“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”的深度解讀與教學(xué)重構(gòu)

魏光明

摘要：“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程有理數(shù)版塊的重要內(nèi)容，但在第二學(xué)段和第三學(xué)段的教學(xué)定位不同。教學(xué)中，要準(zhǔn)確把握“課標(biāo)”定位，預(yù)見可能存在的教學(xué)困難，明晰學(xué)段之間的教學(xué)邊界;要整體審視課程內(nèi)容，把握負(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，知曉數(shù)系擴(kuò)張的相應(yīng)變化;要辯證看待“負(fù)數(shù)”的教學(xué)策略，分析負(fù)數(shù)引入的兩種方式，解構(gòu)負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)的教學(xué)路徑;要嘗試突破“負(fù)數(shù)”的教學(xué)難點(diǎn)，區(qū)分負(fù)數(shù)表征的性質(zhì)符號(hào)，突出負(fù)數(shù)教學(xué)的幾何直觀。教師要處理好學(xué)生認(rèn)知水平和知識(shí)本質(zhì)內(nèi)涵之間的關(guān)系，在兒童與數(shù)學(xué)之間科學(xué)地架橋，促進(jìn)負(fù)數(shù)概念的建構(gòu)與理解，讓學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生。

關(guān)鍵詞：負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí);教學(xué)重構(gòu);小學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2020）10A-0059-05

關(guān)于小學(xué)階段“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”的內(nèi)容，人教版、北師大版、蘇教版三個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都設(shè)置了獨(dú)立的教學(xué)單元，不同的是被編排在不同年級(jí)（北師大版教材編排在四年級(jí)上學(xué)期，蘇教版教材編排在五年級(jí)上學(xué)期，人教版教材編排在六年級(jí)下學(xué)期），單元名稱和具體內(nèi)容也略有不同。同時(shí)，關(guān)于負(fù)數(shù)的教學(xué)，學(xué)界還存在一些爭(zhēng)議。教材的不同編排和學(xué)界的不同聲音，推動(dòng)了一線教師進(jìn)行教學(xué)探索，開展教學(xué)研究，但也帶來了一些困惑?；诖?，本文對(duì)小學(xué)“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”的內(nèi)容做出了解讀，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、準(zhǔn)確把握“負(fù)數(shù)”的教學(xué)定位

與其他知識(shí)教學(xué)一樣，教師需要借助學(xué)情調(diào)查和文獻(xiàn)分析，提前了解學(xué)生在負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)可能面臨的困難。同時(shí)，要認(rèn)真研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》），弄清當(dāng)前教學(xué)的具體要求，明晰其在不同學(xué)段教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)以及前后學(xué)段之間的邊界，以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和知識(shí)的邏輯起點(diǎn)來實(shí)施精準(zhǔn)教學(xué)。

1.預(yù)見可能存在的學(xué)習(xí)困難

負(fù)數(shù)從“創(chuàng)生”到被認(rèn)可經(jīng)歷了漫長(zhǎng)、曲折的過程，連數(shù)學(xué)家也是花了1000年才建立負(fù)數(shù)的概念，又花了1000年才接受負(fù)數(shù)概念。美國(guó)數(shù)學(xué)家M.克萊因認(rèn)為，“歷史順序通常是正確的順序，數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的困難，正是我們的學(xué)生要經(jīng)歷的困難。”王傳兵開展的“七年級(jí)學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)概念的理解”研究結(jié)論也證明了這一點(diǎn)：七年級(jí)學(xué)生在初期學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)概念時(shí)存在理解困難，他們對(duì)負(fù)數(shù)概念的表征以“正數(shù)前面添加負(fù)號(hào)”的描述居多;沒有理解“+”“-”號(hào)的三種意義，特別是當(dāng)兩種或三種意義的符號(hào)同時(shí)出現(xiàn)時(shí)容易出錯(cuò);對(duì)于負(fù)數(shù)與生活情境的聯(lián)系比較薄弱;對(duì)于負(fù)帶分?jǐn)?shù)，常把分?jǐn)?shù)部分看成正數(shù)[1]。造成困難的一個(gè)重要的原因是，學(xué)生很難通過活動(dòng)親身體驗(yàn)負(fù)數(shù)而積累經(jīng)驗(yàn)，沒有在負(fù)數(shù)與實(shí)際生活情境之間建立聯(lián)系，不能抽象出負(fù)數(shù)特有的性質(zhì)?？梢灶A(yù)見，對(duì)小學(xué)生而言，以靜態(tài)、抽象、規(guī)定性呈現(xiàn)的負(fù)數(shù)概念，正確理解和應(yīng)用是存在困難的。

