頁巖油藏表觀液體滲透率的分形表征方法

楊元亮

（中國石化新疆新春石油開發(fā)有限責(zé)任公司，山東東營 257000）

目前，頁巖油藏已成為油氣開發(fā)的一個熱點領(lǐng)域，頁巖油藏的勘探、開發(fā)及油氣滲流理論迅速發(fā)展［1-4］。滲透率反映流體在多孔介質(zhì)中的滲流規(guī)律和基本特征，被廣泛應(yīng)用于油藏開發(fā)動態(tài)分析、油藏數(shù)值模擬技術(shù)和產(chǎn)量評估，是油田開發(fā)中一個非常重要的參數(shù)和研究熱點。頁巖油藏具有源儲一體、微納米級孔隙發(fā)育和儲集物性差的特征，屬于超低滲透致密儲層。針對低滲透油藏和致密油藏的滲流機(jī)理及實驗研究相對較多，建立了基于邊界層理論的非線性滲流理論，從理論和實驗方面分析了邊界層效應(yīng)對滲流規(guī)律的影響［5-6］。但是有關(guān)頁巖油藏的有效滲流能力的影響因素及表征方法的研究仍處于初級階段［7-10］。

負(fù)滑移長度定義為在納米孔壁處不流動流體的厚度［11］。研究結(jié)果表明［12-15］：頁巖油藏孔隙細(xì)小，半徑為1～200 nm 的微納米孔隙發(fā)育，多數(shù)孔隙半徑小于5 nm［16］，液-固界面間的分子作用力較強(qiáng)。流體在頁巖孔隙壁面存在速度滑移現(xiàn)象，負(fù)滑移長度與孔隙潤濕性和孔隙類型相關(guān)［17-19］。由于納米尺度和滑移流動的復(fù)雜性，有必要建立考慮頁巖油藏滑移效應(yīng)的滲透率表征方法。當(dāng)從宏觀尺度到納米尺度時，液體流動動力學(xué)發(fā)生變化：相對于傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)流體流動方程，在納米尺度范圍內(nèi)負(fù)滑移長度隨系統(tǒng)特征尺度的減小和摩擦力的減小而增大，使得連續(xù)無滑移流動假設(shè)不再成立，達(dá)西滲流規(guī)律不適用于頁巖油藏中液體流量的測定［20-22］。WANG 等應(yīng)用分子動力學(xué)方法研究流體在無機(jī)和有機(jī)納米孔的運(yùn)移機(jī)制，建立了考慮負(fù)滑移長度和表觀黏度的液烴運(yùn)移機(jī)制［23］；蘇玉亮等結(jié)合頁巖孔隙潤濕特性，考慮流體吸附、速度滑移及流體物性變化作用機(jī)制，引入頁巖孔隙迂曲度、孔隙度和有機(jī)孔含量等結(jié)構(gòu)參數(shù)，在單毛細(xì)管模型的基礎(chǔ)上建立頁巖油藏微納米多孔介質(zhì)表觀液體滲透率模型，研究了不同運(yùn)移機(jī)制對頁巖油藏表觀液體滲透率的影響［24］。然而這些模型不能描述孔隙結(jié)構(gòu)特征［25］對表觀液體滲透率的影響。研究頁巖油藏的有效滲流能力，建立頁巖油藏表觀液體滲透率的表征方法是評價頁巖油藏有效滲流能力的一種重要方法，對形成頁巖油藏數(shù)值模擬技術(shù)、建立產(chǎn)量預(yù)測模型和研究頁巖油藏開發(fā)產(chǎn)量變化特征具有重要的現(xiàn)實意義。

1982年美國數(shù)學(xué)家MANDELBROT 創(chuàng)建了分形幾何理論［26］，該理論被廣泛用于描述具有自相似性的復(fù)雜幾何空間，天然多孔介質(zhì)的微孔隙結(jié)構(gòu)已被證明具有分形特征［27-28］。許多學(xué)者應(yīng)用分形理論研究頁巖油藏的孔隙結(jié)構(gòu)特征［29］、頁巖氣藏的表觀液體滲透率［30］和建立油水相對滲透率理論模型［31-33］。頁巖油藏巖相類型復(fù)雜，孔隙類型多樣，孔隙尺寸相差較大，潤濕性各不相同，滑移特征不同，有效預(yù)測頁巖油藏的滲透率仍然具有挑戰(zhàn)性。為此，筆者基于多孔介質(zhì)分形理論，對Hagen-Poiseuille 流動方程［34］進(jìn)行滑移修正，定量描述微納米管內(nèi)考慮滑移現(xiàn)象的流動特征，并在此基礎(chǔ)上建立考慮負(fù)滑移特征的頁巖油藏表觀液體滲透率模型，定量分析迂曲度、孔隙介質(zhì)的分形維數(shù)和負(fù)滑移長度等因素對表觀液體滲透率的影響。

