韓小彬

摘 要：在當(dāng)前的素質(zhì)教學(xué)環(huán)境下，如何進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維，是教師需要肩負(fù)的一項(xiàng)重要任務(wù)，為了強(qiáng)化相關(guān)人員的教學(xué)認(rèn)識(shí)，本文對(duì)高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的應(yīng)用展開探究，希望能夠起到一些積極的參考作用.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);構(gòu)造法;解題應(yīng)用;分析

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2021）13-0058-02

在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，高中階段的數(shù)學(xué)教育，已經(jīng)擺脫了以往那種應(yīng)試的思路，轉(zhuǎn)而對(duì)學(xué)生數(shù)理思維能力進(jìn)行培養(yǎng)，因此，在解題教學(xué)的過程中，教師也需要拓展出一些新穎的教學(xué)方法，來完善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)，建立出一個(gè)高效化的授課環(huán)境.為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的應(yīng)用意識(shí)，教師不妨根據(jù)相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)出一個(gè)理想化的授課環(huán)境，以此來強(qiáng)化學(xué)生的訓(xùn)練認(rèn)識(shí).

一、利用已知條件構(gòu)造函數(shù)

應(yīng)用構(gòu)造法的時(shí)候，主要是讓學(xué)生根據(jù)問題中出現(xiàn)的已知條件和已知結(jié)論，借助問題類型的特性，來分析已知條件的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而讓問題的表現(xiàn)形式變得更為直觀化，這樣學(xué)生在解題的時(shí)候，思路能夠更加清晰，從而梳理出一個(gè)具體的解題思路.在實(shí)際操作的過程中，教師不妨試著借助一些題目中的已知條件，幫助學(xué)生構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)內(nèi)容，深化學(xué)生解題認(rèn)識(shí).

例如，在對(duì)“解不等式”的內(nèi)容進(jìn)行訓(xùn)練的時(shí)候，不少學(xué)生面對(duì)問題，恐怕都會(huì)采用傳統(tǒng)的思維方式，直接進(jìn)行解題，雖然也可以得出答案，但是整個(gè)過程比較復(fù)雜，很可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以，為了避免這類情況，教師在教學(xué)訓(xùn)練的過程中，可以借助構(gòu)造法，幫助學(xué)生分析“不等式”的相關(guān)內(nèi)容.不等式問題大都是以函數(shù)單調(diào)性為基礎(chǔ)，所以可以利用已知條件構(gòu)造函數(shù)，證明不等式的單調(diào)性，同時(shí)引入圖形來深化論證過程.比如，已知x，y，z均在區(qū)間（0，1）上，在求證x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1時(shí)，便可以構(gòu)造出一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)，即f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1），針對(duì)其進(jìn)行分析，得出相應(yīng)的證明過程，學(xué)生的解題思路將會(huì)更加明晰.

二、根據(jù)等量關(guān)系構(gòu)造方程式

在一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)自變量和因變量的內(nèi)容，學(xué)生一定要熟練掌握相關(guān)概念，教師可以在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)相應(yīng)的解題框架，根據(jù)一些等量關(guān)系來構(gòu)造方程式，無論問題中是二元二次方程式，亦或者是一元二次方程式，在解答的過程中，都要將解決未知量設(shè)定為解題的目的，另外，在針對(duì)定量關(guān)系的題目時(shí)，也可以根據(jù)等量關(guān)系構(gòu)造出相應(yīng)的方程式.

在學(xué)習(xí)一元二次方程式的內(nèi)容時(shí)，有一類生活化的題目比較常見，如，玩具商店某款熱銷玩具的進(jìn)價(jià)為50元，當(dāng)按照50元的價(jià)格售賣時(shí)，可以賣出400件，并且單價(jià)每上漲1元，玩具的銷量便會(huì)降低10件，請問，玩具售價(jià)為多少時(shí)，商店能夠得到最大的利潤.解決這類問題時(shí)，不能使用傳統(tǒng)的解題思路，那樣反而會(huì)增大解題難度，不妨借助構(gòu)造法，將利潤設(shè)置為W，增長的金額設(shè)定為x元，根據(jù)題目中的描述，可以得出下列這個(gè)方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x.最后，學(xué)生可以根據(jù)方程式進(jìn)行求解，從而推出利潤最大值時(shí)x的數(shù)值.

三、借助題目內(nèi)容構(gòu)造平面圖形

針對(duì)一些代數(shù)問題，大家可能習(xí)慣于從代數(shù)的角度來進(jìn)行解答，這樣解題的過程比較復(fù)雜，且具有一定的局限性，所以，大家不妨試著從構(gòu)造法的角度來尋找解題的突破口.在訓(xùn)練中，教師帶領(lǐng)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，降低解題的難度，并且學(xué)生在構(gòu)造平面圖形的時(shí)候，可以在圖形上完成解題訓(xùn)練，將問題變得更為直觀，這樣解題思路更加清晰，大家也可以找準(zhǔn)解題的突破口.

在解不等式的相關(guān)題目時(shí)，通過借助函數(shù)圖形，能夠降低解題難度，教師在講解這類題目的解題方法時(shí)，可能部分學(xué)生會(huì)出現(xiàn)一些認(rèn)知誤區(qū)，如已知△ABC的頂點(diǎn)A和B在某個(gè)橢圓上，其方程是x2+3y2=4，而另一個(gè)頂點(diǎn)C在直線l上，其方程為y=x+2，且l∥AB，∠ABC

=90°，當(dāng)斜邊AC的長度最大時(shí)，求AB所在直線的方程.在解題的時(shí)候，教師首先幫助學(xué)生把握題目中的一個(gè)關(guān)鍵信息——直線l，這時(shí)構(gòu)造相應(yīng)的圖形，并確定l在整個(gè)坐標(biāo)空間里的位置，再將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，這樣整個(gè)解題步驟能夠變得更為簡明化.

