多孔介質(zhì)中Brinkman-Forchheimer模型的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

石金誠, 李遠(yuǎn)飛

(廣東財經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 廣州 511300)

1 引言與預(yù)備知識

目前, 關(guān)于多孔介質(zhì)中流體方程組結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究已有很多結(jié)果[1-21], 但這些研究大多數(shù)只考慮了方程的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性, 而忽略了方程的收斂性結(jié)果. 文獻(xiàn)[6]研究了溶解度與溫度有關(guān)的Brinkman-Forchheimer流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性, 其控制方程組為

(1)

其中:ui,p,T,C分別表示速度、 壓強(qiáng)、 溫度和鹽濃度;gi(x)和hi(x)分別表示引力向量函數(shù), 假設(shè)gi滿足|gi|≤G1和|gi|≤G2,hi滿足|hi|≤H1和|hi|≤H2； Δ為Laplace算子；λ,L和k均是大于零的常數(shù). 方程組(1)在Ω×[0,τ]內(nèi)成立, 其中Ω是3中一個有界單連通的星形區(qū)域,τ是給定的常數(shù)且0≤τ<∞. 方程組(1)是一種基于動量守恒、 質(zhì)量守恒、 能量守恒和鹽濃度守恒的方程組, 是在動量方程中采用Forchheimer逼近而得到的方程組, 其邊界條件為

(2)

初始條件為

ui(x,0)=ui0(x),T(x,0)=T0(x),C(x,0)=C0(x),x∈Ω.

(3)

2 先驗(yàn)估計(jì)

引理1溫度T和鹽濃度C滿足如下最大值估計(jì)：

(4)

(5)

證明: 在方程組(1)中第三個方程兩邊同時乘以2rT2r-1(r≥1), 并在Ω×[0,t](t∈[0,τ])上積分, 可得

(6)

對式(6)等號左邊第二項(xiàng), 由散度定理和式(2)可得

(7)

對式(6)等號右邊項(xiàng), 由散度定理、 Young不等式和式(2), 可得

聯(lián)合式(6)～(8), 可得

(9)

將式(9)兩邊同時在[0,t]上積分, 可得

(10)

當(dāng)r→+∞時, 有

(11)

在方程組(1)中的第四個方程兩邊同時乘以2rC2r-1(r≥1), 并在Ω×[0,t](t∈[0,τ])上積分, 可得

對式(12)等號右邊第一項(xiàng), 由散度定理、 Young不等式和式(2), 可得

(13)

對式(12)等號右邊第二項(xiàng), 由Young不等式可得

(14)

聯(lián)合式(12)～(14), 可得

(15)

將式(15)兩邊同時在[0,t]上積分, 可得

當(dāng)r→+∞時, 有

(17)

引理2對溫度T和鹽濃度C, 有下列估計(jì):

(18)

(19)

其中:

證明: 在方程組(1)中第三個方程兩邊同時乘以2T并在Ω×[0,t]上積分, 可得

(20)

由式(20)可知

(21)

同理, 在方程組(1)中第四個方程兩邊同時乘以2C并在Ω×[0,t]上積分, 可得

(22)

由式(22)可知

(23)

其中|Ω|是Ω的體積.

3 連續(xù)依懶性

(24)

邊界條件為

(25)

初始條件為

ωi(x,0)=0,θ(x,0)=0,φ(x,0)=0,x∈Ω.

(26)

(27)

證明: 將方程組(24)中第一個方程兩邊同時乘以2ωi并在Ω上積分, 可得

對式(28)等號右邊第一項(xiàng), 有

(29)

對式(28)等號右邊第二項(xiàng), 由散度定理和式(25), 可得

(30)

聯(lián)合式(28)～(30), 可得

(31)

將方程組(24)中第三個方程兩邊同時乘以2θ并在Ω上積分, 可得

(32)

對式(32)等號右邊第一項(xiàng), 由散度定理和式(25), 可得

(33)

對式(32)等號右邊第二項(xiàng), 由散度定理和式(25), 可得

(34)

聯(lián)合式(32)～(34), 可得

將方程組(24)中第四個方程兩邊同時乘以2φ并在Ω上積分, 可得

(36)

對式(36)等號右邊第一項(xiàng), 由散度定理和式(25), 可得

(37)

聯(lián)合式(36),(37), 可得

聯(lián)合式(31),(35),(38), 可得

(40)

由式(18),(19)和Gronwall不等式, 可得

(41)

4 收斂性

(42)

邊界條件為

(43)

初始條件為

(44)

假設(shè)(ωi,θ,φ,π)滿足下列方程組:

(45)

邊界條件為

(46)

初始條件為

ωi(x,0)=0,θ(x,0)=0,φ(x,0)=0,x∈Ω.

(47)

引理3對連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)ω=ω(x,t), (x,t)∈Ω×[0,τ], 有下列估計(jì)：

(48)

證明: 對任意函數(shù)ω=ω(x,t), (x,t)∈Ω×[0,τ], 由散度定理有

(49)

(50)

對式(50)利用Schwarz不等式, 可得

(51)

由式(51)即可得式(48).

引理4對溫度T*和鹽濃度C*, 有下列估計(jì)：

(52)

(53)

其中n3(t),n4(t)均為單調(diào)遞增且大于零的函數(shù).

證明: 在方程組(42)中第三個方程兩邊同時乘以2T*并在Ω×[0,t]上積分, 可得

(54)

由式(43),(48), 可得

(55)

將式(55)兩邊同時在[0,t]上積分, 可得

(56)

將式(56)代入式(55), 可得

聯(lián)合式(56),(57),(48)可得式(52), 其中

同理可得式(53), 其中n4(t)是可計(jì)算且大于零的函數(shù).

引理5對溫度T*和鹽濃度C*, 有下列估計(jì)：

(58)

(59)

其中n5(t),n6(t)均為單調(diào)遞增且大于零的函數(shù).

證明: 在方程組(42)中第三個方程兩邊同時乘以4T*3并在Ω×[0,t]上積分, 可得

利用式(48), 可得

(61)

求解式(61)得

(62)

將式(62)代入式(61)可得式(58), 其中

同理可得式(59), 其中n6(t)是可計(jì)算且大于零的函數(shù).

(63)

其中m2,γ均為大于零的常數(shù).

證明: 將方程組(45)中第一個方程兩邊同時乘以2ωi并在Ω上積分, 可得

(64)

將方程組(45)中第三個方程兩邊同時乘以2ωi并在Ω上積分, 由散度定理和式(46), 可得

將方程組(45)中第四個方程兩邊同時乘以2φ并在Ω上積分, 可得

(66)

對式(66)等號右邊第一項(xiàng), 由散度定理可得

由式(66),(67), 可得

聯(lián)合式(64),(65),(68), 對任意正常數(shù)γ, 有

利用文獻(xiàn)[22]中結(jié)果(B.17), 可得

(70)

令

則有

(71)

由式(52),(53)和Gronwall不等式, 可得

(72)