賞析一道高考數(shù)學(xué)文化試題

覃 淋 楊 琴 喻曉婷

(四川省巴中職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育學(xué)院,636600)

2018年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)從課程性質(zhì)、基本理念、課程目標(biāo)、實(shí)施建議等方面對(duì)數(shù)學(xué)文化作了進(jìn)一步的要求:強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中.通過(guò)在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)和人類社會(huì)發(fā)展中所起的重要作用,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,樹(shù)立文化自信、提升人文素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

近年來(lái),全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷中都有基于數(shù)學(xué)文化命制的試題,主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用三個(gè)方面[2].

本文從命題背景、解法等角度對(duì)2019年全國(guó)卷III第21題(文理科)進(jìn)行賞析,并對(duì)其特點(diǎn)進(jìn)行分析,為以后命題者編制出更加新穎的試題提供啟發(fā).

一、試題呈現(xiàn)

(1) 證明:直線AB過(guò)定點(diǎn);

二、試題背景

此題是以阿基米德的《方法論》(The Method of Archimedes)和《拋物線圖形求積方法》中的相關(guān)內(nèi)容為背景,進(jìn)行改編和重構(gòu)的.考查直線與拋物線的位置關(guān)系、函數(shù)最值、弦中點(diǎn)以及三角形面積公式等知識(shí),同時(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.屬于中檔題.

實(shí)際上,考察歷年的高考數(shù)學(xué)試題,可以發(fā)現(xiàn)《方法論》中的“拋物弓形面積”是一個(gè)命題熱點(diǎn),幾乎每年都有以此為背景的考題.且從題型上來(lái)看,均為解答題.在教材上也有與此類似的題目,人教A版選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”的復(fù)習(xí)參考題B組第3題:如圖1,已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1),求p的值.

《方法論》實(shí)際上是阿基米德的一封信,在上個(gè)世紀(jì)初被發(fā)現(xiàn),后以《方法論》為篇名公開(kāi)發(fā)表.1906年,海貝格(J.L.Heiberg,1854-1928)在土耳其君士坦丁堡(今伊斯坦布爾)發(fā)現(xiàn)一塊羊皮紙,上面存有字跡,經(jīng)過(guò)仔細(xì)辨認(rèn),發(fā)現(xiàn)竟然是阿基米德的著作.其中包括《論球與圓柱》、《圓的度量》以及《平面圖形的平衡或其重心》和《論浮體》的一部分,還有就是現(xiàn)今被稱為《阿基米德方法》的內(nèi)容.經(jīng)考證這是阿基米德寫給數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼(Eratosthenes,公元前276-前194)的信,這一發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史料的重大發(fā)現(xiàn).

《方法論》中共有15個(gè)命題,包括阿基米德計(jì)算面積和體積的一些方法、技巧等.更為重要的是,這里面的結(jié)果大都給出了比較嚴(yán)格的證明.這些方法的主要特點(diǎn)是將要計(jì)算的未知量(圖形的面積或體積)先進(jìn)行分割,再與已知圖形(這個(gè)已知圖形面積必須是比較容易計(jì)算的)對(duì)應(yīng)進(jìn)行比較.利用杠桿原理,使它們?cè)诟軛U上保持平衡.這實(shí)質(zhì)上是積分法的基本思想.阿基米德還在序言:“這些定理將來(lái)必須用幾何方法加以證明,因?yàn)橐陨戏椒ú凰阏嬲饬x上的證明.”

阿基米德在《拋物線圖形求積方法》中還明確給出了拋物弓形面積結(jié)果的幾何證明.其證明思想是利用歐多克斯的窮竭法,即通過(guò)在弓形內(nèi)部作一系列的多邊形去逼近弓形,使得弓形的面積與內(nèi)接多邊形的面積之差小于任一給定值,最后用歸謬法證明.

三、試題解法

學(xué)習(xí)者在問(wèn)題解決的過(guò)程中,都會(huì)以已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),每一不同形式的數(shù)學(xué)表征依賴于個(gè)體記憶中已有的不同的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu).由此可能引出不同的問(wèn)題解決策略,從而導(dǎo)致不同解法的產(chǎn)生[5]. 從不同角度來(lái)思考同一問(wèn)題, 可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和問(wèn)題解決策略的多樣性.

(1)證明

通過(guò)以上分析,可以發(fā)現(xiàn)命題者在將數(shù)學(xué)文化融入高考數(shù)學(xué)試題的過(guò)程中,改變了以往單純的知識(shí)性考查.這樣可以讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)富于人文性的一面,數(shù)學(xué)并不是枯燥無(wú)聊的.同時(shí),教師和學(xué)生都應(yīng)明白,數(shù)學(xué)文化很重要,并不是因?yàn)楦呖家疾椴棚@得重要.從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的角度,數(shù)學(xué)文化可以讓學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀念,有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).教師在課堂上應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化在無(wú)形之中滲透到教學(xué)過(guò)程中.

同時(shí),數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)科學(xué)的有機(jī)組成部分,高考試題在滲透數(shù)學(xué)文化時(shí),更應(yīng)注意與相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的有機(jī)結(jié)合,注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)理性思維的內(nèi)涵.可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情境、選取合適的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容等多種方式滲透數(shù)學(xué)文化.