2.研究標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的教學(xué)要求

在現(xiàn)行義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中，有關(guān)負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)的內(nèi)容在第二學(xué)段和第三學(xué)段均有編排，但兩個(gè)學(xué)段的教學(xué)定位不同，教學(xué)要求也不同?！稑?biāo)準(zhǔn)》對(duì)第二學(xué)段負(fù)數(shù)的教學(xué)目標(biāo)定位是“在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會(huì)用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量”。可以看出，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)負(fù)數(shù)意義的要求是“了解”而不是“理解”。所謂“了解”是指“從具體實(shí)例中知道或舉例說明對(duì)象的有關(guān)特征;根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對(duì)象”;理解則是指“描述對(duì)象的特征和由來，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系?！盵2]顯而易見，《標(biāo)準(zhǔn)》只要求第二學(xué)段的學(xué)生在具體情境中感受到負(fù)數(shù)“作為一種新的數(shù)”出現(xiàn)是必然的，知道正數(shù)和負(fù)數(shù)是表示相反意義的量，初步認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)及其符號(hào)表示，知道0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，會(huì)正確讀、寫正數(shù)和負(fù)數(shù)，會(huì)用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量并能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的解釋。

3.明晰學(xué)段之間的教學(xué)邊界

仔細(xì)研讀《標(biāo)準(zhǔn)》第二學(xué)段和第三學(xué)段的“課程內(nèi)容”，比較小學(xué)和初中的數(shù)學(xué)教材，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，并未要求第二學(xué)段的學(xué)生認(rèn)識(shí)作為運(yùn)算出現(xiàn)的負(fù)數(shù)，以及“+”“-”號(hào)作為性質(zhì)符號(hào)與作為運(yùn)算符號(hào)之間的區(qū)別，并未要求學(xué)生比較負(fù)數(shù)的大小，并未要求學(xué)生理解和掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算，體會(huì)負(fù)數(shù)對(duì)于有理數(shù)系減法運(yùn)算的封閉性。這些內(nèi)容是第三學(xué)段的教學(xué)任務(wù)。強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，是因?yàn)槲覀冃枰獙?duì)學(xué)科知識(shí)和兒童充滿敬畏，不要因?yàn)閭€(gè)別學(xué)生或者少數(shù)學(xué)生通過各種途徑提前了解了有關(guān)負(fù)數(shù)的內(nèi)容，或者學(xué)生已經(jīng)接觸了有關(guān)負(fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)生活場(chǎng)景，或者教師認(rèn)為負(fù)數(shù)的內(nèi)容不難，可以教給學(xué)生更多，而人為地拔高教學(xué)要求。這樣做，會(huì)給后知后覺的學(xué)生當(dāng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成困難，加劇兩極分化現(xiàn)象。同時(shí)，還會(huì)因?yàn)閷W(xué)生的抽象思維水平不足，導(dǎo)致學(xué)得不透徹、理解有偏差，給第三學(xué)段有理數(shù)的學(xué)習(xí)帶來更多的困惑。

二、整體審視“負(fù)數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容

我們需要將負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)置于有理數(shù)這一知識(shí)序列乃至更大的知識(shí)體系之中，清晰地了解有關(guān)負(fù)數(shù)知識(shí)的全貌，梳理有關(guān)負(fù)數(shù)知識(shí)的生長(zhǎng)線索和主次脈絡(luò)，理清負(fù)數(shù)與其他知識(shí)之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確把握負(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，弄清因?yàn)閿?shù)系擴(kuò)張引起的相應(yīng)變化，以提供有助于整體思考的學(xué)習(xí)素材和整體互動(dòng)的學(xué)習(xí)場(chǎng)景，幫助學(xué)生形成對(duì)負(fù)數(shù)的深刻理解。

1.梳理負(fù)數(shù)版塊的知識(shí)脈絡(luò)