1 考慮負(fù)滑移長度的表觀液體滲透率模型

1.1 考慮負(fù)滑移長度的微納米管流量模型

流體在微納米管中的流動表現(xiàn)為牛頓流體的流動特征。牛頓流體的應(yīng)力本構(gòu)方程為［34］：

對半徑為R的微納米管內(nèi)流動半徑r處流體的應(yīng)變，應(yīng)用（1）式可描述為：

假設(shè)流體的負(fù)滑移長度為δ，相當(dāng)于有效滲流半徑減小δ，對（2）式從r到R-δ進(jìn)行積分，得：

則得到流體沿微納米管半徑方向的速度分布為：

對（4）式沿微納米管半徑方向進(jìn)行積分，得到流體通過單個微納米管的流量為：

根據(jù)（5）式，得到液體在微納米管中流動的平均速度為：

（5）式為考慮負(fù)滑移長度的微納米管流量模型，（6）式為考慮負(fù)滑移長度的微納米管流速模型。當(dāng)負(fù)滑移長度為0時，（5）式即為描述流體在微納米管中流動的Hagen-Poiseuille 方程。因此，（5）式被定義為考慮負(fù)滑移長度的修正Hagen-Poiseuille 方程，可用來量化研究微納米管中負(fù)滑移長度對滲流速度的影響。

1.2 表觀液體滲透率模型

令多孔介質(zhì)的迂曲度為彎曲微納米管的真實長度與視長度之比，即：

將（7）式代入（5）式，得到考慮迂曲度的單個微納米管流量模型為：

根據(jù)多孔介質(zhì)的分形理論，將分形多孔介質(zhì)的總流量視為通過半徑為(rmin,rmax)微納米管的流量之和，即：

其中，dN為平均孔隙半徑在r和r+dr范圍內(nèi)的總孔隙數(shù)［35］，即：

將（8）式和（10）式代入（9）式，得通過滲流橫截面積A的總流量為：

因此，根據(jù)多孔介質(zhì)的分形理論，考慮負(fù)滑移長度的流量方程為：

根據(jù)達(dá)西滲流方程，通過滲流橫截面積為A，長度為L0的真實巖心的流量為：

假設(shè)該真實巖心的迂曲度與微納米管模型的迂曲度相等，當(dāng)真實巖心和分形多孔介質(zhì)的滲流阻力相等時，則（12）式和（13）式描述的流量相等，即：

由（14）式得到表觀液體滲透率模型為：

根據(jù)多孔介質(zhì)的分形理論，巖心的滲流橫截面積可表示為［36］：

將（16）式代入（15）式中，得到考慮負(fù)滑移長度的頁巖油藏的表觀液體滲透率為：

其中，多孔介質(zhì)迂曲度的計算式為［37］：

根據(jù)（17）和（18）式，得表觀液體滲透率與達(dá)西滲透率之比為：

（17）式即為基于多孔介質(zhì)分形理論建立的頁巖油藏表觀液體滲透率模型。從該式中可以看出，頁巖油藏表觀液體滲透率受頁巖油藏的孔隙分形維數(shù)、孔隙度、迂曲度和最大孔隙半徑的影響，更重要的是（17）式體現(xiàn)了負(fù)滑移長度對頁巖油藏表觀液體滲透率的影響。

2 參數(shù)敏感性分析

為研究各種參數(shù)對頁巖中液體流動的影響進(jìn)行敏感性分析，各參數(shù)值見表1。

表1 巖心及流體的基本參數(shù)Table1 Basic parameters of core and liquid

2.1 微納米管半徑對平均流體滲流速度的影響

在微納米管半徑為20～400 nm，負(fù)滑移長度為10 nm 的條件下，應(yīng)用（6）式計算單位長度微納米管內(nèi)平均流體流動速度。結(jié)果（圖1）表明，在微納米管兩端驅(qū)動壓差和流體性質(zhì)相同的條件下，當(dāng)微納米管半徑與負(fù)滑移長度接近時，微納米管內(nèi)流體的平均滲流速度幾乎為0；在相同負(fù)滑移長度的條件下，不同半徑微納米管內(nèi)平均流體滲流速度差異較大，平均流體滲流速度隨著微納米管半徑的增加而增加。

圖1 不同微納米管半徑下平均流體滲流速度Fig.1 Average percolation velocity at different radii of micro/nanotubes

2.2 負(fù)滑移長度對平均流體滲流速度的影響

頁巖油藏孔隙半徑小，負(fù)滑移長度對流體滲流速度和表觀液體滲透率的影響不可忽略，由于負(fù)滑移長度的存在，流體的有效滲流半徑減小。應(yīng)用（6）式計算不同負(fù)滑移長度（10，20 和30 nm）對平均流體滲流速度的影響，由結(jié)果（圖2）可知，負(fù)滑移長度越大，微納米管內(nèi)流體的平均滲流速度越小。

