一道“難題”的三個解題視角與啟示

李建華

(河南省長垣市宏力學(xué)校，453400)

如下是一道高三年級月考試題.計算:

此題主要考查利用三角恒等變換化簡求值,需要綜合運用三角誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和與差的正余弦公式等.由于靈活度高、技巧性強、難度較大,學(xué)生得分率普遍較低.本文從以下三個視角審視這道“難題”,并給出解決此類問題的一些啟示.

視角1降冪

+64sin220°

+64sin220°

+64sin220°

=32cos 40°+32(1-cos 40°)=32.

視角2統(tǒng)一“變量”

由余弦三倍角公式cos 3α=4cos3α-3cosα得32cos340°-24cos 40°=8cos 120°=-4,

啟示2先利用降冪公式將二次全部化為一次,觀察式子中只含有cos 40°,直接整體通分,統(tǒng)一成關(guān)于cos 40°的式子,再借助余弦三倍角公式,巧妙求解.作為一道課本待證明的習(xí)題,我們對正余弦三倍角公式并不陌生.

視角3分離“常數(shù)”

解原式=

+32(1-cos 40°)

而4+8cos 40°-32sin240°cos 40°

=4+8cos 40°-16sin 40°sin 80°

=4+8cos 40°-16sin(30°+10°)cos 10°

=4+8cos 40°-8(cos 10°

=8cos 40°+4

=8cos 40°-8cos(20°-60°)=0，

啟示3考慮到此題最后的結(jié)果應(yīng)該是一個確定的常數(shù),降次后發(fā)現(xiàn)第二個式子中有常數(shù)32,通分時先不帶這個常數(shù).那通分后分子可能是或者能和分母約掉sin240°,再單獨計算分子,其結(jié)構(gòu)比之前相對更簡潔一些.反復(fù)利用二倍角公式、輔助角公式等,不斷拆角與重組,層層深入,逐步計算,最終求得結(jié)果.我們在數(shù)學(xué)解題中要敢想敢算,大膽嘗試,這也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的一種表現(xiàn).