負(fù)數(shù)是有理數(shù)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容，在第二學(xué)段和第三學(xué)段的數(shù)學(xué)課程中均有編排，涉及正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念、有理數(shù)的概念、絕對(duì)值、相反數(shù)、有理數(shù)的運(yùn)算等。其中，小學(xué)階段關(guān)于負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)主要涉及正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念。這里就以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，梳理一下負(fù)數(shù)版塊包括的具體知識(shí)點(diǎn)：正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義;正數(shù)、負(fù)數(shù)的讀法與寫法;0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù);正數(shù)、負(fù)數(shù)和0的大小關(guān)系;用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示日常生活中具有相反意義的量，解釋正數(shù)、負(fù)數(shù)的實(shí)際意義;用數(shù)直線（數(shù)軸）上的點(diǎn)表示正數(shù)和負(fù)數(shù)，了解正數(shù)和負(fù)數(shù)的排列規(guī)律。當(dāng)然，有些版本還涉及正、負(fù)數(shù)的大小比較，整數(shù)的結(jié)構(gòu)等。與此同時(shí)，隨著負(fù)數(shù)引入，數(shù)的范圍就從正數(shù)和0擴(kuò)大到了有理數(shù)，以前學(xué)過的一些知識(shí)在內(nèi)涵、外延、規(guī)則等方面隨之發(fā)生了一些變化。這就需要我們站在整體的角度來審視負(fù)數(shù)版塊的內(nèi)容，準(zhǔn)確把握負(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，理順負(fù)數(shù)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，弄清負(fù)數(shù)與其他知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。只有這樣，才能避免在教學(xué)中出現(xiàn)知識(shí)漏洞和知識(shí)斷層，給學(xué)生的學(xué)習(xí)特別是在第三學(xué)段負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)造成困惑。

2.把握負(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵外延

現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材一般是通過描述給負(fù)數(shù)下定義的。蘇教版教材中這樣描述：“像+20、+8844.4這樣的數(shù)都是正數(shù)（正數(shù)前面的“+”可以省略不寫），像-20、-155這樣的數(shù)都是負(fù)數(shù)?！盵3]北師大版教材中這樣描述：“像10，200，8844.43……都是正數(shù)，可以在正數(shù)前面添上“+”號(hào)，如+10，200，+8844.43。像-1000，-500，-127，-100……都是負(fù)數(shù)?！盵4]人教版教材中這樣描述：“為了表示兩種相反意義的量，如零上溫度和零下溫度、收入與支出等，需要用兩種數(shù)。一種是我們以前學(xué)過的數(shù)，如3、500、4.7、3/8，這些數(shù)是正數(shù);另一種是在這些數(shù)的前面添上負(fù)號(hào)“-”的數(shù)，-3、-500、-4.7、-3/8等，這些數(shù)是負(fù)數(shù)?！薄罢龜?shù)前面的“+”可以省略不寫。如果為了與負(fù)數(shù)對(duì)比，也可以加上正號(hào)，如+3，讀作正三?！盵5]從上面可以看出，人教版教材直接揭示了負(fù)數(shù)的主要內(nèi)涵，即正數(shù)和負(fù)數(shù)表示兩種相反意義的量，其他版本教材則隱含在編排的內(nèi)容之中，需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生充分感悟。此外，現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材都是在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)之后引入負(fù)數(shù)的，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生了解負(fù)數(shù)的外延包括負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和負(fù)小數(shù)，以便在后續(xù)學(xué)習(xí)中更好地建立“有理數(shù)”概念和相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

3.知曉數(shù)系擴(kuò)張的相應(yīng)變化

負(fù)數(shù)引入之后，有些學(xué)過的知識(shí)隨之發(fā)展或產(chǎn)生變化。第一，0的意義變得更加豐富。除了表示沒有之外，0還是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，它是唯一的一個(gè)中性數(shù);在有理數(shù)范圍內(nèi)，所有負(fù)數(shù)都比0小;可以根據(jù)需要，人為設(shè)定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)為0。第二，“+”號(hào)、“-”號(hào)的意義變得更加豐富。除了可以表示加、減運(yùn)算符號(hào)之外，“+”號(hào)、“-”號(hào)還可以看作“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”的性質(zhì)符號(hào)。此外，“-”號(hào)可以用來表示相反數(shù)，把“-”寫在一個(gè)任何有理數(shù)（包括0）的前面，可以表示這個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)。第三，整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的外延擴(kuò)容。認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)之后，整數(shù)包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)三部分。北師大版教材中就這樣描述：“像-10，0，200……都是整數(shù)?！盵6]相應(yīng)地，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，小數(shù)也包括正小數(shù)和負(fù)小數(shù)。第四，加法和減法運(yùn)算的“規(guī)定”出現(xiàn)變化。在有理數(shù)范圍內(nèi)，被減數(shù)可以小于減數(shù)，減法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了封閉;和可能比加數(shù)小;根據(jù)“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，可以將減法轉(zhuǎn)化為加法，使兩種運(yùn)算統(tǒng)一成一種運(yùn)算。雖然上述許多內(nèi)容安排在第三年學(xué)段教學(xué)，但教師應(yīng)該立足整體進(jìn)行長(zhǎng)線設(shè)計(jì)，并基于《標(biāo)準(zhǔn)》做好階段落實(shí)。

