運(yùn)用U型模式培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)*
——以“用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征”的教學(xué)為例

何苗苗

(廣東省廣州市南海中學(xué)，510000)

深度教學(xué)的理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)是個U型過程，這個U型過程需要教師來引導(dǎo)和激發(fā).如圖1，這個“U型教學(xué)模式”是在教學(xué)中經(jīng)歷下沉、潛行、上浮三個環(huán)節(jié)，還原知識產(chǎn)生的背景，經(jīng)歷學(xué)科思想方法的探究過程，生成促進(jìn)學(xué)生精神發(fā)育的意義系統(tǒng)，才能達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)[1].

本文以人教版“用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征”一課為例，探討運(yùn)用U型教學(xué)模式培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)的途徑.

一、下沉環(huán)節(jié)(知識的還原與探究)

這個環(huán)節(jié)是沉浸式學(xué)習(xí)，即還原知識背景，進(jìn)入知識探究.

教學(xué)案例1前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布，如何用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征(眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù))呢？

創(chuàng)設(shè)情境：小李畢業(yè)后去某公司應(yīng)聘，公司招聘員告訴他“公司報(bào)酬不錯，23名員工平均月收入3 000元，最高月收入有22 000元”.

公司員工甲說：“我們好幾個人的工資是2 000元.”

員工乙說：“我的工資是2 200元，算中等收入.”

如果小李的理想月收入為3 000元，請問這所公司是小李的理想選擇嗎？說明理由？

學(xué)生的認(rèn)知活動總是遵循從具體到抽象再到具體的順序，螺旋式上升.在本環(huán)節(jié)中，從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，選擇學(xué)生身邊感興趣的數(shù)學(xué)問題，把學(xué)生引入與所學(xué)內(nèi)容有關(guān)的情境中，從中感悟到數(shù)學(xué)的樂趣，使學(xué)生積極、主動、有效地參與到學(xué)習(xí)中去.一是通過生活應(yīng)聘情境，結(jié)合生動的PPT，引起學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；二是引導(dǎo)學(xué)生從表象到本質(zhì)進(jìn)行推理.這樣眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)三種數(shù)字特征自然地從情境中提煉出來.

教師回顧知識板書：

(1)眾數(shù)：不唯一.

(2)中位數(shù)：①排序；②取中間：若奇數(shù)個，取中間一個；若偶數(shù)個，取中間兩個的平均數(shù).

通過情境分析，對情境進(jìn)行回應(yīng)，思考小李是否選擇去這所公司？

教學(xué)案例2從上面給出的生活情境中挖掘數(shù)學(xué)信息：“平均月收入3 000元”——平均數(shù)，反映總體的平均水平.

“我們好幾個人的工資是2 000元”——眾數(shù)，反映總體的多數(shù)情況.

“我的工資是2 200，算中等收入”——中位數(shù)，反映總體的一般水平.

反問：用眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)反映樣本特征時(shí)有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

經(jīng)過調(diào)查，事實(shí)上如下是該公司員工及月工資構(gòu)成，如下表：

人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計(jì)月工資(元)22 0002 5002 2002 0001 00029 700人數(shù)16510123合計(jì)22 00015 00011 00020 0001 00069 000

在上表中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？

教師：表達(dá)反映的眾數(shù)是多少？

學(xué)生：2 000元.

教師：中位數(shù)是多少？

學(xué)生：2 200元.

教師：平均數(shù)呢？

學(xué)生：3 000元.

教師：如果小李的理想月收入為3 000元，請問這所公司是小李的理想選擇嗎？

學(xué)生：不是，因?yàn)榇蟛糠謫T工都沒超過3 000元，只有經(jīng)理一個超過3 000.

二、潛行環(huán)節(jié)(運(yùn)用數(shù)學(xué)思想掌握新知)

這個環(huán)節(jié)是層進(jìn)式學(xué)習(xí)，即分析與綜合、感知與體悟、比較與鑒別、論證與推理、實(shí)驗(yàn)與探究、理解與評價(jià).

教學(xué)案例3如何用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？

探究：某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成，如圖2所示的頻率分布直方圖.估計(jì)高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

先由學(xué)生來探討這三個數(shù)，根據(jù)三種數(shù)字特征的定義進(jìn)行估算，眾數(shù)在60～70之間，中位數(shù)在60～70之間，平均數(shù)卻不知道.

教師：為什么眾數(shù)的范圍在60～70之間，那究竟是多少呢？

學(xué)生A：因?yàn)楸姅?shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，而直方圖中60～70之間這段的矩形最高，我猜是中間的數(shù)65.

