一道橢圓試題的探究及變式

廣東省中山市東升高級中學(xué) (528414) 姬興瑞

圓錐曲線一直是高中數(shù)學(xué)的主干和核心知識(shí)，特別是涉及圓錐曲線的綜合解答題，由于難度和區(qū)分度較大，運(yùn)算也較復(fù)雜，因而一直是高考的重頭戲.本文通過探究一道與橢圓有關(guān)的定點(diǎn)問題，發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線、拋物線共有的一組優(yōu)美結(jié)果.

一、一題多解、提煉思想

評注：此解法是解析幾何試題中求定點(diǎn)問題的常用方法，用斜率和截距作為參數(shù)來表示直線方程，通過運(yùn)算研究兩個(gè)參量關(guān)系進(jìn)而確定定點(diǎn)坐標(biāo)；解法思路自然，學(xué)生容易想到，但是運(yùn)算量大，對學(xué)生的運(yùn)算能力有較高的要求.

評注：本解法2根據(jù)對稱關(guān)系找到定點(diǎn)的特殊位置，方法較為巧妙，但運(yùn)算量亦較大，對學(xué)生基于圖形的特征判斷要求較高.

評注：本解法利用兩條直線方程的乘積形式來刻畫直線AB的方程，其本質(zhì)是利用曲線系方程解題，可以將兩條直線看做二次曲線的退化，作為曲線的特殊形式，聯(lián)立兩條直線(曲線)與橢圓得到的解就是對應(yīng)交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，從而快速鎖定直線AB的方程，此過程中代數(shù)變形簡單，極大提高了解題效率，但是要求學(xué)生熟悉曲線系方程的應(yīng)用.

評注：解法4將兩條直線的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，使直線的斜率之積的代數(shù)形式變得簡單，再聯(lián)立直線和橢圓方程得到二次齊次問題，最后再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出m,n的等量關(guān)系，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).此法大大簡化運(yùn)算，不失為解析幾何解決定點(diǎn)問題的一個(gè)較好的方法.

二、一題多變，揭示本質(zhì)

一題多解不是追求解題的目標(biāo)，重要的是提煉解決一類問題的通性通法，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)方法與思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提高.

(1)若將斜率之積-1換成任意的實(shí)數(shù)t，是否也有類似的結(jié)論？引導(dǎo)學(xué)生探索可得：

(2)點(diǎn)P(0,1)是橢圓的上頂點(diǎn)，自然聯(lián)想到對于其他三個(gè)頂點(diǎn)的類似問題，通過類比探究可得到：

(3)若將橢圓方程一般化，對本題結(jié)論做拓展研究，可得如下一些一般性的結(jié)論：

(4)若點(diǎn)P為橢圓C上的任一點(diǎn)呢？那么我們是否會(huì)有更一般的結(jié)論呢？

(5)由于橢圓、雙曲線和拋物線都是二次曲線，可以通過類比的方式橫向拓展一些結(jié)論：

以上結(jié)論，從具體數(shù)字到字母，從特殊到一般，從橢圓到雙曲線和拋物線，層層深入，不斷揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成一般結(jié)論.從這一道模擬試題的結(jié)論研究可知：通過對問題變條件、變結(jié)論等方式，可以引導(dǎo)學(xué)生對命題進(jìn)行不同角度、不同層次的探究，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和方法體系，有利于發(fā)展學(xué)生的抽象能力素養(yǎng)，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成是一個(gè)長期的過程，要求我們在平時(shí)有意識(shí)的培養(yǎng)和引導(dǎo)，只要堅(jiān)持下去，學(xué)生的抽象素養(yǎng)能力定會(huì)大幅提升.

三、編題變式，拓展能力

顯然由結(jié)論3可知，直線l過定點(diǎn)Q(6,0)，則P點(diǎn)到直線l的最大距離是PQ，即為4.

題2 已知直線y=kx+m與拋物線y2=2x交于A,B兩點(diǎn)，且直線OA與直線OB的斜率之積為-1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OM⊥AB于點(diǎn)M,求M點(diǎn)的軌跡方程.

由結(jié)論11知直線AB過定點(diǎn)C(2,0)，依題意得M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)C為直徑的圓，從而軌跡方程是(x-1)2+y2=1.

通過編題解題，一方面能加強(qiáng)學(xué)生對基本的解題思想方法的運(yùn)用，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，另一方面培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力.

四、探后反思

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.”而想要學(xué)會(huì)解題，好的數(shù)學(xué)題目是關(guān)鍵.一道好的試題之所以能引起大家的共鳴，不是因?yàn)槠洫?dú)特的解題技巧，而是其中蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想和方法.本文中的試題素材平實(shí)，但求解方法和過程精彩紛呈，妙趣橫生，真可謂是一道平中見奇的好題.在日常教學(xué)中，教師精心選擇這樣極具代表性的一題多解題目作為練習(xí)，通過一題多解、多題一解的訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維能力的提升.正如波利亞說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n教師能拿出一個(gè)有意義的但不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)展問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域”.