化歸思想在一類(lèi)函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 (611130) 王成強(qiáng)

化歸，即將一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)理邏輯等價(jià)的新問(wèn)題的思想與方法的集合.化歸思想與轉(zhuǎn)化技巧是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中必須掌握的本領(lǐng)之一；借助于化歸思想與轉(zhuǎn)化技巧解答數(shù)學(xué)問(wèn)題是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中必須積攢的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).函數(shù)綜合題形式豐富多樣，成功處理此類(lèi)問(wèn)題需要學(xué)生具有很高的轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯思維能力、科學(xué)計(jì)算能力、空間想象能力等.概因于此，“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)[1].借助于轉(zhuǎn)化與化歸解答函數(shù)綜合題，能幫助學(xué)生加深理解待處理的問(wèn)題，加深認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì).本文基于化歸思想，構(gòu)造輔助函數(shù)，將三道涉及證明不等式的函數(shù)綜合題，轉(zhuǎn)化成極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，最后，利用該方向的慣用方法解答新得的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，從而完成對(duì)原問(wèn)題的解答.

1 借助極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的想法處理問(wèn)題1-3

注1 證明問(wèn)題1-3過(guò)程中引入的輔助函數(shù)F(x)都可以替換成F1(x)=f(x)-f′(x0)(x-x1)；

F1(x1)=F3(x1)=f(x1)=F1(x2)=F3(x2)，F(xiàn)2(x1)=F4(x1)=0=F2(x2)=F4(x2)，F(xiàn)5(x1)=(x2-x1)f(x1)=F5(x2)，F(xiàn)6(x1)=F8(x1)=F10(x1)=0=F6(x2)=F8(x2)=F10(x2)，F(xiàn)7(x1)=F9(x1)=f(x2)=F7(x2)=F9(x2)，F(xiàn)11(x1)=(x2-x1)f(x2)=F11(x2).

2 結(jié)束語(yǔ)

問(wèn)題1-3具有函數(shù)綜合題的典型特征，創(chuàng)新性充分，數(shù)學(xué)情境營(yíng)造合理，是各地高三數(shù)學(xué)模擬考試的熱門(mén)問(wèn)題.模擬考試試卷的答案都是借助于化歸思想，將問(wèn)題中的不等式轉(zhuǎn)化成新的不等式，之后，借助于齊次化方法，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，最后采用導(dǎo)數(shù)分析法，斷定函數(shù)的單調(diào)性并完成問(wèn)題的證明.本文提出的方法也是基于化歸思想，但與現(xiàn)存解答不一樣的是，本文是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.這樣處理的優(yōu)點(diǎn)有二：其一，與現(xiàn)存解答相比，本文的計(jì)算更加具有目的性，且計(jì)算量相當(dāng)于或略低于現(xiàn)存證明方法中的計(jì)算量，其二，借助于本文的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，能幫助加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解并認(rèn)清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，能“引誘”學(xué)生嘗試?yán)脴O值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的方法處理問(wèn)題，過(guò)程中不僅累積了解題經(jīng)驗(yàn)，也反過(guò)來(lái)加深了對(duì)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的理解，能幫助學(xué)生將學(xué)過(guò)的知識(shí)“嵌入”更少的知識(shí)模塊中，從而使學(xué)過(guò)的知識(shí)更加系統(tǒng)化.