探究高考試題 再談解幾知識本質(zhì)
——以2020年北京高考解幾題為例

北京市第八十中學(xué) (100102) 孫世林

2020年是北京市實施新高考的第一年，數(shù)學(xué)試卷實施文理合卷，與去年相比，在試卷結(jié)構(gòu)、分?jǐn)?shù)設(shè)置等方面有較大調(diào)整，解析幾何考題是倒數(shù)第二道大題，這道題綜合性強，對考生能否取得理想成績起到了至關(guān)重要的作用；這道題“入口易、思路寬、深入繁、出口難”，大部分考生看到題的第一感覺似曾相識，感覺有思路，但大部分考生做的不理想，究其原因是對解析幾何知識本質(zhì)理解的不到位，下面借助本題解法的探究，再談解析幾何的知識本質(zhì).

一、試題再現(xiàn)

圖1

(I)求橢圓方程；

二、解法探究

1.回歸知識本質(zhì)，強化代數(shù)運算

解析幾何知識的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，將題目中的幾何量用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式表示，然后對代數(shù)運算的結(jié)論給出幾何解釋，最終得出幾何結(jié)論.可見，在解決解析幾何問題時，代數(shù)運算是必不可少的，要想順利解決解析幾何問題要重視代數(shù)運算，注意必要的運算技巧的運用，我們看解法1.

點評：本題探究直線l運動變化過程中，線段PB,BQ長度的比是定值，解題時我們從運動變化的根源入手，設(shè)出幾何元素直線l的方程，將幾何量線段PB,BQ長度，表示為直線l的斜率k的代數(shù)形式，然后用代數(shù)推理說明兩個代數(shù)式的比值為定值，從而說明線段PB,BQ長度的比是定值，這種解法恰恰體現(xiàn)了解析幾何的知識本質(zhì)，即用代數(shù)的方法研究幾何問題，在這個過程中，代數(shù)運算是必須經(jīng)歷的過程.對于其中比較繁瑣的代數(shù)運算，我們需要探究代數(shù)式的特點，積累常見的運算技巧，提高關(guān)于計算能力.

2.從特例入手明確方向，簡化代數(shù)運算

3.探究幾何特征，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

解析幾何知識本質(zhì)是用代數(shù)的方法探究幾何圖形中蘊含的規(guī)律和性質(zhì)，所以說解析幾何問題首先是幾何問題，既然是幾何問題，我們能否首先從幾何的角度，探究幾何圖形中的幾何量間存在怎樣的幾何關(guān)系，平面幾何相關(guān)知識告訴我們，求線段長度的比可以聯(lián)想到平行線分線段成比例，所以可以構(gòu)造平行線，通過相似比尋求相關(guān)幾何量存在的幾何關(guān)系，我們看解法3

圖2

點評：在解決解析幾何問題過程中，要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉(zhuǎn)換，本解法通過構(gòu)造平行線尋求本題中相關(guān)線段間的幾何特征，接著將這個幾何特征用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式表示，得出代數(shù)結(jié)論，再利用這個代數(shù)結(jié)論求出本題的結(jié)果，此解法突出了平面幾何知識的應(yīng)用，起到了優(yōu)化運算的作用.

三、反思

圓錐曲線是幾何圖形，其中蘊含了一系列的幾何關(guān)系，怎樣才能發(fā)現(xiàn)并證明幾何圖形中的幾何關(guān)系，著名數(shù)學(xué)家笛卡爾引出了“解析法”，其本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何.在解決解析幾何問題時，要借助平面直角坐標(biāo)系，將平面內(nèi)的“點”與“數(shù)對”、直線(或曲線)與方程之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，要深入探究什么樣的代數(shù)形式表示題目中的幾何關(guān)系更恰當(dāng)，接下來通過代數(shù)運算得出代數(shù)結(jié)論，再將代數(shù)結(jié)論回歸成幾何結(jié)論，從而實現(xiàn)對幾何圖形的研究．

在解決解析幾何問題中常存在繁瑣、冗長的代數(shù)運算，考試中許多考生因為不能順利進(jìn)行代數(shù)運算而導(dǎo)致失?。桓咧袛?shù)學(xué)課程中明確提出應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，其中運算求解、數(shù)據(jù)處理能力就是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，考綱中也明確提出了考查學(xué)生的運算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力的具體要求，所以要注意對算法、算理的研究，積累代數(shù)變換的常見方法和必備的計算技巧，同時要深入探究“形”的特征，充分利用定義、形的特征簡化運算，用信心、耐心和韌性解決好解析幾何問題.