三、辯證看待“負(fù)數(shù)”的教學(xué)策略

我們需要從整體走向細(xì)節(jié)，抓住影響負(fù)數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵，了解有關(guān)負(fù)數(shù)知識(shí)的數(shù)學(xué)文化，特別是負(fù)數(shù)產(chǎn)生的不同背景，科學(xué)分析負(fù)數(shù)引入的常見方式，解讀并重構(gòu)負(fù)數(shù)初步認(rèn)識(shí)的教學(xué)路徑，以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和負(fù)數(shù)的豐富內(nèi)涵，合理地設(shè)計(jì)教學(xué)流程，選擇教學(xué)方法和策略，使學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生。

1.了解負(fù)數(shù)產(chǎn)生的兩個(gè)背景

從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史看，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生主要有兩個(gè)源頭或背景。一個(gè)是源于生產(chǎn)生活實(shí)踐的需要。在日常生活或生產(chǎn)中，人們經(jīng)常會(huì)遇到具有相反意義的量，比如公司的盈利與虧損，家庭的收入與支出，庫(kù)存的增加與減少。當(dāng)運(yùn)用原有的數(shù)無法簡(jiǎn)約、準(zhǔn)確地表示這兩種相反意義的量時(shí)，比如，超市購(gòu)進(jìn)50袋大米與賣出50袋大米，只用一個(gè)50來記錄很簡(jiǎn)潔，但無法區(qū)分屬于哪一種行為，人們就會(huì)想要?jiǎng)?chuàng)造一種新的數(shù)來表示，以解決這一類現(xiàn)實(shí)問題。從這個(gè)角度看，正數(shù)和負(fù)數(shù)可以看成是從現(xiàn)實(shí)世界中大量客觀存在的、具有相反意義的量中抽象出來的數(shù)學(xué)模型。另一個(gè)是源于完善數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)的需要。人們?cè)谶M(jìn)行減法運(yùn)算或者解方程時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到“不夠減”的情形，于是就會(huì)產(chǎn)生引入一種新的數(shù)來表示運(yùn)算結(jié)果的需要，以解除減法運(yùn)算中的某些限制，保證減法運(yùn)算的封閉性，同時(shí)又保持原有的運(yùn)算規(guī)律。負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，促進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)了從非負(fù)有理數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)，進(jìn)入了一個(gè)新的領(lǐng)域。

2.分析負(fù)數(shù)引入的兩種方式

對(duì)背景的認(rèn)識(shí)不同，引入負(fù)數(shù)就會(huì)選擇不同的方式。第一種是選擇生產(chǎn)生活中的數(shù)學(xué)原型引入。前面提及的三種版本教材都是利用學(xué)生熟悉的生活素材引入負(fù)數(shù)的，比較多的是溫度計(jì)、銀行存折等。大多數(shù)教師一般也采用這種方式。事實(shí)上，第二學(xué)段的學(xué)生已經(jīng)接觸過許多用“負(fù)數(shù)”形式表示的場(chǎng)景，也知道許多表示相反意義的量。比如，天氣預(yù)報(bào)中的零下溫度、電子支付中的支出費(fèi)用數(shù)額、小區(qū)或購(gòu)物中心地下停車場(chǎng)的位置等。第二種是從數(shù)系擴(kuò)張的需要引入。有少數(shù)教師和研究者借助解決問題時(shí)“不夠減”或“標(biāo)準(zhǔn)”發(fā)生變化的情境引入負(fù)數(shù)。上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校在小學(xué)一年級(jí)引入負(fù)數(shù)就采用了這種方式[7]?？陀^地說，兩種引入方式各有利弊。第一種方式，有利于喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷負(fù)數(shù)“創(chuàng)生”的過程，但可能會(huì)淡化0的再認(rèn)識(shí)，再創(chuàng)造過程可能會(huì)占用較多的時(shí)間，可能會(huì)缺少必要的抽象。第二種方式，有利于借助強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突讓學(xué)生體會(huì)負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性，但可能會(huì)超越小學(xué)生的認(rèn)知水平和理解能力，給他們的學(xué)習(xí)帶來困難，尤其是理解負(fù)數(shù)含義的困難。

