應(yīng)用有界度圓填充逼近共形映射

黃寶勤 劉太河

(1、2.安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院，貴州 安順561000)

0 引言

圓填充是在給定邊界內(nèi)對(duì)圓的一種排列，使它們沒有重疊，并且其中一些(或全部)是相切的。文獻(xiàn)[1]應(yīng)用內(nèi)部不相交的六邊形圓填充來(lái)逼近Riemann映射，文獻(xiàn)[2]研究了圓填充及其應(yīng)用，文獻(xiàn)[3]對(duì)內(nèi)部可以重疊的圓的排列所組成的圓模式進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用內(nèi)部不相交的六邊形圓填充來(lái)逼近兩個(gè)單連通區(qū)域之間的共形映射，文獻(xiàn)[5]對(duì)有界度圓填充逼近進(jìn)行了研究。本文將應(yīng)用有界度圓填充(度數(shù)為6)逼近兩個(gè)不同單連通區(qū)域之間給定的共形映射。令Ω是一個(gè)有界單連通區(qū)域，P是幾乎填滿的一個(gè)有界度圓填充。假設(shè)P的所有縫隙都是三角形，則由圓填充理論知，存在幾乎填滿單連通區(qū)域且與P同構(gòu)的一個(gè)有界度圓填充。共形映射f的逼近解可以通過(guò)圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)進(jìn)行構(gòu)造，逼近解在對(duì)有界度圓填充的進(jìn)行適當(dāng)規(guī)范化后收斂于共形映射函數(shù)f:Ω→Ω′，當(dāng)m(P)→0，其中m(P)=max{在P中圓的半徑}。本文分三個(gè)部分：第一節(jié)介紹與有界度圓填充有關(guān)的一些結(jié)論，接下來(lái)一節(jié)構(gòu)造共形映射的逼近解，最后一節(jié)證明這些逼近解收斂于共形映射f:Ω→Ω′，當(dāng)m(P)→0。

1 預(yù)備知識(shí)

在常曲率曲面上的一個(gè)圓填充P稱為是有界度圓填充，如果在P內(nèi)的每個(gè)圓有至多d個(gè)鄰域圓。特別地，如果在P內(nèi)的每個(gè)圓有六個(gè)鄰域圓稱圓填充P為六邊形圓填充。在本文中始終假設(shè)有界度圓填充P的所有縫隙都是三角形，并且對(duì)于任何圓填充P要求m(P)≤ε，其中ε是某個(gè)正常數(shù)。

引理1 令Δ(或Δ′)是由半徑為R1，R2，R3(或r1,r2,r3)的三個(gè)相切圓的圓心組成的三角形，令F是映Δ到Δ′上的一個(gè)線性變換，則存在常數(shù)π/38

應(yīng)用該結(jié)果可得

(|a|+|b|)另一方面由不等式|z1+z2|≤|z1|+|z2|可得

r1+r2=|F(0)-F(R1+R2)|≤(R1+R2)

(|a|+|b|),

r1+r3=|F(0)-F((R1+R3)ω)|≤(R1+R3)(|a|+|b|),

r2+r3=|F(R1+R2)-F((R1+R3)ω)|

≤(R2+R3)(|a|+|b|)

由此得出

(1)

三角形Δ與Δ′的面積分別為[R1R2R3(R1+R2+R3)]1/2與[r1r2r3(r1+r2+r3)]1/2。因此，線性變換F的行列式一定是

|a|2+|b|2=B

(1)式與上式結(jié)合，得

(2)

由(1)式，(2)式可得

(3)

(4)

對(duì)(3)式，(4)式分別應(yīng)用介值定理知，分別存在常數(shù)π/38

成立。從而完成引理證明。

引理2 假設(shè)c是有k個(gè)鄰域圓c1c2，…，ck(k≤d)的半徑為r(c)的圓盤，則

證明 令O與O′分別表示圓盤c與cj(j=1,2,…,k)的中心，并且令∠OjOOj+1=θj。下面將要證明

(5)

