基于近似Davenport風(fēng)速譜的建筑結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的新封閉解法

李暾 張夢丹 姜琰 葛新廣

摘? 要：楊慶山風(fēng)速譜是Davenport風(fēng)速譜的近似，可簡化結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的分析.傳統(tǒng)方法所得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的表達(dá)式比較復(fù)雜，為此，提出了一種簡明封閉解法.首先，研究了考慮空間相關(guān)性的楊慶山風(fēng)速譜的建筑結(jié)構(gòu)脈動(dòng)風(fēng)壓的功率譜密度函數(shù)改進(jìn)表達(dá)式;其次，基于1階微分方程的虛擬激勵(lì)法獲得了建筑結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)（結(jié)構(gòu)層絕對(duì)位移及其振動(dòng)速度、層間位移及其變化率）的功率譜密度函數(shù)的統(tǒng)一簡明封閉解;最后，研究了結(jié)構(gòu)層絕對(duì)位移和層間位移響應(yīng)的0—2階及4階的譜矩的簡明封閉解.以10層建筑結(jié)構(gòu)為例，利用該方法和傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明：該方法為楊慶山風(fēng)速譜激勵(lì)下結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的精確解法，且可用于判斷傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法分析的精度.

關(guān)鍵詞：楊慶山風(fēng)速譜;1階微分方程虛擬激勵(lì)法;譜矩;簡明封閉解

中圖分類號(hào)：TU311.3? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.04.001

0? ? 引言

近年來隨著中國城市化的快速發(fā)展，人口大量涌入城市，高層住宅成為城市解決市民居住的主要途徑.高層建筑向著高強(qiáng)輕質(zhì)的方向發(fā)展，因此，建筑結(jié)構(gòu)相對(duì)較柔，對(duì)風(fēng)荷載的作用比較敏感.風(fēng)對(duì)建筑的作用由平均風(fēng)壓引起的側(cè)移和脈動(dòng)風(fēng)壓引起的振動(dòng)組成，其中，脈動(dòng)風(fēng)壓所引起的振動(dòng)對(duì)于高層建筑的居住舒適度影響較大[1-3].Davenport[4]首次提出了著名的Davenport風(fēng)速譜，其已成為各國建筑規(guī)范風(fēng)荷載取值的基礎(chǔ)，但其表達(dá)式比較復(fù)雜，工程應(yīng)用時(shí)無法獲得解析解或者解析解比較復(fù)雜[1].為此，工程界出現(xiàn)了基于Davenport風(fēng)速譜的改進(jìn)風(fēng)速譜[1，5].楊慶山等[5]利用濾波方程提出了近似的風(fēng)速譜，并應(yīng)用于懸索橋的風(fēng)振分析，但所得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的表達(dá)式比較復(fù)雜.李暾等[6]利用復(fù)模態(tài)方法研究了TLD耗能減振結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的解析解，但所得表達(dá)式比較復(fù)雜，且沒有獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的1階譜矩，故對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)為窄帶的隨機(jī)過程無法進(jìn)行高精度的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度分析[1，7-9].

結(jié)構(gòu)的隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)分析主要有時(shí)域法和頻域法[10-11]，兩種方法各有特色.時(shí)域法應(yīng)用的前提是隨機(jī)激勵(lì)具有協(xié)方差函數(shù)，利用該方法可直接獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差，而Davenport風(fēng)速譜沒有協(xié)方差函數(shù)，故時(shí)域法在基于Davenport風(fēng)速譜下的振動(dòng)分析時(shí)需要復(fù)雜的等效變化[6，12]，且所得結(jié)構(gòu)響應(yīng)表達(dá)式比較復(fù)雜，但無法獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的1階譜矩，故無法進(jìn)行基于窄帶系統(tǒng)的可靠度分析.頻域法中，結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)與風(fēng)振激勵(lì)的功率譜有著直接的代數(shù)關(guān)系，因此，具有物理意義明確、表達(dá)式簡潔的特點(diǎn).虛擬激勵(lì)法[11，13-14]和隨機(jī)振動(dòng)矩陣直接譜分析法[15]是頻域法的典型代表，特別是虛擬激勵(lì)法有著廣泛的工程應(yīng)用[16].然而，無論哪種頻域法在求解結(jié)構(gòu)方差和譜矩均需要數(shù)值積分，故存在計(jì)算效率慢和精度不高的問題.

本文針對(duì)基于楊慶山風(fēng)速譜下結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)分析解析解表達(dá)式復(fù)雜或者需要數(shù)值積分的問題，提出一種分析結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)0—2階譜矩及4階譜矩的簡明封閉解法.首先，給出楊慶山風(fēng)速譜的二次正交等效表達(dá)式及考慮豎向空間相關(guān)性的脈動(dòng)風(fēng)壓功率譜密度函數(shù)的簡明表達(dá)式;其次，利用復(fù)模態(tài)方法獲得結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)（結(jié)構(gòu)層絕對(duì)位移及其振動(dòng)速度、層間位移及其變化率）的二次正交功率譜密度函數(shù)的簡明表達(dá)式;最后，基于譜矩的定義，獲得了結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的0階、1階、2階及4階的譜矩的簡明封閉解.