3.解構(gòu)負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)的教學(xué)路徑

教學(xué)有法，但教無定法。在負(fù)數(shù)的教學(xué)過程中，我們可以依據(jù)“問題情境—建立概念—揭示聯(lián)系—解釋應(yīng)用”的流程漸次展開。第一步，呈現(xiàn)學(xué)生熟悉、會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突、具有一定挑戰(zhàn)性的問題情境。比如，呈現(xiàn)小微企業(yè)的收入與支出，讓學(xué)生計(jì)算幾個(gè)月的盈余或虧損，以勾連數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第二步，要求學(xué)生用“一個(gè)數(shù)”簡(jiǎn)約地表示盈余和虧損的數(shù)據(jù)，使得學(xué)生在矛盾沖突中逐步聚焦符號(hào)表示，突出“創(chuàng)生”的性質(zhì)符號(hào)，初步體會(huì)可以用兩種數(shù)表示相反意義的量。再讓學(xué)生用正、負(fù)數(shù)去表示一些相反意義的量，比如，上車和下車的人數(shù)，零上和零下的溫度等，使學(xué)生理解負(fù)數(shù)的含義。通過比較和分類，給負(fù)數(shù)下一個(gè)描述性定義，揭示知識(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。第三步，突出“標(biāo)準(zhǔn)”，在情境中豐富0的含義，認(rèn)識(shí)到“0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)”，從不同角度感悟有理數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)的整體結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立廣泛的關(guān)聯(lián)。第四步，回到生活中去，尋找相反意義的量并用合適的數(shù)表示，以及解釋正、負(fù)數(shù)在具體情境中的意義，或運(yùn)用所學(xué)知識(shí)做出判斷，在應(yīng)用中鞏固和深化對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，也可以設(shè)計(jì)其他的流程和路徑。只要記住一點(diǎn)，選擇什么方法，設(shè)計(jì)什么路徑，組織什么活動(dòng)，最重要的是基于兒童的接受能力，激活他們的思維，讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。

四、突破“負(fù)數(shù)”的教學(xué)難點(diǎn)的策略

我們需要全面分析學(xué)生在認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)時(shí)經(jīng)常會(huì)面臨的學(xué)習(xí)困難，在此基礎(chǔ)上，通過比較優(yōu)選最有利于負(fù)數(shù)概念引入的數(shù)學(xué)原型，學(xué)會(huì)區(qū)分負(fù)數(shù)表征的性質(zhì)符號(hào)與常見的運(yùn)算符號(hào)，并充分發(fā)揮幾何直觀在理解抽象概念、解決疑難問題中的重要作用，以幫助學(xué)生及時(shí)澄清可能產(chǎn)生的數(shù)學(xué)迷思，化解可能出現(xiàn)的理解錯(cuò)誤，突破學(xué)習(xí)的困境，獲得成功的體驗(yàn)。

1.優(yōu)選負(fù)數(shù)引入的數(shù)學(xué)原型

對(duì)于認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)選擇溫度模型是存在爭(zhēng)議的。三種教材的編排和一線教師的教學(xué)通常是從觀察溫度計(jì)開始，借助零上溫度和零下溫度引出正、負(fù)數(shù)的。張奠宙等學(xué)者則認(rèn)為“溫度”不是正、負(fù)數(shù)的好模型[8][9]，因?yàn)闇囟戎皇侨藶橐?guī)定了一個(gè)零點(diǎn)和單位長(zhǎng)度，然后據(jù)此進(jìn)行刻畫;溫度不是可比的數(shù)量，2℃并不是1℃的兩倍;溫度不可加，2℃和1℃相加沒有任何意義。事實(shí)上，數(shù)除了用來表示之外，還用來運(yùn)算?，F(xiàn)在，擺在我們面前的就是這樣的情形：從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的邏輯看，可從“不夠減”模型引入負(fù)數(shù);從生產(chǎn)生活實(shí)踐的角度看，可從收支、盈虧模型引入負(fù)數(shù)[10]。需要提醒的是，我們面對(duì)的是小學(xué)生，他們更容易接受和理解自然狀態(tài)下意義相反的量。綜合以上分析，小學(xué)階段可以嘗試選擇兼具“可以進(jìn)行運(yùn)算”和學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)兩個(gè)特征，表示自然狀態(tài)下意義相反的量的模型，比如盈虧模型。筆者之所以不完全反對(duì)從溫度計(jì)引入正、負(fù)數(shù)，是因?yàn)樗泻苊黠@的優(yōu)點(diǎn)，比如，作為“標(biāo)準(zhǔn)”和分界線的0天然存在，可以變式為“數(shù)軸”。