圖2 負(fù)滑移長度對平均流體滲流速度的影響Fig.2 Influence of negative slip length on average percolation velocity

2.3 驅(qū)替壓差對平均流體滲流速度的影響

由驅(qū)替壓差對平均流體滲流速度的影響（圖3）可見，在負(fù)滑移長度為10 nm 的條件下，平均流體滲流速度隨驅(qū)替壓差的增大而增大；當(dāng)微納米管半徑較小時，負(fù)滑移長度相對于微納米管半徑不可忽略，驅(qū)替壓差對平均流體滲流速度影響較小。

圖3 驅(qū)替壓差對平均流體滲流速度的影響Fig.3 Influence of displacement pressure difference on average percolation velocity

2.4 負(fù)滑移長度對流體滲流速度分布的影響

所選用的微納米管半徑分別為40，100 和400 nm，負(fù)滑移長度分別為10，20，30 nm。微納米管內(nèi)流體滲流速度的分布（圖4）表明：在同一個微納米管內(nèi)，沿微納米管半徑方向流體的滲流速度呈現(xiàn)對稱分布，在靠近微納米管壁的位置處流體滲流速度為0，在微納米管中心流體滲流速度最大；且負(fù)滑移長度越大，流體的有效滲流半徑越小，流體滲流速度分布越窄；負(fù)滑移長度越大，微納米管中心的流體滲流速度越小。對比不同半徑微納米管內(nèi)平均流體滲流速度，微納米管半徑越大負(fù)滑移長度對平均流體滲流速度分布的影響越小，且微納米管中心位置處的平均流體滲流速度隨微納米管半徑的增大而增大。

2.5 多孔介質(zhì)最大孔隙半徑對表觀液體滲透率的影響

在不同的多孔介質(zhì)最大孔隙半徑下，負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率與達(dá)西滲透率之比的影響（圖5）表明：在某一最大孔隙半徑下，表觀液體滲透率與達(dá)西滲透率之比隨負(fù)滑移長度的增加而減?。辉谙嗤?fù)滑移長度條件下，最大孔隙半徑越大，負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率與達(dá)西滲透率之比的影響越小，即隨著平均孔隙半徑的增大，表觀液體滲透率和達(dá)西滲透率之間的差異逐漸縮小。根據(jù)（20）式可知，當(dāng)負(fù)滑移長度與多孔介質(zhì)最大孔隙半徑之比可以忽略不計時，負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率與達(dá)西滲透率之比的影響也可以忽略。反之，當(dāng)負(fù)滑移長度與多孔介質(zhì)的最大孔隙半徑之比不可以忽略時，負(fù)滑移長度在一定程度上將影響表觀液體滲透率與達(dá)西滲透率之比。

圖4 微納米管內(nèi)流體滲流速度的分布Fig.4 Distribution of average percolation velocity in micro/nanotubes

圖5 不同多孔介質(zhì)最大孔隙半徑下負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率與達(dá)西滲透率之比的影響Fig.5 Influence of negative slip length on ratio of apparent liquid permeability to Darcy permeability at different maximum pore radii of porous media

當(dāng)迂曲度為1.5，孔隙度為0.05，分形維數(shù)為1.5時，對比研究了最大孔隙半徑分別為200，300 和400 nm 時負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率的影響。由結(jié)果（圖6）可見，在不同的最大孔隙半徑條件下負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率的影響體現(xiàn)出相同的趨勢，隨著負(fù)滑移長度的增加，表觀液體滲透率減小。對比不同孔隙半徑的負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率的影響可知，相同負(fù)滑移長度時，平均孔隙半徑越大，負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率的影響越小。

2.6 迂曲度對表觀液體滲透率的影響

圖6 不同多孔介質(zhì)最大孔隙半徑下負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率的影響Fig.6 Influence of negative slip length on apparent liquid permeability at different maximum pore radii of porous media

迂曲度是影響多孔介質(zhì)滲透率的重要參數(shù)，表征多孔介質(zhì)中不同尺寸孔隙的彎曲程度。當(dāng)最大孔隙半徑為300 nm，負(fù)滑移長度為10 nm，孔隙度為0.05，分形維數(shù)為1.5 時，由迂曲度對表觀液體滲透率的影響（圖7）可見，隨著迂曲度的增加表觀液體滲透率降低?？紫犊臻g流動的彎曲程度增加，孔隙結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，導(dǎo)致液體流動阻力增加，表觀液體滲透率降低。