4? ? 算例

某海邊地帶（A類地區(qū)）有1座10層的高層鋼結(jié)構(gòu)建筑，地面粗糙度系數(shù)為Kr=0.001 29.其中第1層至第3層的層間質(zhì)量為[m1～m3=380×103 kg]，層間剛度為[k1～k3=330×106 N/m]，迎風(fēng)面積均為150 m2; 第4層至第10層的層間質(zhì)量為[m4～m10=320×103 kg]，層間剛度為[k4～k10=280×106 N/m]，迎風(fēng)面積均為105 m2，各層高度均為3.3 m.結(jié)構(gòu)的阻尼比[ξ]1=0.05，脈動(dòng)風(fēng)速為[v0]=33.5 m/s，對(duì)應(yīng)楊慶山風(fēng)速譜參數(shù)：? [α1]=0.381 5，[β1]=0.015 8，[γ1]=0.833 0.

4.1? ?風(fēng)譜的對(duì)比分析

為驗(yàn)證本文所給楊慶山風(fēng)速譜表達(dá)式的正確性，圖1給出與楊慶山風(fēng)速譜原表達(dá)式的對(duì)比分析.從? 圖 1中可知兩者完全吻合，說明本文所給楊慶山風(fēng)速譜的等效表達(dá)式是正確的.

4.2? ?結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜對(duì)比分析

為驗(yàn)證本文所提結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜的正確性，與虛擬激勵(lì)法的功率譜進(jìn)行比較如圖2—圖4所示.? ? ? ? ?從圖2—圖4中可以看出本文方法和虛擬激勵(lì)法的位移功率譜和層間功率譜完全重合.然而本文方法所得到的功率譜為系統(tǒng)特征線性組合，更為簡潔，故便于工程應(yīng)用.

4.3? ?譜矩的對(duì)比分析

為驗(yàn)證本文方法計(jì)算結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)譜矩解析解的正確性，與傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法進(jìn)行對(duì)比.傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法需采用數(shù)值積分在[0，∞）區(qū)間進(jìn)行求解，是無法實(shí)現(xiàn)的.結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)的峰值與結(jié)構(gòu)的自振頻率有關(guān)，對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)而言，結(jié)構(gòu)的周期小于0.01 s～3 s，對(duì)應(yīng)的圓頻率為628 rad/s～1 rad/s，而風(fēng)速譜的頻率范圍是[0，∞），故本文分析時(shí)為了精度更高，傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法采用[0，10 000]，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過結(jié)構(gòu)的卓越頻率.根據(jù)功率譜函數(shù)隨著頻率的增大，功率譜值越來越小的特點(diǎn)，因此，取積分區(qū)間為[0，10 000）.由于數(shù)值積分精度與積分步長密切相關(guān)，為此本算例中取3種積分步長：1）頻率積分間距為1.00 rad/s;2）頻率積分間距為0.50 rad/s;3）頻率積分間距為0.05 rad/s.譜矩對(duì)比如圖5—圖12所示.

從圖5—圖12可知，傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法的積分步長對(duì)計(jì)算精度影響較大，積分步長選擇不當(dāng)，結(jié)果可能偏大也可能偏小，這一特點(diǎn)從功率譜密度函數(shù)的凸凹型可以理解.積分步長越小，計(jì)算的譜矩與本文方法越接近，故本文方法是正確的.從CPU耗時(shí)來看，傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法的計(jì)算時(shí)間隨著積分區(qū)間的減小而增加，1）耗時(shí)4.161 9 s;2）耗時(shí)6.306 0 s;3）耗時(shí)66.400 0 s.本文方法耗時(shí)0.099 9 s.本文方法和傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法耗時(shí)相比，1）比值1/41;2）比值1/63;3）比值1/664.故本文的計(jì)算效率最高.

5? ? 結(jié)論

本文對(duì)基于楊慶山風(fēng)速譜的結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)譜矩的簡明封閉解進(jìn)行了研究，獲得如下結(jié)論：

1）結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程可通過復(fù)模態(tài)方法解耦為1階微分方程組，利用虛擬激勵(lì)法可將結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜

簡化為關(guān)于頻率變量的二次型，為譜矩的封閉解析解奠定基礎(chǔ).因此，本文方法本質(zhì)上是一種改進(jìn)虛擬激勵(lì)法.

2）傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法計(jì)算結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)譜矩，計(jì)算效率和計(jì)算精度受積分步長影響較大，而本文方法譜矩為解析解.對(duì)于多自由度結(jié)構(gòu)來說，無論是傳統(tǒng)的虛擬激勵(lì)法還是本文方法都需要對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程進(jìn)行解耦，都需要獲得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特征值.故本文方法可用來驗(yàn)證傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法的分析精度.

3）本文方法獲得了結(jié)構(gòu)風(fēng)振位移和層間相對(duì)位移的0階、1階、2階的封閉解析解，為基于更精確的Markov理論可靠度分析奠定基礎(chǔ);獲得了結(jié)構(gòu)風(fēng)振位移的4階譜矩，為基于風(fēng)振舒適度[18-20]控制研究奠定基礎(chǔ).

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