2.區(qū)分負(fù)數(shù)表征的性質(zhì)符號(hào)

前文提及有些七年級(jí)學(xué)生也不能理解“+”“-”號(hào)的三種意義，原因之一就是作為性質(zhì)符號(hào)的“+”“-”號(hào)是非常抽象的?？梢姡瑓^(qū)分它們是作為運(yùn)算符號(hào)還是性質(zhì)符號(hào)，是小學(xué)和初中關(guān)于負(fù)數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)。要解決這個(gè)問題，可以分三步走。第一步，在第二學(xué)段初步認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量時(shí)，要重視引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境，理解在這里賦予“+”號(hào)和“-”號(hào)的意義，知道“+”號(hào)、“-”號(hào)和后面的正數(shù)連在一起形成的是一個(gè)整體，是一個(gè)數(shù)[11]，要在用數(shù)表示、解釋意義、讀數(shù)和寫數(shù)等環(huán)節(jié)強(qiáng)化整體認(rèn)知。事實(shí)上，負(fù)數(shù)應(yīng)該是在正數(shù)前面添加“-”號(hào)的過程和以一個(gè)整體看作一個(gè)數(shù)的結(jié)果的統(tǒng)一體。所不同的是，正數(shù)的性質(zhì)符號(hào)在書寫時(shí)可以保留，也可以省略。到了第三學(xué)段，就可以把任何一個(gè)非0有理數(shù)看成由性質(zhì)符號(hào)和絕對(duì)值兩部分組成的。第二步，在后續(xù)學(xué)習(xí)中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生與先前加、減運(yùn)算中的運(yùn)算符號(hào)比較，從賦予符號(hào)具體意義的角度，初步弄清作為性質(zhì)符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)的區(qū)別。第三步，在第三學(xué)段教學(xué)中，結(jié)合解決實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生在同一道算式中區(qū)分“+”“-”號(hào)是看作運(yùn)算符號(hào)還是性質(zhì)符號(hào)。

3.突出負(fù)數(shù)教學(xué)的幾何直觀

借助幾何直觀，可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解負(fù)數(shù)。這里以數(shù)直線（有些教材中稱為數(shù)軸）為例做些討論。數(shù)直線是一種形象、可視的腳手架，借助數(shù)形結(jié)合的手段，比如，用數(shù)直線上的點(diǎn)表示數(shù)，將有理數(shù)與數(shù)直線上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推理，感悟數(shù)的排列順序，知道“負(fù)數(shù)都小于0，也小于正數(shù)”（教材中即有這一要求），了解距離0越遠(yuǎn)的負(fù)數(shù)就越小。通過想象數(shù)直線向兩端無限延伸，感悟正數(shù)和負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，沒有最大的正數(shù)，也沒有最小的負(fù)數(shù);通過比較與0點(diǎn)的距離，感悟、理解負(fù)數(shù)和相應(yīng)的正數(shù)具有對(duì)稱性，它們是一對(duì)數(shù)量（絕對(duì)值）相等、方向（意義）相反的數(shù);通過描點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并借助情境中的事理，滲透正、負(fù)數(shù)加法和減法的直觀運(yùn)算。需要說明的是，上面提到的任務(wù)并非全部要在小學(xué)完成，也并非要求學(xué)生達(dá)到理解和掌握的程度。

眾所周知，無論是日常教學(xué)，還是教學(xué)研究，能聽到不同的聲音，無疑是一個(gè)好的現(xiàn)象，說明實(shí)踐探索和理論研究都沒有停步，都在努力尋求更多的突破。我們只要把握一個(gè)原則即可，那就是作為教育的數(shù)學(xué)和作為科學(xué)的數(shù)學(xué)是有很大區(qū)別的。前者在保證學(xué)科本質(zhì)內(nèi)涵的前提下，首先考慮的是“人”，即必須易于被學(xué)生學(xué)習(xí)和理解，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知方式和思維規(guī)律，能促進(jìn)學(xué)生積極、主動(dòng)地思考，掌握基本的思考方式，感受到思考方式背后的價(jià)值訴求。

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