例說算法初步中常見的易錯點

■內(nèi)蒙古通遼實驗中學(xué) 姬恩澤

作為《新課程標準》增加的新內(nèi)容，算法走進了中學(xué)數(shù)學(xué)。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，除了要讓同學(xué)們了解算法的基本含義和學(xué)習(xí)基本算法語句，更重要的是讓同學(xué)們體會和應(yīng)用算法思想。新課標不但要求同學(xué)們要掌握算法的基本知識，而且要求將算法思想貫穿到高中數(shù)學(xué)的始終。然而，在具體學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對“算法”的學(xué)習(xí)重視不夠，對算法概念的認識不夠全面，對簡單的算法問題經(jīng)常出現(xiàn)各類錯誤，下面就舉例辨析在算法初步中常見的易錯點。

一、秦九韶算法

要點闡述：把一個n次多項式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫成如下形式：f（x）=（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0，求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即v0=an，然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即：

v1=v0x+an-1；

v2=v1x+an-2；

v3=v2x+an-3；

……

vn=vn-1x+a0。

這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值。

解題技巧：利用秦九韶算法計算多項式的值，關(guān)鍵是能正確地將所給多項式改寫，然后由內(nèi)到外逐次計算，由于后項計算需用到前項的結(jié)果，故應(yīng)認真、細心，確保中間結(jié)果的正確性。

典型例題1用秦九韶算法求f（x）=x5-5x4+x3-1當x=2時的值。

易錯點辨析：當n次多項式中出現(xiàn)空項時，要把系數(shù)為零的相應(yīng)項補齊，否則，在處理問題時，多項式的運算次數(shù)會達不到對應(yīng)的次數(shù)，從而得出錯誤的結(jié)果。

正解：將f（x）改寫為f（x）=x5-5x4+x3+0×x2+0×x-1=（（（（x-5）x+1）x+0）x+0）x-1，由內(nèi)向外逐層計算一次多項式當x=2時的值，有：

v0=1；

v1=1×2-5=-3；

v2=（-3）×2+1=-5；

v3=（-5）×2+0=-10；

v4=（-10）×2+0=-20；

v5=（-20）×2-1=-41。

所以f（2）=-41。

二、輾轉(zhuǎn)相除法

要點闡述：輾轉(zhuǎn)相除法，又叫歐幾里得算法，是一種求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法。而我國古代的更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法在本質(zhì)上是有區(qū)別的。

算法步驟：第一步，給定兩個正整數(shù)m，n（m＞n）。

第二步，計算m除以n所得的余數(shù)r。

第三步，m=n，n=r。

第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步。

典型例題2用輾轉(zhuǎn)相除法求288與123的最大公約數(shù)。

易錯點辨析：輾轉(zhuǎn)相除法的最后一步中的除數(shù)是題目所給兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)。輾轉(zhuǎn)相除法通過逐次輾轉(zhuǎn)相除，剩下的兩數(shù)越來越小，但并沒有改變它們的最大公約數(shù)。到最后的兩數(shù)，大數(shù)能被小數(shù)整除，說明小數(shù)就是原來兩數(shù)的最大公約數(shù)。

正解：由輾轉(zhuǎn)相除法得：

288=123×2+42；

123=42×2+39；

42=39×1+3；

39=3×13。

故288與123的最大公約數(shù)是3。

歸納總結(jié)：由除法的性質(zhì)知，對于任意兩個正整數(shù)，上述除法步驟總可以在有限步之后完成，從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出它們的最大公約數(shù)。

三、更相減損術(shù)

要點闡述：《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之”。最重要一點是若所給的整數(shù)都是偶數(shù)，除以若干個2后，最后結(jié)果要乘以相同多個2。

解題步驟：第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)。若都是偶數(shù)，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。

第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)。

典型例題3用更相減損術(shù)求兩個整數(shù)84與72的最大公約數(shù)。

易錯點辨析：本題所給的兩個整數(shù)84與72都是偶數(shù)，除以4后，最后的結(jié)果要乘以4才是原題給的兩個整數(shù)的最大公約數(shù)。

正解：因為84=21×4，72=18×4，

所以21-18=3；

18-3=15；

15-3=12；

12-3=9；

9-3=6；

6-3=3。

所以21和18的最大公約數(shù)等于3。

所以84和72的最大公約數(shù)等于12。

四、程序框圖

要點闡述：對于程序框圖的客觀題，首先要理清所要實現(xiàn)的算法的結(jié)構(gòu)特點及流程規(guī)則，對于包含條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，要確定循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件或找出循環(huán)次數(shù)，然后確定是否能取得“=”。

規(guī)律方法：要注意循環(huán)條件、變量初值、循環(huán)體各語句之間的影響。

（1）注意各個語句順序不同對結(jié)果的影響；

（2）注意各個變量初始值不同對結(jié)果的影響；

（3）要對循環(huán)開始和結(jié)束的變量及結(jié)束時變量的值認真檢驗，以免出現(xiàn)多循環(huán)或漏循環(huán)。

典型例題4（河北省衡水中學(xué)2020屆高三衛(wèi)冕聯(lián)考理科數(shù)學(xué)8）執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，則輸出S的結(jié)果為（ ）。

圖1

易錯點辨析：對于包含條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，當循環(huán)次數(shù)過多時，尤其注意執(zhí)行最后一次循環(huán)語句時，要對循環(huán)結(jié)束時變量的值認真檢驗，以免出現(xiàn)多循環(huán)或漏循環(huán)。本題當n=2019時執(zhí)行最后一次循環(huán)，進入循環(huán)體后，應(yīng)先執(zhí)行語句n=n+1，計算出n=2020，然后計算出，所以S=S+a=S+。

正解：當n=2019時執(zhí)行最后一次循環(huán)，進入循環(huán)體，應(yīng)先執(zhí)行語句n=n+1，得n=2020，所以故選C。