探尋處理計(jì)數(shù)應(yīng)用問題的新視角

■江蘇省錫東高級(jí)中學(xué) 張 清

所謂計(jì)數(shù)應(yīng)用問題就是利用分類、分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列、組合等相關(guān)知識(shí)解決“完成一項(xiàng)任務(wù)共有多少種方法”這類問題。計(jì)數(shù)應(yīng)用問題是每年高考?？嫉闹攸c(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容之一。此類問題用到的背景知識(shí)本身并不難，難就難在處理此類問題的視角上。通過對(duì)今年全國各地的高考模擬題的研究，現(xiàn)歸納、總結(jié)、探尋出處理計(jì)數(shù)應(yīng)用問題的一些新視角，供大家參考，希望能對(duì)高考備考提供幫助。

新視角1：注重本質(zhì)——按需分類、按序分步

例 1（1）（2020年南京模擬）五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為____；五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍（冠軍不并列），則獲得冠軍的可能性有____種。

（2）我們把中間位數(shù)上的數(shù)字最大，而兩邊依次減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)是____。

解析：（1）五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可對(duì)五名學(xué)生落實(shí)（即“人選項(xiàng)目”），每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不同的報(bào)名方法；五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)（即“項(xiàng)目選人”），每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性。

（2）根據(jù)“凸數(shù)”的特征，中間位數(shù)上的數(shù)字只能是3，4，5，故分三類：①當(dāng)中間數(shù)字為“3”時(shí)，此時(shí)“凸數(shù)”有132，231，共有2個(gè)；②當(dāng)中間數(shù)字為“4”時(shí)，則百位數(shù)字有2種選擇，個(gè)位數(shù)字有3種選擇，則“凸數(shù)”有2×3=6（個(gè)）；③當(dāng)中間數(shù)字為“5”時(shí)，則百位數(shù)字有3種選擇，個(gè)位數(shù)字有4種選擇，則“凸數(shù)”有4×3=12（個(gè)）。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有2+6+12=20（個(gè)）。

點(diǎn)評(píng)：按事件特點(diǎn)選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，分類時(shí)要注意不重不漏；依據(jù)特定條件進(jìn)行分步時(shí)，應(yīng)分清是“元素選位置”還是“位置選元素”（如題（1））；若綜合運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，一般是先分類，再分步（如題（2））。

新視角2：緊扣特殊——優(yōu)先考慮特殊元素、特殊位置、特殊要求

例 2（1）從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成____個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)。

（2）（2020年鹽城模擬）某校畢業(yè)典禮由6個(gè)節(jié)目組成，考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方法共有____種。

解析：（1）因?yàn)?不能在首位，所以0是特殊元素，首位是特殊位置。又因?yàn)橐M成的數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位必須為偶數(shù)，所以個(gè)位為特殊位置。依據(jù)特殊元素優(yōu)先考慮，可按取到0和未取到0兩種情況分類。①若取到0，先在2，4，6中選兩個(gè)數(shù)，然后將其中一個(gè)偶數(shù)放到個(gè)位上，再在1，3，5，7，9中選兩個(gè)數(shù)，最后將除去個(gè)位的數(shù)字的剩下3個(gè)數(shù)排到十位、百位、千位上，共（個(gè)）；②若未取到0，當(dāng)0在個(gè)位時(shí)，則共有當(dāng)0不在個(gè)位時(shí)，則共有根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有360+180+120=660（個(gè)）。

