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    2020 年高考“命題及關(guān)系、充分必要條件”經(jīng)典問題聚焦

    2020-12-04 15:50:45江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)蔣景景
    關(guān)鍵詞:充分條件真假本題

    ■江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 蔣景景

    2020年高考數(shù)學(xué)對(duì)“命題及關(guān)系、充分必要條件”的考查,主要以“空間位置關(guān)系的判斷、函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)、不等式、向量、數(shù)列”等知識(shí)點(diǎn)為背景,考查命題的真假判斷,充分條件、必要條件的判斷,題目難度中等,以選擇題和填空題為主。

    聚焦1——含簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷

    例 1(2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文理16)現(xiàn)有下列四個(gè)命題:

    p1:兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)。

    p2:過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面。

    p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行。

    p4:若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則直線m⊥直線l。

    則下述命題中所有真命題的序號(hào)是____。

    ①p1∧p4;②p1∧p2;③ ?p2∨p3;④?p3∨?p4。

    解析:借助空間位置關(guān)系,先對(duì)每個(gè)命題判斷真假后再判斷復(fù)合命題的真假。對(duì)于命題p1,可設(shè)l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為α;若l3與l1相交,則交點(diǎn)A在平面α內(nèi),同理l3與l2的交點(diǎn)B也在平面α內(nèi),所以AB?α,即l3?α,命題p1為真命題;對(duì)于命題p2,若三點(diǎn)共線,則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè),命題p2為假命題;對(duì)于命題p3,空間中兩條直線的關(guān)系有相交、平行或異面,命題p3為假命題;對(duì)于命題p4,若直線m⊥平面α,則m垂直于平面α內(nèi)所有直線,因?yàn)橹本€l?平面α,所以直線m⊥直線l,命題p4為真命題。

    綜上可知,p1∧p4為真命題,p1∧p2為假命題,?p2∨p3為真命題,?p3∨?p4為真命題。故答案為:①③④。

    品味:判斷一個(gè)命題為真命題,要給出推理證明;判斷一個(gè)命題是假命題,只需舉出反例。當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí),可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假。本題考查了空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷,考查復(fù)合命題真假的判斷,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)。解題關(guān)鍵是正確理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,理解或命題、且命題、非命題的含義。

    聚焦2——充分必要條件與函數(shù)性質(zhì)的交匯

    例 2(2020年高考上海卷16)命題p:若存在a∈R且a≠0,對(duì)任意的x∈R,均有f(x+a)<f(x)+f(a)恒成立。已知命題q1:f(x)單調(diào)遞減,且f(x)>0恒成立;命題q2:f(x)單調(diào)遞增,存在x0<0使得f(x0)=0。則下列說法正確的是( )。

    A.q1、q2都是p的充分條件

    B.只有q1是p的充分條件

    C.只有q2是p的充分條件

    D.q1、q2都不是p的充分條件

    解析1:q1:當(dāng)a>0,f(a)>0,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)單調(diào)遞減,所以f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a),即f(x+a)<f(x)+f(a),所以存在a>0,當(dāng)滿足命題q1時(shí),使命題p成立。

    q2:當(dāng)a=x0<0時(shí),f(a)=0,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x+a)<f(x)=f(x)+f(a),即f(x+a)<f(x)+f(a),所以存在a<0,當(dāng)滿足命題q2時(shí),命題p成立。

    綜上可知,命題q1、q2都是命題p的充分條件。故選A。

    解析2:本題要看清楚一個(gè)函數(shù)具有性質(zhì)p的條件是,存在a∈R且a≠0,則對(duì)于q1,a>0時(shí),易得函數(shù)f(x)具有性質(zhì)p。

    對(duì)于q2,只需取a=x0,則x+a=x+x0<x,f(a)=f(x0)=0,所以f(x+a)=f(x+x0)<f(x)=f(x)+f(a),所以此時(shí)函數(shù)f(x)具有性質(zhì)p。

    品味:本題給出新定義函數(shù)的性質(zhì),再判斷另外兩個(gè)函數(shù)與新定義函數(shù)之間的關(guān)系,涉及全稱量詞和特稱量詞、充分條件與必要條件定義,以及邏輯推理,判斷充分條件與必要條件時(shí)應(yīng)注意:首先弄清條件p和結(jié)論q分別是什么,然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試p?q,q?p。還可利用原命題和逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷。

    聚焦3——充分必要條件與空間位置關(guān)系的交匯

    例 3(2020年高考浙江卷6)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m,n,l,則“m,n,l在同一平面”是“m,n,l兩兩相交”的( )。

    A.充分不必要條件

    B.必要不充分條件

    C.充分必要條件

    D.既不充分也不必要條件

    解析:依題意m,n,l是空間不過同一點(diǎn)的三條直線,當(dāng)m,n,l在同一平面時(shí),可能m∥n∥l,故不能得出m,n,l兩兩相交。

    當(dāng)m,n,l兩兩相交時(shí),設(shè)m∩n=A,m∩l=B,n∩l=C,根據(jù)公理2可知m,n確定一個(gè)平面α,而B∈m?α,C∈l?α,根據(jù)公理1可知,直線BC即l?α,所以m,n,l在同一平面。

    綜上所述,“m,n,l在同一平面”是“m,n,l兩兩相交”的必要不充分條件。故選B。

    品味:本題考查了空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷,考查充分條件、必要條件及充要條件的判斷,凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)。解題的關(guān)鍵是正確理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,理解充分條件、必要條件及充要條件的定義。

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