四、結(jié)合題設(shè)特征構(gòu)造數(shù)列

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，等比數(shù)列、等差數(shù)列是重要的知識(shí)內(nèi)容，有著很多數(shù)學(xué)性質(zhì)，是高中數(shù)學(xué)教材的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考必考的熱點(diǎn)內(nèi)容.在解決數(shù)列問題時(shí)，可以借助構(gòu)造法完成，提高學(xué)生解題效率和能力.在具體的構(gòu)造法應(yīng)用中，需要引導(dǎo)學(xué)生分析題設(shè)特征，通過替換或者聯(lián)想的方式，構(gòu)建相應(yīng)的等比數(shù)列或者等差數(shù)列，借助數(shù)列的構(gòu)造，明確數(shù)學(xué)問題求解要點(diǎn)，將題目化繁為簡，使得抽象內(nèi)容具體化.通過這樣的方式，幫助學(xué)生更好地解題，提高學(xué)生的解題效率.

例1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且S4=4，當(dāng)n≥2時(shí)，an=12（Sn+Sn+1），求Sn關(guān)于n的表達(dá)式.

分析 此題是數(shù)列問題中的典型題目，并且前n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)an的關(guān)系是已知的，求解Sn的表達(dá)式.如果采取傳統(tǒng)的通項(xiàng)公式求解的方式，解題過程非常繁瑣，并且不能夠直接套用公式，影響最終的解題結(jié)果.如果構(gòu)建相應(yīng)的虛構(gòu)數(shù)列，借助新的數(shù)列完成求解，可以非?？焖俚亟鉀Q問題，提高學(xué)生的解題效率.

解析 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，根據(jù)an=12（Sn+Sn+1），進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，可以得出12=Sn-Sn+1，令bn=Sn，可以得出數(shù)列{bn}屬于等差數(shù)列，其公差是12，且b4=S4=2，根據(jù)已知內(nèi)容，得bn=n2，所以Sn=n24.

在面對(duì)一些復(fù)雜的數(shù)列問題，或者數(shù)列不是等比數(shù)列或者等差數(shù)列的問題時(shí)，可以借助相應(yīng)的化歸思想，將其構(gòu)造成相應(yīng)的等比數(shù)列或者等差數(shù)列，利用其通項(xiàng)公式完成解題.教師需要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生有效利用構(gòu)造法，完成數(shù)學(xué)問題的思考和解答.

五、分析數(shù)學(xué)問題構(gòu)造解析式

構(gòu)造解析式法主要是根據(jù)題目條件，借助合理的構(gòu)建方式，構(gòu)建適當(dāng)?shù)年P(guān)系式、輔助問題思考和解答問題.在實(shí)際的解題中，應(yīng)當(dāng)靈活利用解析式構(gòu)造方式，有效簡化數(shù)學(xué)問題的解題思路.在具體的解析式構(gòu)造的應(yīng)用中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，對(duì)其特征進(jìn)行分析，構(gòu)建與之有關(guān)聯(lián)的關(guān)系式，將其替代原題干中的信息問題，或者對(duì)原有的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡化，完成原有數(shù)學(xué)問題的思考和解答，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解題的目標(biāo).

例2 求證：C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n.

解析 此題目涉及到二項(xiàng)式展開式系數(shù)求和的內(nèi)容，在解題時(shí)，如果采取以往的計(jì)算方式解題，過程過于繁瑣，而且計(jì)算非常復(fù)雜，影響解題效益和準(zhǔn)確性.因此，通過對(duì)題干內(nèi)容進(jìn)行分析，尋找其存在的特點(diǎn)和特征，構(gòu)造相應(yīng)的表達(dá)式，借助構(gòu)造解析式方式，對(duì)問題進(jìn)行簡化處理，有效完成題目的思考和解答.在解析式構(gòu)造時(shí)，結(jié)合題目合理構(gòu)造，如（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cnnbn，利用a=b=1的特殊值，對(duì)展開式進(jìn)行轉(zhuǎn)變，通過二項(xiàng)式定理對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)a=b=1的特殊情況進(jìn)行證明，有效完成解題.因此，高中數(shù)學(xué)解題中，需要對(duì)題干內(nèi)容進(jìn)行分析，結(jié)合其特點(diǎn)構(gòu)造解析式，明確解題思路和方式，采取特殊值等方式，對(duì)題目進(jìn)行驗(yàn)證，有效解決數(shù)學(xué)問題.

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對(duì)于構(gòu)造法的應(yīng)用，教師要抱有一個(gè)正確的教學(xué)態(tài)度，將其與實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來，進(jìn)行有效應(yīng)用，爭取幫助學(xué)生建立更為簡明的解題思想，這樣大家的訓(xùn)練認(rèn)識(shí)，也能夠得到全面性的提升，不僅僅可以深化整體的數(shù)學(xué)教育工作，對(duì)于學(xué)生未來學(xué)習(xí)發(fā)展也是大有裨益.

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[責(zé)任編輯：李 璟]