固化幾何模型 探究變化性質(zhì)
——一道中考幾何題的解析與教學(xué)思考

福建省莆田市教師進(jìn)修學(xué)院 (351100) 林 偉

1試題呈現(xiàn)

圖1

如圖1，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將△ABD延射線BD的方向平移得到△A1B1D1，分別連接A1C,A1D,B1C，求A1C+B1C的最小值.

2試題分析

本題是2019年四川省成都市數(shù)學(xué)中考試題，題目簡潔，以菱形為載體，并菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，分析圖形結(jié)構(gòu)特征，菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，若連結(jié)對(duì)角線AC菱形為兩個(gè)等邊三角形的組合體，則圖形中邊角的大小關(guān)系確立.題目中涉及到平行移動(dòng)的問題，△ABD延射線BD的方向平移，三角形圖像的平移其實(shí)就是其三條邊的平移，在線段的平移中線段的長度不變，線段平行的性質(zhì)不變.欲求A1C+B1C的最小值，分析在線段A1C與B1C中C為定點(diǎn)，A1,B1為動(dòng)點(diǎn)，線段長度和的最小值是典型的幾何中“將軍飲馬”的問題.

3變式鋪墊

題目中涉及了圖形的平移變化和線段和求最小值的“將軍飲馬”的問題，兩部分知識(shí)都是初中幾何教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，為了讓學(xué)生能更好的突破和分解難點(diǎn)，教學(xué)中可采用分解任務(wù)的方法，設(shè)置如下變式加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“將軍飲馬”幾何模型的認(rèn)識(shí).

變式如圖2，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，F(xiàn)為線段BD上任意一點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，求CF+EF的最小值.

圖2

圖3

分析：題目中設(shè)置點(diǎn)C,E為定點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，且C,E在直線BD的同側(cè)，符合“將軍飲馬”問題的模型特征.由菱形的圖像特征可知，對(duì)角線互相垂直平分，所以C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A，則CF=AF.由兩點(diǎn)間線段的距離最短可求CF+EF的最小值.

4解法分析

圖4

評(píng)析：圖像的平移變化中，線段的長度和平行的性質(zhì)保持不變，本題在三角形的平移過程中，A1B1//CD且A1B1=CD，即四邊形A1B1CD為平行四邊形保持不變，所以B1C=A1D.這樣目標(biāo)線段中動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)，從而使得問題轉(zhuǎn)化成動(dòng)點(diǎn)A1到兩定點(diǎn)C,D的距離和最小值的問題，符合“將軍飲馬”的幾何模型.

圖5

評(píng)析：通過平移的變化分析四邊形A1B1CD為平行四邊形，通過平行四邊形的對(duì)角線互相平分及中位線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線EF，把動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)，使得A1C+B1C=2(CF+EF)，其中C,E為定點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上的動(dòng)點(diǎn).

圖6

評(píng)析：解析法的關(guān)鍵思路是用代數(shù)的方法來解決幾何問題.用解析法來研究平面幾何首先是根據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，從而建立點(diǎn)與坐標(biāo)，直線與方程的關(guān)系.本題根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易建系，但建系后涉及到直線的方程的求解，相關(guān)點(diǎn)的設(shè)置，以及雙根號(hào)函數(shù)求最值，對(duì)初中的學(xué)生有一定的難度.本題的解法巧妙的利用數(shù)形結(jié)合的思想，未設(shè)置直線BD的方程，又返回到圖像的幾何意義，并利用配方及兩點(diǎn)間距離公式解釋了雙根號(hào)函數(shù)的幾何意義，從而化解了題目的難點(diǎn).

圖7

評(píng)析：通過解析法的探究，本題也可以先確定B1為射線上的動(dòng)點(diǎn)，通過構(gòu)造平行四邊形A1B1A2C，把題目轉(zhuǎn)化成動(dòng)點(diǎn)B1兩定點(diǎn)C,A2的距離和的最小值.

5教學(xué)反思

幾何模型的教學(xué)是通過歸納同一類有幾何共性的圖形，利用圖形的直觀性固化數(shù)學(xué)解題模型的意識(shí)，從而深化學(xué)生對(duì)這一類幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用.幾何模型的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)，樹立學(xué)生建模意識(shí)的重要途徑.本題的解題分析正是建立在對(duì)“將軍飲馬”幾何模型的理解掌握的基礎(chǔ)上.利用典型的幾何模型來深化一類題型的解題方法，其滲透了數(shù)學(xué)建模的思想，促進(jìn)學(xué)生更好的利用幾何模型來理解數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題.

對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)與變化性質(zhì)的探究，主要包含兩個(gè)方面：一是運(yùn)動(dòng)變化中不變的性質(zhì)，二是運(yùn)動(dòng)變化中變化的規(guī)律.初中的平面幾何教學(xué)中，運(yùn)動(dòng)變化主要包含了：平移，翻折和旋轉(zhuǎn).平移主要是體現(xiàn)平行的性質(zhì)，翻折和旋轉(zhuǎn)主要體現(xiàn)圖形軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì).本題主要是三角形圖形的平移變化，圖形的平移變化保持了線段的長度和平行的性質(zhì)不變，是本題解題的主要突破口.通過證明圖中已有的平行四邊形或構(gòu)造平行四邊形，從而把動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)，使得題目符合“將軍飲馬”的幾何模型.

數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)的一種基本思想，探究平面幾何運(yùn)動(dòng)變化的另一個(gè)重要途徑是解析法.通過平面坐標(biāo)的確立，使得幾何問題代數(shù)化，利用方程的求解，函數(shù)的運(yùn)算來探究幾何的性質(zhì).本題的解法三就是利用解析法，并從解析法的探究中獲得靈感構(gòu)造出新的平行四邊形(解法四).用解析法研究平面幾何是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，充分闡述了華羅庚先生所說的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”的數(shù)學(xué)思想.