兩道橢圓?？荚囶}的拓展探究

浙江省金華第一中學(xué) (321015) 吳賢盛

在近幾年的高考試題和?？荚囶}中，圓錐曲線與圓的綜合問題是倍受命題者的親睞，這類試題可以很好的體現(xiàn)出高考試題在知識交匯處命題的特點(diǎn)，也可以很好的考查考生的綜合思維能力，具有很好的區(qū)分度.本文選取兩道這類試題進(jìn)行賞析，并進(jìn)行推廣探究，以期達(dá)到對學(xué)習(xí)圓錐曲線起到拋磚引玉的作用.

圖1

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖1，設(shè)圓C是圓心在橢圓E上且半徑為r的動圓，過原點(diǎn)O作圓C的兩條切線，分別交橢圓于A,B兩點(diǎn)，是否存在r使得直線OA與直線OB的斜率之積為定值？若存在，求出r的值；若不存在，說明理由.

圖2

(2)如圖2，設(shè)R(x0,y0)是橢圓C上一動點(diǎn)，由原點(diǎn)O向圓(x-x0)2+(y-y0)2=4引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P,Q，若直線OP,OQ的斜率存在，并記為k1,k2，求證：k1k2為定值；

(3)在(2)的條件下，試問|OP|2+|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.

這兩道高三?？荚囶}都是與橢圓有關(guān)的定值的探究型問題，考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，考查了函數(shù)與方程和化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查了考生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力，旨在考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).以上解析中運(yùn)用的破解橢圓定值問題的方法是直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.筆者通過類比和聯(lián)想，推理證明，得出了這兩道試題蘊(yùn)含的圓錐曲線的如下性質(zhì).

羅增儒說：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，恰好錯過了提高的機(jī)會，無異于入寶山而空返.”本例解題沒有停留在題目的解出，而是對這兩道?？荚囶}進(jìn)行推廣探究，得出這兩道試題的背景如上文中結(jié)論1，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，可以打破思維定勢和機(jī)械的思維模式，開闊學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，提高學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生的綜合思維能力和解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).