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    坐標(biāo)平面上的二重積分的數(shù)值算法

    2020-11-30 05:18:18何洪英張世
    關(guān)鍵詞:曲邊極坐標(biāo)高斯

    何洪英,張世

    (西華師范大學(xué),四川南充 637000)

    積分算式?jīng)Q定于積分區(qū)域,幾個(gè)世紀(jì)以來,由于沒有重積分的數(shù)值算法,文獻(xiàn)和教材中二重積分的積分區(qū)域都相當(dāng)簡單,用極坐標(biāo)表示的積分區(qū)域常常只限于圓,所以本文作了較為詳細(xì)的介紹.

    1 坐標(biāo)平面上的二重積分算式和通用數(shù)值計(jì)算公式

    坐標(biāo)平面分為xOy平面,yOz平面,zOx平面和rOθ平面,這里只介紹xOy平面和rOθ平面,且只介紹xOy平面和rOθ平面上的積分并將其簡稱為二重積分.

    xOy平面和rOθ平面上的二重積分的一般算式為:

    (1)

    (2)

    (3)

    二重積分與積分變量名無關(guān),所以只須考慮式(1)和式(3).

    能找到理論解的定積分不多.能找到理論解的二重積分更少,而且沒有通用算法,無法用計(jì)算機(jī)計(jì)算.

    定理1當(dāng)h1=(x2-x1)/n1→0,h2=(g2(x)-g1(x))/n2→0時(shí),

    (4)

    證明:二重積分理論解的確定過程為,先將外層積分變量視作常量對內(nèi)層積分積分,將結(jié)果作為新的被積函數(shù)對外層積分變量積分.

    式中當(dāng)k2為偶數(shù)時(shí)v=2,為奇數(shù)時(shí)v=1.

    若用復(fù)合牛頓積分公式積分,當(dāng)k1為奇數(shù)時(shí)v=1,為偶數(shù)時(shí)v=2.

    證畢.

    (5)

    定理2 當(dāng)h1=(r2-r1)/n1→0,h2=(g2(r)-g1(r))/n2→0時(shí),若用復(fù)合牛頓積分公式計(jì)算,則

    (6)

    式(4)與被積函數(shù)無關(guān),令f*(x,y)=xf(x,y),則有

    若用復(fù)合高斯積分公式,則有

    高斯積分公式中高斯點(diǎn)與所選正交多項(xiàng)式不同而不同,本文只用高斯——勒讓德積分,即只選勒讓德正交多項(xiàng)式.

    欲行積分須先有算式,二重積分算式由被積函數(shù)和外層積分上、下限(外層積分變量所取最大值和最小值)及內(nèi)層積分的上、下限函數(shù)組成.式(1)和式(3)與被積函數(shù)無關(guān),而且被積函數(shù)是用戶給定的,所以不必考慮,后者由積分區(qū)域決定.

    積分區(qū)域分為可直接寫出積分算式的區(qū)域和須分割成若干子區(qū)域,各子區(qū)域均可寫出積分算式的區(qū)域兩類.

    2 可直接寫出積分算式的積分區(qū)域及算例

    這類區(qū)域共有八類.

    (1) 積分邊界為用直角坐標(biāo)表示的有一邊平行于x軸或y軸的曲邊三角形.

    計(jì)算結(jié)果如下:

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-145.209 293500500-145.044 3161 0001 000-145.041 806

    (2) 積分區(qū)域?yàn)橐粚吰叫杏趚軸或y軸的四邊形.

    計(jì)算結(jié)果如下:

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010082.544 27350050082.649 1991 0001 00082.652 512

    (3) 積分區(qū)域?yàn)橐贿吺菆A弧,另兩邊是任意兩條用極坐標(biāo)表示的相交曲線(交點(diǎn)的r值不是區(qū)域的最大值,就是最小值)所圍成的曲邊三角形.

    計(jì)算結(jié)果如下:輸入a=2.5

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001000.182 0495005000.182 0631 0001 0000.182 064

    (4) 一對邊為同心圓弧,另一對邊是用極坐標(biāo)表示的曲線所圍成的曲邊四邊形.

    計(jì)算結(jié)果如下:輸入a=2.5

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001000.950 2715005000.950 3101 0001 0000.950 311

    (5) 積分區(qū)域?yàn)榍厓蛇呅?,兩交點(diǎn)的x坐標(biāo)或y坐標(biāo)分別是積分區(qū)域的最大值和最小值.

    式中θ是方程a(θi+sinθi)-xi=0(i=0,1,…,n-1)的根.

    顯然θ0=0,θn1=2π,積分計(jì)算中要計(jì)算n1-1個(gè)根,文中用牛頓法計(jì)算,由于θi>θi-1,計(jì)算θi時(shí),初值取θi-1+ε,ε

    計(jì)算結(jié)果如下:當(dāng)eps=0.000 001 eps1=0.000 1

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001001.517 4185005001.537 1901 0001 0001.539 658

    這是一廣義積分,由于e1002已相當(dāng)接近0,所以實(shí)算時(shí)外層積分的上、下限分別取100和-100.

    計(jì)算結(jié)果如下:

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.571 325500500-0.694 2541 0001 000-0.694 253

    (6) 積分區(qū)域是用極坐標(biāo)表示的曲邊兩邊形,兩交點(diǎn)的r坐標(biāo)分別是積分區(qū)域的最大值和最小值.