圖7 迂曲度對表觀液體滲透率的影響Fig.7 Influence of tortuosity on apparent liquid permeability

2.7 孔隙分形維數(shù)對表觀液體滲透率的影響

孔隙分形維數(shù)是反映多孔介質(zhì)中不同尺寸孔隙的分布和非均質(zhì)性對滲透率影響的重要參數(shù)，孔隙分形維數(shù)越大，孔隙尺寸分布越均勻，非均質(zhì)性越弱。當(dāng)最大孔隙半徑為300 nm，負(fù)滑移長度為10 nm，迂曲度為1.5時，由孔隙分形維數(shù)對頁巖油藏表觀液體滲透率的影響（圖8）可知，表觀液體滲透率隨孔隙分形維數(shù)的增加而增大。對于給定的多孔介質(zhì)，當(dāng)孔隙介質(zhì)的最大孔隙半徑與最小孔隙半徑給定時，根據(jù)多孔介質(zhì)的分形理論［17］，隨著孔隙分形維數(shù)的增大，單位面積內(nèi)的孔隙數(shù)量增多，液體滲流通道增多，滲流阻力減小，表觀液體滲透率增大。

圖8 孔隙分形維數(shù)對表觀液體滲透率的影響Fig.8 Influence of fractal dimensions on apparent liquid permeability

3 模型應(yīng)用

為預(yù)測頁巖油藏的表觀液體滲透率，選用勝利油區(qū)某頁巖油藏的巖心開展高壓壓汞實驗，并用所建表觀液體滲透率模型（17）式與實驗測試結(jié)果進(jìn)行對比。巖心樣品取自該區(qū)塊的沙三段，深度為3 296～3 314 m，紋層狀泥質(zhì)灰?guī)r相。實驗測試孔隙度為3.22%，空氣滲透率為0.325 mD。在實驗設(shè)備及條件下，測得最小孔隙半徑為0.003 μm，最大孔隙半徑為0.75 μm。由（19）式計算得到巖心迂曲度為2.4，應(yīng)用（18）式計算該頁巖儲層的達(dá)西滲透率為0.231 mD，僅為氣測滲透率的71.2%。該區(qū)塊地層原油黏度為1.5 mPa·s，根據(jù)文獻(xiàn)［38］提供的方法計算得地層條件下原油的負(fù)滑移長度為10 nm，應(yīng)用（17）式計算得考慮負(fù)滑移長度的頁巖儲層表觀液體滲透率為0.211 mD，由滑移效應(yīng)引起的滲透率損失為8.6%。

4 結(jié)論

針對頁巖油藏微納米孔隙中的滑移現(xiàn)象，建立考慮負(fù)滑移長度的修正Hagen-Poiseuille 方程和平均速度方程。在多孔介質(zhì)分形理論的基礎(chǔ)上，建立考慮負(fù)滑移長度的頁巖油藏的表觀液體滲透率模型。頁巖油藏表觀液體滲透率不僅受孔隙結(jié)構(gòu)、孔隙度、迂曲度和孔隙半徑的影響，也與液體負(fù)滑移長度相關(guān)。

頁巖油藏孔隙半徑小，負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率的影響不可忽略。負(fù)滑移長度越大，流體在微納米管中的平均滲流速度越小；表觀液體滲透率與達(dá)西滲透率之比隨負(fù)滑移長度的增加而減??；孔隙半徑越小，負(fù)滑移長度對表觀液體滲透率的影響越大。因此，尋找負(fù)滑移長度的描述方法和建立負(fù)滑移長度的測量方法對確定頁巖油藏表觀液體滲透率和評價頁巖油藏的可動性至關(guān)重要。

符號解釋

A——分形多孔介質(zhì)巖心的滲流橫截面積，μm2；

Df——孔隙分形維數(shù)，在二維平面上0 ＜Df＜2，三維空間上0 ＜Df＜3；

Kapp——表觀液體滲透率，D；

K0——達(dá)西滲透率，D；

L0——多孔介質(zhì)的視長度，μm；

Lt——彎曲微納米管的真實長度，μm；

N——微納米孔隙半徑分布在（rmin，rmax）范圍內(nèi)的微納米總數(shù)；

Δp——驅(qū)替壓力，Pa；

q——流體通過單個微納米管的流量，μm3/s；

Qp——分形多孔介質(zhì)的總流量，μm3/s；

r——微納米管內(nèi)流體流動半徑，μm；

rmin——多孔介質(zhì)的最小孔隙半徑，μm；

rmax——多孔介質(zhì)的最大孔隙半徑，μm；

R——微納米管半徑，μm；

v——液體在微納米管中流動的平均速度，μm/s；

vr——微納米管內(nèi)流動半徑r處流體流動速度，μm/s；

˙——流體的應(yīng)變，s-1；

δ——負(fù)滑移長度，μm；

μ——流體黏度，Pa·s；

τ——流體所受的切應(yīng)力，Pa；

τp——多孔介質(zhì)的迂曲度；

φ——多孔介質(zhì)的孔隙度。