多項式次冪越高，求解越難，不利于實際應(yīng)用。有理式具有端值可取、曲線可調(diào)的特征，能夠滿足水相分流量曲線的初始條件和極限條件。同時，針對不同類型的水相分流量曲線，有理式能夠通過調(diào)整擬合指數(shù)，滿足中間過程的擬合需要，因此，水相分流量的擬合模型采用有理式形式。

2.2 數(shù)學(xué)模型的建立

參考表1 中S 型曲線有理式的基本形式，令自變量x為可采儲量采出程度，y為水相分流量。由于驅(qū)替極限條件fw=1，令Vmax=kn+1，建立水相分流量曲線的初始模型：

表1 常用S型曲線的數(shù)學(xué)模型及取值范圍統(tǒng)計結(jié)果Table1 Statistics of common S-curve mathematical model and value range

根據(jù)（5）式的函數(shù)形式，函數(shù)的初始值為ηo=0，fw=0，而極限值滿足條件ηo=1，fw=1，符合水相分流量曲線的邊界條件。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上，（5）式包含kn和ηon2個指數(shù)項，其中kn主要影響曲線初始階段的形態(tài)，kn越小，曲線上升段向左偏移且上升速度越快（圖3）。根據(jù)油藏工程理論，水油黏度比越低（即油水黏度比越高），水相分流量曲線的凸性越突出，表現(xiàn)為油相黏度大，水驅(qū)油見水后含水率上升快，水相分流量曲線上升迅速［18-20］。水油黏度比對分流量曲線的影響規(guī)律與數(shù)學(xué)模型中kn具有一致性。設(shè)油水黏度比為μR，令，將（5）式改寫為：

實際油藏開發(fā)中，即使油水黏度比相同，油水運動規(guī)律也會因儲層物性及驅(qū)替條件的不同而存在較大差異，水相分流量曲線形態(tài)也存在不同。為保障模型的通用性和擬合精度，對模型指數(shù)項進行區(qū)分，將μR-n改寫為μR-m，進一步提高模型在各種條件下的適用性。最終構(gòu)建水相分流量基本函數(shù)式為：

由（7）式可知，改寫后的數(shù)學(xué)模型仍滿足水驅(qū)油過程的邊界條件，主要表現(xiàn)為開始驅(qū)替時，ηo=0，fw=0；達到極限驅(qū)替條件時，巖石孔隙內(nèi)無油相流動，采出端只出水，此時ηo=1，fw=1。對于特定油藏流體，油水黏度比可認為是常數(shù)；而擬合系數(shù)m和n，其主要作用是調(diào)整曲線的S 形態(tài)，使模型在處理不同類型水相分流量曲線均可達到較好的擬合效果。

將（4）式代入（7）式中，得：

（8）式反映了水相分流量與含水飽和度的關(guān)系，式中未知量包括m，n和Sorw，可通過擬合相對滲透率測試中水相分流量測試結(jié)果，從而得到理論極限驅(qū)替下的殘余油飽和度。

根據(jù)（1）式，油水相相對滲透率比值的表達式為：

將（8）式代入（9）式，即可得到油水相對滲透率比值的全過程曲線。

3 應(yīng)用實例

圖3 相同n不同k的水相分流量有理式模型計算結(jié)果Fig.3 Calculation results of rational formula model under same n and different k values

勝利油田中高滲透油藏某砂巖樣品孔隙度為0.34，滲透率為4.67 D，束縛水飽和度為0.18。在50 ℃條件下采用恒壓驅(qū)替，注入水黏度為0.576 3 mPa·s，模擬油黏度為19.75 mPa·s。實驗結(jié)束時注入量為1 000 PV，含水飽和度為0.728，剩余油飽和度為0.272。油水相相對滲透率及水相分流量測試結(jié)果如表2所示。

表2 勝利油田中高滲透油藏某砂巖樣品高注入量相對滲透率測試結(jié)果Table2 Test results of relative permeability with high injection volume of sandstone sample from high permeability reservoir of Shengli Oilfield

利用（8）式對表2中的實驗數(shù)據(jù)進行擬合，計算相對誤差平均為0.4%，擬合精度極高，計算結(jié)果具有正確性和可靠性。模型的擬合系數(shù)分別為：m=2.29，n=4.61，Sorw=0.904，進而得到理論極限驅(qū)替的殘余油飽和度為0.096，極限采收率為88.26%。

通過（8）式計算相對滲透率比值，對比實驗測試結(jié)果（圖4）可知，相對滲透率比值的擬合曲線與實測值具有較高的吻合度，表明建立的數(shù)學(xué)模型能夠達到較好的擬合效果。由于模型考慮了極限條件，得到的相對滲透率比值曲線具有初始快速下降、中間近似直線段、末端下彎的特征，這一特征與現(xiàn)有油水運動規(guī)律的認識一致，表明模型具有可靠性。同時，相對滲透率比值曲線采用連續(xù)函數(shù)計算得到，使計算結(jié)果在數(shù)學(xué)和滲流2 方面的連續(xù)性均得到保障。

圖4 水相分流量及相對滲透率比值擬合結(jié)果Fig.4 Fitting results between water fractional flow and relative permeability ratio

4 結(jié)論

基于油藏工程理論，利用數(shù)學(xué)方法建立了有理式形式的水相分流量全過程模型。相比以往的指數(shù)e 形式的模型，該模型考慮了水相分流量曲線的端點值，為水驅(qū)油殘余油飽和度的確定以及采收率理論極限的預(yù)測提供了新的思路和方法。模型所需參數(shù)為相對滲透率測試報告，資料易獲取，應(yīng)用范圍廣泛，具有較高的普及性與實用性。但目前對該模型的認識尚淺，根據(jù)油藏工程理論，儲層物性條件、流體性質(zhì)條件及注采條件等因素發(fā)生變化，水相分流量曲線的形態(tài)也會隨之改變。模型中調(diào)整曲線形態(tài)的參數(shù)為m和n，這2 個參數(shù)與實際物性、流體、注采等參數(shù)的關(guān)系及參數(shù)具體物理意義，還需要進一步開展研究。

符號解釋

a,b,c,d,k,r,m,n——擬合系數(shù)；

fw——水相分流量，無量綱；

Kro——油相相對滲透率，無量綱；

Krw——水相相對滲透率，無量綱；

qo——油相流速，mL/min；

qw——水相流速，mL/min；

Sorw——殘余油飽和度下對應(yīng)的含水飽和度，無量綱；

Sw——含水飽和度，無量綱；

Swi——原始含水飽和度，無量綱；

Vmax——應(yīng)變量的最大值，無量綱；

ηo——可采儲量采出程度，無量綱；

μo——油相黏度，mPa·s；

μR——油水黏度比，無量綱；

μw——水相黏度，mPa·s。