構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 促成有效復(fù)習(xí)
—— “函數(shù)與方程、不等式”復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與思考

尹 嶸 吳 敏

(北京市鐵路第二中學(xué)，100045)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課怎么上?怎樣設(shè)計(jì)并實(shí)施有效的教學(xué)活動(dòng),促進(jìn)學(xué)生夯實(shí)“四基”,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?本文以“函數(shù)與方程、不等式”復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)為例,力圖通過“問題串”促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)思考,感悟函數(shù)思想在研究方程與不等式中的作用,初步構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．

一、學(xué)情分析

從學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣上看,他們通過摸索和磨合,正在逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)課堂的“容量、節(jié)奏、難度和方式”,并找到(或正在尋找)一個(gè)最適合自身的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法．

從知識(shí)技能上來看,學(xué)生經(jīng)過前面函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí),經(jīng)歷了從初中到高中的“定義的升級(jí)、表示形式的抽象化和多樣化、函數(shù)性質(zhì)的豐富、基本初等函數(shù)類型的增加”等等,是一個(gè)不小的考驗(yàn)．通過對三種具體函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究,對函數(shù)的概念和性質(zhì)有了進(jìn)一步的直觀的理解和認(rèn)識(shí),也初步掌握了研究函數(shù)的一般方法;而“函數(shù)的零點(diǎn)”的學(xué)習(xí),也使得學(xué)生對“函數(shù)與方程、不等式”的關(guān)系有了新的認(rèn)識(shí),初步領(lǐng)會(huì)到“函數(shù)思想”對“解方程、不等式”的研究意義．

本節(jié)課除了在知識(shí)上的回顧復(fù)習(xí),注重將學(xué)過的知識(shí)串起來,逐步構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),并讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中通過“數(shù)形結(jié)合”,培養(yǎng)類比和歸納能力,體會(huì)數(shù)學(xué)思想,夯實(shí)“四基”．

二、教學(xué)目標(biāo)

(一) 知識(shí)與技能

1.理解函數(shù)零點(diǎn)探求的不同方法,初步掌握利用函數(shù)性質(zhì)來分析零點(diǎn);

2.進(jìn)一步理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的適用條件,以及定理是函數(shù)存在零點(diǎn)的充分不必要條件;

3.理解均值不等式的函數(shù)背景,初步掌握構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)研究不等式

(二)過程與方法

從熟悉“一元二次方程的根的分布”的背景入手,讓學(xué)生通過實(shí)踐,經(jīng)歷“從數(shù)到形”的體驗(yàn)過程,并進(jìn)行初步的歸納推理和結(jié)論推廣．在此基礎(chǔ)上,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),對“函數(shù)的零點(diǎn)問題、不等式的恒成立問題”進(jìn)行“數(shù)形結(jié)合”的深入思考和嘗試,體會(huì)“函數(shù)與方程思想”,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng)．

(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過探究實(shí)踐,特別是通過直觀觀察、邏輯推理,幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,感悟并培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)和解決問題的能力．

三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解“函數(shù)與方程思想”,初步掌握函數(shù)思想在解方程和不等式恒成立中的應(yīng)用．

難點(diǎn):函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系,選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉斫夥匠毯筒坏仁胶愠闪栴},體會(huì)函數(shù)思想解決“方程與不等式”中的作用．

四、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)回顧

1.一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象的基本作圖法及注意要點(diǎn);

2.零點(diǎn)存在定理及適用條件；

3.平均值不等式求最值的適用條件.

(二)問題探究和實(shí)踐

1.在一元二次方程的實(shí)根分布中的運(yùn)用

例1關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+3-a=0,求當(dāng)a為何值時(shí),分別有以下的結(jié)論:

(1)方程有兩個(gè)正根；

(2)一根大于2,一根小于2.

分析從用韋達(dá)定理和用函數(shù)圖象特征兩個(gè)不同的角度來分別探究．

思考1對于一元二次方程根的分布有幾個(gè)常見的解決方法?

(1)方程角度,其關(guān)鍵是根的判別式及韋達(dá)定理;

(2)函數(shù)角度,主要依據(jù)是函數(shù)圖象,對稱軸、最高點(diǎn)與最低點(diǎn);

(3)零點(diǎn)角度,主要是零點(diǎn)存在定理

歸納從韋達(dá)定理和函數(shù)圖象兩個(gè)角度,對于一元二次方程ax2+bx+c=0,(a>0)有兩個(gè)正根、兩個(gè)負(fù)根、一正一負(fù)兩個(gè)根等常見類型進(jìn)行歸納總結(jié)．

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手,學(xué)生能夠上手,并自主探究“數(shù)形結(jié)合”的多種方法,打開探索的思路,并歸納一般的方法,初步體會(huì)利用“函數(shù)圖象”特征對方程的根的分布的影響．

2.函數(shù)的零點(diǎn)問題

例2(1)函數(shù)f(x)=x+lnx-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )

(A)(0,1) (B)(1,2)

(C)(2,3) (D)(3,4)

解析方法1:利用零點(diǎn)存在性定理;

方法2:用數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為g(x)=lnx,h(x)=-x+3的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在范圍.

