同構(gòu)法在解題中的應(yīng)用*

福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 楊 丹 黃永生 林志敏

在不等式恒成立(存在性)問題中，很大部分試題是命題者利用預(yù)設(shè)函數(shù)的單調(diào)性命制出來的，解題者如果能通過觀察，變形找到命題者構(gòu)造的函數(shù)模型，那么解題效率將大大提升.本文從同構(gòu)法角度出發(fā)，歸納同構(gòu)函數(shù)的基本類型，總結(jié)解題策略，希望對讀者有所啟迪.

1 同構(gòu)法

將F(x)>0等價(jià)變形為f(g(x))>f(h(x))，構(gòu)造函數(shù)y=f(x).若f(x)單調(diào)遞增，則F(x)>0等價(jià)于g(x)>h(x)；若f(x)單調(diào)遞減，則F(x)>0等價(jià)于g(x)

2 同構(gòu)類型

類型一 地位同等同構(gòu)

含有地位相當(dāng)?shù)膬蓚€變量x1,x2或m,n的不等式，對原不等式整理后得到兩邊具有一致性結(jié)構(gòu)的新不等式.解決此類試題，往往可以從函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)，構(gòu)造新函數(shù).例如：

類型二 指對跨階同構(gòu)

例2 (2019年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)21)已知函數(shù)f(x)=x(e2x-a).(1)略;(2)若f(x)≥1+x+lnx，求a的取值范圍.

評析：解法一根據(jù)指對數(shù)互化，采用局部同構(gòu)思想將復(fù)雜函數(shù)等價(jià)變形為簡單函數(shù)，并利用切線放縮，求最值.當(dāng)然，等號是否能夠取到是切線放縮求最值得關(guān)鍵.解法二先采用換元法，再對t=xe2x兩邊取對數(shù)，返代原式求解，這也是解決一類同時(shí)含有xaebx與lnx函數(shù)問題的重要方法之一.

類型三 無中生有同構(gòu)

例3 若m為正實(shí)數(shù)，存在x∈(0,+∞)，使不等式log2x-m2mx≥0成立，求m的最大值.

評析：對于指數(shù)與對數(shù)混合的不等式(等式)，無論是采用分離參數(shù)還是直接討論求最值，解題難度都比較大.若對已知不等式合理變形，發(fā)現(xiàn)不等式(等式)兩邊結(jié)構(gòu)具有一致性，采用同構(gòu)思想，解題將事半功倍.