    計(jì)算結(jié)果如下:輸入a=2.5

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001003.158 7075005003.161 8051 0001 0003.162 002

    (7) 積分區(qū)域?yàn)橛弥苯亲鴺?biāo)表示的封閉曲線函數(shù).

    計(jì)算結(jié)果如下:輸入x0=2,y0=3,a=5,b=4.

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010062.765 37050050062.825 9041 0001 00062.829 750

    算例中的積分能得到理論值的很少,本例的理論值為abπ=62.83185,計(jì)算值與理論值可比較.

    (8) 積分區(qū)域的邊界為用極坐標(biāo)表示的封閉曲線(函數(shù)).

    計(jì)算結(jié)果如下:輸入a=2.5.

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100180.103 879500500179.996 8951 0001 000179.990 496

    只有以上八類積分區(qū)域可直接寫出積分算式.

    3 須分割的積分區(qū)域及算例

    (1) 積分區(qū)域?yàn)橛弥苯亲鴺?biāo)表示的曲邊多邊形.

    將曲邊多邊形中某些邊分成多段,將一個(gè)區(qū)域變成多個(gè)子區(qū)域,總可以在每個(gè)子區(qū)域中選一邊的一個(gè)端點(diǎn)為核心點(diǎn),將該子區(qū)域其它曲線的端點(diǎn)用直線相連,使其不和其它曲線相交,這樣每個(gè)子區(qū)域就變成若干個(gè)最多只有一條邊為曲線的三角形組成了.

    當(dāng)這些三角形中有一條邊平行于x軸或y軸時(shí),可直接寫出積分算式并用式(4)積分.否則必有xA>xB>xC或yA>yB>yC,過點(diǎn)B作平行于y軸的直線,可將之分割成公共邊為平行于y軸的兩個(gè)曲邊三角形.

    對于最多只有一條直線邊,該直線邊既不平行x軸又不平行于y軸,則須將其分割成兩個(gè)公共邊平行于x軸或y軸的三角形或公共邊平行于x軸或y軸的一曲邊三角形和一曲邊兩邊形,同樣可寫出積分算式和積分.

    計(jì)算結(jié)果如下:

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.190 071500500-0.191 6521 0001 000-0.191754

    (2) 積分區(qū)域邊界是由n條用極坐標(biāo)表示的曲線連接成的封閉曲線.

    分割方法為:選一曲線端點(diǎn)為坐標(biāo)極點(diǎn)并與其它n-2個(gè)端點(diǎn)相連,若能生成n-2個(gè)曲邊三角形.當(dāng)曲線是圓弧,則可直接寫出算式積分,否則須分割成兩塊或三塊積分.

    本例用了三個(gè)算法:復(fù)合梯形積分公式,6階復(fù)合牛頓積分公式,5階復(fù)合高斯積分公式.三組計(jì)算結(jié)果如下:輸入a=2.5.

    組別n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值一組100100-22.221 365500500-22.255 6131 0001 000-22.259 821二組6060-22.222 443120120-22.243 450300300-22.255 853三組5050-22.155 202100100-22.210 515500500-22.253 542

    計(jì)算結(jié)果如下:

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值1001002.106 0435005002.109 6201 0001 0002.110 072

    (3) 積分區(qū)域?yàn)橛弥苯亲鴺?biāo)描述的曲邊兩邊形,但兩交點(diǎn)至少有一個(gè)的x坐標(biāo)不是區(qū)域的最大值或最小值.

    計(jì)算結(jié)果如下:輸入a=2.5.

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10101.263 45820201.263 39550501.263 386

    例14積分區(qū)域如圖14所示,被積函數(shù)為x2e-y2,積分算式為:

    計(jì)算結(jié)果如下:

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值10010068.973 16850050069.432 8431 0001 00069.489 116

    (4) 積分區(qū)域邊界為極坐標(biāo)表述的曲邊兩邊形,一交點(diǎn)不是區(qū)域中的最大值.

    計(jì)算結(jié)果如下:

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100-0.014 133500500-0.014 13410001000-0.014 134

    4 第一型空間曲面積分

    第一型空間曲面積分實(shí)際上是空間封閉曲面投影到坐標(biāo)平面上的積分,也屬于坐標(biāo)平面積分.

    這里只介紹空間曲面f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))=0投影到xOy平面的積分.

    計(jì)算結(jié)果如下:

    n1n2積分值n1n2積分值n1n2積分值100100554.772 736500500555.307 7821 0001 000555.341 774

    5 結(jié)束語

    文中只解決了坐標(biāo)平面上的二重積分的計(jì)算問題,原因是尚有柱面上和錐面上的積分,以及投影在高為dz的無數(shù)微圓柱面上的積分.

    文中絕大多數(shù)算例都用復(fù)合梯形牛頓積分公式計(jì)算,原因是復(fù)合梯形牛頓積分公式簡單.只有一例作者增添了5階復(fù)合高斯積分公式和6階復(fù)合梯形牛頓積分公式計(jì)算,否則不能說給出了兩組通用數(shù)值計(jì)算公式.

    特別指出復(fù)合高斯積分公式不僅可用于用極坐標(biāo)表示的定積分,還可用于極坐標(biāo)表示的各種二重積分和三重積分,原因是定積分和重積分與積分與變量名無關(guān).一旦給出了積分算式,各變量就失去了數(shù)學(xué)意義和物理意義,就都可按直角坐標(biāo)處理.

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