教師：對！但為什么取中間數(shù)呢？這是因?yàn)楫嬵l率直方圖的折線圖時(shí)，是連接每個矩形上端的中點(diǎn)形成的折線，這時(shí)最高矩形的中點(diǎn)是最高的.

(小結(jié)板書)眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

教師：先看看每個矩形的面積.

學(xué)生：第一個是0.4,第二個是0.4,第三個是0.15，第四個是0.1,第五個是0.05.

教師：那中位數(shù)為什么在60～70之間.

學(xué)生B：第一個矩形的面積是0.3,最后三個矩形是0.3,所以中位數(shù)只能在60～70之間.

教師：初中學(xué)習(xí)中位數(shù)是排序后最中間的數(shù)，那中位數(shù)應(yīng)該是在60～70之間的哪個數(shù)呢？

學(xué)生B：應(yīng)該落在60～70之間的中間.是65.

教師：對！但怎么算呢？中位數(shù)是處在直方圖的中間，其實(shí)就是中位數(shù)兩邊的矩形面積和相等.

學(xué)生B：矩形的面積和是1，那中位數(shù)應(yīng)該位于剛好面積和為0.5的位置.

教師板書：∵0.3<0.5,0.3+0.4=0.7>0.5,∴中位數(shù)落在[60,70).設(shè)中位數(shù)為x,則(x-60)×0.04=0.5-0.3.∴x=65.

(小結(jié)板書)中位數(shù)：在左右直方圖面積相等處.

教師：最后來看看如何由頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù).因?yàn)槲覀儾⒉恢烂總€組的具體數(shù)值，所以可分別設(shè)為n1,n2,n3,n4,n5個，總數(shù)n個，每個小矩形的x有很多個數(shù)，取一個代表值.

學(xué)生：取矩形下端中間的數(shù)為代表.

教師板書：平均數(shù)

教師：n1,n2,n3,n4,n5,n都不知道，那怎么辦？如何用已知數(shù)據(jù)去取代這些字母，n1比n,是什么？

學(xué)生：是頻率.

教師：對！這樣平均數(shù)

=55×0.3+65×0.4+75×0.15

+85×0.1+95×0.05=67.

評注本環(huán)節(jié)通過對生活實(shí)例的思考，形成解決問題的思維能力，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生通過由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程，體驗(yàn)由感性理解到理性飛躍的認(rèn)知過程.反問圖中得出的數(shù)字特征是否與實(shí)際計(jì)算的數(shù)字特征相符合，讓學(xué)生體會思考用樣本估計(jì)總體存在的差異性，為以后的回歸分析埋下伏筆.體驗(yàn)回歸思想也是統(tǒng)計(jì)學(xué)中很重要的思想方法.

三、上浮環(huán)節(jié)(應(yīng)用知識解決問題、知識的遷移)

這個環(huán)節(jié)是反思性學(xué)習(xí)，即表達(dá)與反思，遷移與應(yīng)用.

教學(xué)案例4為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由此得到頻率分布直方圖如圖3.此工廠接到一份訂單700件，急需10天內(nèi)(含10天)出單.請問此工廠能否按時(shí)出單？嘗試用本節(jié)課內(nèi)容說明理由.若不能，你能幫忙想想對策嗎？

評注深度教學(xué)強(qiáng)調(diào)對知識意義的理解，需要對知識所承載的思維方式、學(xué)科思想及所表達(dá)的情感、態(tài)度加以理解和內(nèi)化. 本環(huán)節(jié)從已學(xué)知識入手，讓學(xué)生通過分析頻率分布直方圖的表象信息，深入思考，理解統(tǒng)計(jì)思想與方法，根據(jù)生活實(shí)際問題想出對策.

U型模式有助于學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生可以在實(shí)驗(yàn)和科學(xué)思維培養(yǎng)中，形成尊重事實(shí)和證據(jù)的科學(xué)態(tài)度.在本節(jié)課中，引入學(xué)生非常熟悉的生活情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，帶動學(xué)生對情境問題進(jìn)行思考，讓學(xué)生體會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的學(xué)習(xí)過程，實(shí)現(xiàn)知識的下沉.在探究環(huán)節(jié)中，體現(xiàn)了教師的引領(lǐng)性，讓學(xué)生學(xué)會分析數(shù)據(jù)，從感性理解去估算出這三種數(shù)字特征，引導(dǎo)學(xué)生如何由感性到理性估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)這一過程，在教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)知識的潛行.利用開放性統(tǒng)計(jì)分析題和課堂小結(jié)，注重?cái)?shù)學(xué)模型的建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識的上浮.通過“下沉—潛行—上浮”三個環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生理性領(lǐng)會由頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征的統(tǒng)計(jì)思想，從而全面有效地提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).