淺談定積分、二重積分與三重積分求體積

劉余嬌

(綿陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川綿陽(yáng) 621000)

0 引言

定積分是定義積分區(qū)間上的積分，其應(yīng)用很廣泛，可以求面積、平面曲線(xiàn)弧長(zhǎng)及幾何體的體積[1].而二重積分是定義在平面區(qū)域上積分，其幾何意義是以定義域區(qū)域D為底面及定義域上的函數(shù)z=f(x,y) 對(duì)應(yīng)的曲面為頂?shù)那斨w的體積的代數(shù)值，對(duì)于多個(gè)曲面所轉(zhuǎn)成的立體的體積即為多個(gè)曲頂柱體體積的代數(shù)和.而三重積分是三元函數(shù)定義在空間幾何體Ω上的積分.幾何意義上是定義在幾何體上的密度函數(shù)與該幾何體體積的積所得該立體的質(zhì)量，即三重積分就是質(zhì)量，其實(shí)這個(gè)密度就是體密度，密度×體積=質(zhì)量，在特殊情況下如果密度函數(shù)總為1，那么體積=質(zhì)量[2].

1 預(yù)備知識(shí)

為了更好地理解重積分的應(yīng)用，首先給出二重積分的幾何意義及三重積分的相關(guān)性質(zhì).

1.1 定積分求體積

1.2 二重積分的幾何意義及性質(zhì)

若f(x,y)0則二重積分的幾何意義就是以f(x,y) ) 為頂，以D為底且在xoy下方的曲頂柱體體積的負(fù)值.

若f(x,y)在D的若干部分區(qū)域?yàn)檎?，而在其他區(qū)域?yàn)樨?fù)，那么二重積分等于上方體積減下方曲頂柱體的體積.

1.3 三重積分的幾何意義與性質(zhì)

2 如何利用重積分求體積

2.1 二重積分求體積

二重積分的本質(zhì)：曲頂柱體體積.二重積分是二元函數(shù)z=f(x,y)，(x,y)∈D.在平面區(qū)域D上的積分，同定積分類(lèi)似，是某種特定形式的和的極限.曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面z=f(x,y)，(x,y)∈D.則其體積為

而對(duì)于任意其他不規(guī)則的立方體幾何體，在求其體積時(shí)，總可以分割成若干個(gè)曲頂柱體體積的代數(shù)和[6].例如，由兩曲面z1=f1(x,y)，(x,y)∈D及曲面z2=f2(x,y)，(x,y)∈D(其中D

該幾何體在在xoy平面上的投影，設(shè)z1≥z2)所圍成的幾何體的體積為[8]27

上例中，由兩個(gè)曲面所圍成的空間幾何體的體積，即可視為兩個(gè)曲頂柱體的體積相減.因此，只要會(huì)求曲頂柱體的體積，即能求任意空間立體幾何體的體積.

2.2 三重積分求體積

三重積分的本質(zhì)：三重積分就是立體的質(zhì)量.當(dāng)積分函數(shù)為1時(shí)，就是其密度分布均勻且為1，質(zhì)量就等于其體積值.當(dāng)積分函數(shù)不為1時(shí)，說(shuō)明密度分布不均勻.

在上例中，如利用三重積分計(jì)算由兩曲面z1=f1(x,y)及曲面z2=f2(x,y)所圍成的幾何體的體積，因z1zz2，故有

由上式可以看出，對(duì)于同一個(gè)空間立體幾何體求體積，不管是二重積分還是三重積分求體積，其實(shí)質(zhì)的意義及最終的結(jié)果都一樣，只是所采用的方式不同.

例分別利用定積分、二重積分與三重積分求由下面兩曲面

方法一:利用定積分已知截面面積求體積.

如右圖所示，對(duì)于固定的z，當(dāng)0

Dz={(x,y)|x2+y26-z};

方法二：利用二重積分求體積.

方法三：利用三重積分求體積

3 結(jié)論

對(duì)于一個(gè)由光滑曲面所轉(zhuǎn)成空間立體幾何體，特別是對(duì)于垂直于一定軸的截面的幾何體，其體積可以分別采用定積分、二重積分及三重積分來(lái)求解,只是思考問(wèn)題的途徑不同.但采用三重積分計(jì)算時(shí)，須適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系,最后又能轉(zhuǎn)換成與二重積分相同的二重積分計(jì)算式，即在計(jì)算三重積分時(shí)，由三重積分轉(zhuǎn)換成二重積分的形式和之前直接利用二重積分列的式子是完全相同的.因?yàn)樵诮馊胤e分時(shí),都是先轉(zhuǎn)換成二重積分的,再轉(zhuǎn)換成定積分進(jìn)行計(jì)算的.雖然二者的幾何意義不同，但從某一個(gè)角度上來(lái)說(shuō)，兩者是相通的.