（2）依據(jù)題意按特殊要求“節(jié)目甲必須排在前三位”進(jìn)行分類，對(duì)特殊要求“節(jié)目丙、丁必須排在一起”優(yōu)先考慮。①甲排在第一位，則丙、丁相鄰的位置有4個(gè)，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個(gè)節(jié)目全排列安排在其他三個(gè)位置，有=6（種）安排方法，則此時(shí)有4×2×6=48（種）編排方法；②甲排在第二位，則丙、丁相鄰的位置有3個(gè)，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個(gè)節(jié)目全排列安排在其他三個(gè)位置，有A33=6（種）安排方法，則此時(shí)有3×2×6=36（種）編排方法；③甲排在第三位，則丙、丁相鄰的位置有3個(gè)，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個(gè)節(jié)目全排列安排在其他三個(gè)位置，有=6（種）安排方法，則此時(shí)有3×2×6=36（種）編排方法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有48+36+36=120（種）。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有特殊元素、特殊位置、特殊要求，優(yōu)先考慮是解決這類問題的切入點(diǎn)，也是尋求分類的依據(jù)（如題（2）以節(jié)目甲的位置作為分類標(biāo)準(zhǔn)）；若一個(gè)問題中有多個(gè)特殊對(duì)象及要求，則可通過不斷的嘗試權(quán)衡優(yōu)先的順序，順序不同對(duì)解題難易也是有很大的影響（如題（1）首位和個(gè)位均為特殊位置，權(quán)衡之后應(yīng)選擇先個(gè)位后首位）。

新視角3：抓住分配——先分堆再分配，先組合再排列

例 3（2020年山東四校模擬）安排5名學(xué)生去3個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，要求每人只去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少有一名學(xué)生進(jìn)行志愿服務(wù)，則不同的安排方式共有（ ）。

A.360種 B.300種

C.150種 D.125種

解析：第一步，現(xiàn)將5名學(xué)生分成3堆，有兩種分組方法，若分成3、1、1三堆，則有=10（種）分堆方法；若分成2、2、1三堆，則有=15（種）分堆方法；第二步，將分好的三堆分配到3個(gè)社區(qū)，共A33=6（種）方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有（10+15）×6=150（種）。

點(diǎn)評(píng)：雖然此類綜合問題可通過詳細(xì)分類解決，但從“先分堆再分配”的視角更易切入，更加高效，具有一定的推廣價(jià)值；注意分堆無序，分配有序，平均分堆需倍縮（除序）。

新視角4：正難則反——直接法與間接法并舉

例 4（1）從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有____種。

（2）（2020年濟(jì)南模擬）用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為____。

（3）5人排成一排，若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排法有____種。

解析：（1）直接法：分類：①只有1位女生入選，共有·=12（種）不同選法；②有2位女生入選，共有·=4（種）不同選法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有12+4=16（種）。

（2）直接考慮過于復(fù)雜，間接法：所有三位數(shù)有9×10×10=900（個(gè)），無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8=648（個(gè)），所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252（個(gè)）。

（3）直接法：依據(jù)特殊要求“甲與乙相鄰”，對(duì)捆綁后的甲乙（或乙甲）位置進(jìn)行詳細(xì)分類。分別是：①甲乙×××；②×甲乙××；③××甲乙×；④×××甲乙；⑤乙甲×××；⑥×乙甲××；⑦××乙甲×；⑧×××乙甲。其中①和⑧均有=6（種）；②到⑦均有所以共有6×2+4×6=36（種）。

點(diǎn)評(píng)：受限計(jì)數(shù)應(yīng)用問題處理策略主要有直接法和間接法。直接法主要是正面入手，通常以受限條件為依據(jù)實(shí)施分類討論；間接法主要從反面入手，當(dāng)正面考慮比較煩瑣甚至是難以下手時(shí)，可先考慮不受限制的所有情況，再剔除不合要求的情況（如題（2）、（3））。

解決計(jì)數(shù)應(yīng)用問題就是要選取合適的思考角度厘清題意，從而解決問題。而本文介紹的四種新視角就是想幫助大家找到合適的分類和合理的分步，借助所學(xué)知識(shí)切實(shí)有效地解決問題。行文至此，僅以一句話共勉：學(xué)習(xí)就是一個(gè)不斷總結(jié)，不斷提升的過程，知識(shí)常學(xué)常新，多思考、多歸類、多總結(jié)永遠(yuǎn)是學(xué)習(xí)的制勝法寶。