分析方法1:用直接解方程的方法;

方法2:用函數(shù)圖象平移的方法來分析．

思考2關(guān)于零點(diǎn)問題,若對應(yīng)的方程的根易求時(shí),可以直接解方程求根,注意要滿足定義域即可;如果用函數(shù)圖象求解,要關(guān)注函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性等等)、函數(shù)圖象的漸近線、函數(shù)圖象的端點(diǎn)的實(shí)虛等等,并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理．

設(shè)計(jì)意圖在初中所學(xué)基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上,結(jié)合高中學(xué)習(xí)的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),形成更加豐富的函數(shù)載體范圍．在此背景下進(jìn)行函數(shù)零點(diǎn)的探求,讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì),并通過“數(shù)形結(jié)合”探究函數(shù)零點(diǎn)分布的不同方法,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．

例3設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=lnx+x-1,則f(x)的零點(diǎn)為______.

分析通過觀察法,借助函數(shù)性質(zhì),可得共有3個(gè)零點(diǎn):-1,0,1.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生明確,看出來的零點(diǎn)只能說明存在性,是否具備唯一性(就是還有沒有別的零點(diǎn)),還需要借助函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性等)來研究．

思考3函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的探求方法

① 解方程:當(dāng)對應(yīng)的方程易解時(shí),可通過解方程,看方程是否有根落在給定的區(qū)間上;

② 零點(diǎn)存在性定理:要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性),才能判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn);

③ 利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù):畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值,就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．

例4能說明“若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)f(2)>0,則f(x)在區(qū)間(0,2)上不存在零點(diǎn)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是______.

分析聯(lián)想二次函數(shù)的圖象構(gòu)造反例:f(x)=(x-1)2.

思考4函數(shù)f(x)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線.且f(a)·f(b)<0,則在(a,b)上f(x)存在零點(diǎn)．如果要判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn),則必須結(jié)合其圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性)．

注意函數(shù)f(x)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,滿足這些條件一定有零點(diǎn)．但不滿足這些條件也不能說一定沒有零點(diǎn)．如圖1，f(a)·f(b)>0,函數(shù)f(x)在(a,b)上照樣存在零點(diǎn),所以函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是函數(shù)存在零點(diǎn)的充分條件,而不是必要條件．

設(shè)計(jì)意圖從充要條件角度來理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,加強(qiáng)逆向思維的培養(yǎng),使得學(xué)生對定理理解更加深入．

3.函數(shù)與不等式

(2)若將x∈(0,+∞)改為x∈[2,+∞),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

分析兩問均可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,即:a

注意:(1)用平均值不等式;

(2)借助于(對勾函數(shù))單調(diào)性求最值．

思考5在平均值不等式的等號(hào)條件不能滿足時(shí),常可以考慮用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性來研究．

設(shè)計(jì)意圖函數(shù)與不等式的關(guān)系,學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次不等式的圖象解法時(shí)已有初步了解．平均值不等式作為求函數(shù)最值的重要方法,學(xué)生要理解應(yīng)用的條件,更要從函數(shù)角度來理解其本質(zhì),打通函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系．

分析方法1:求函數(shù)最值的方法,即轉(zhuǎn)化為:f(x)min≥a.

方法2:利用函數(shù)圖象特征求解.

方法3:利用分離參數(shù)法求解.

思考6與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題的求解,常用的方法:

① 借助函數(shù)圖象的分布,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值或值域問題.

② 借助于二次函數(shù)的圖象特征來求解，注意考慮開口方向、對稱軸、判別式、端點(diǎn)值等等;

③ 嘗試分離參數(shù)法,回避分類討論．

設(shè)計(jì)意圖感悟二次函數(shù)與二次方程、二次不等式之間的聯(lián)系,探究從不同的思考角度,來構(gòu)建適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),并利用函數(shù)的性質(zhì)來解決不等式的問題．在學(xué)生的自主探究中,促使學(xué)生進(jìn)一步構(gòu)建“函數(shù)、方程與不等式”的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),通過自主思考和與他人討論,豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想．

(三)課堂小結(jié)

1.求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)和解方程f(x)=0求根是一致的,但方法卻是多樣的,特別是要注意數(shù)形結(jié)合,利用函數(shù)的圖象來幫助分析解題．

2.與函數(shù)知識(shí)結(jié)合的不等式解題時(shí)往往以不等式為工具，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)通過推理來解決問題

3.要有“函數(shù)與方程的思想”，即利用函數(shù)性質(zhì)來解決問題的意識(shí)．