不失一般性，考慮圓盤c，c1,c2,令OD表示三角形ΔO1OO2內(nèi)切圓D的中心，并假設(shè)∠OO1OD=α，∠OO2OD=β，則有

從而有

這就完成引理的證明。

2 構(gòu)造共形映射的逼近解

設(shè)T是一個(gè)有界度的三角剖分其承載形是一個(gè)緊致加邊曲面，三角剖分T上的半徑函數(shù)r是定義在T頂點(diǎn)上的一個(gè)正函數(shù)。三角剖分T的內(nèi)部頂點(diǎn)vk的半徑函數(shù)r的曲率定義如下：設(shè)(vk,v1,vm)是與三角剖分T相伴的每個(gè)面的頂點(diǎn)，r(vk),r(v1),r(vm)是由歐氏三角形(vk,v1,vm)的頂點(diǎn)為中心所確定的三個(gè)相切圓的半徑，沿相應(yīng)的邊緣焊接這些三角形可以組成一個(gè)錐流形。對(duì)于所有以vk為頂點(diǎn)的面，設(shè)θ1，θ2，…，θn是對(duì)應(yīng)每個(gè)歐幾里得三角形中以為頂點(diǎn)vk的角。則kr(vr)=2π-(θ1+θ2+…+θn)是半徑函數(shù)r在頂點(diǎn)vk上的曲率。當(dāng)在T的所有內(nèi)部頂點(diǎn)v都滿足Kr(v)=0時(shí)，那么我們就說(shuō)半徑函數(shù)r是平坦的。

對(duì)于單連通的承載形T，則一個(gè)平坦的半徑函數(shù)r確定在剛體運(yùn)動(dòng)下的有界度圓填充浸入是唯一地。復(fù)平面C內(nèi)的有界度圓填充浸入，如果所有圓盤的內(nèi)部都不相交，就稱為一個(gè)有界度圓填充嵌入。

對(duì)于q1≥1，定義σn(q1)是最小的實(shí)數(shù)使得

對(duì)于所有的有界度圓填充浸入P成立，并滿足

對(duì)于q2≥1，定義σn(q2)是最小的實(shí)數(shù)使得

對(duì)于所有的有界度圓填充浸入P′成立，并滿足

有下面的結(jié)論

引理3 對(duì)于固定常數(shù)q1≥1，q2≥1，當(dāng)時(shí)n→∞時(shí)，σn(q1)→0，σn(q2)→0。

由引理3知，對(duì)于

有下式

成立，并且當(dāng)n→∞時(shí)，σn(q)→0。

令Ω是一個(gè)有界且包含固定點(diǎn)ω1，ω2的單連通區(qū)域。在?Ω上給定的正連續(xù)函數(shù)ρ，有界度圓填充的一個(gè)序列構(gòu)造方法如下：假設(shè)平面內(nèi)有界度圓填充P的最大圓半徑為ε(ε為大于零的充分小常數(shù))，以最接近ω1的圓c0作為起點(diǎn)，由P的圓組成的鏈，且每條鏈內(nèi)的所有圓的鄰域圓都在Ω的內(nèi)部。出現(xiàn)在這樣的鏈內(nèi)的所有圓組成并且每個(gè)圓至少是這些圓中一個(gè)圓鄰域的集合記為Cε。令平面區(qū)域三角剖分Tε是由連接Cε內(nèi)所有相切圓的中心而得到的。

在Tε的邊界頂點(diǎn)上定義與ρ相伴的函數(shù)β方法如下：假設(shè)ξ是?Ω上最接近υ的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)υ是Τε的邊界頂點(diǎn)時(shí)，定義β(υ)=ερ(ξv)。因?yàn)棣甘菃芜B通，由文獻(xiàn)[4]的定理1知，單連通區(qū)域的Ω一個(gè)有界度圓填充P′確定一個(gè)平坦半徑函數(shù)。對(duì)于Tε內(nèi)最接近ω1,ω2，的頂點(diǎn)v1，v2，對(duì)P′進(jìn)行滿足P′(v1)中心在原點(diǎn)、P′(v2)的中心在正實(shí)軸上的規(guī)范化。假設(shè)相伴的半徑函數(shù)為rε。

其中π/38

證明 由引理1知下列兩式成立，

(6)

(7)

其中常數(shù)π/38

當(dāng)n→∞時(shí)，σn(q)→0。從而方程(6)，(7)可簡(jiǎn)化為

故引理成立。

3 收斂性

令Ω是一個(gè)有界，包含固定點(diǎn)ω1，ω2的單連通區(qū)域。假設(shè)f:Ω→Ω′是滿足f(ω1)=0，f(ω2)>0的共形映射，使得|f′|可連續(xù)地?cái)U(kuò)充到Ω的邊界上并且在?Ω上與ρ一致。

(8)

成立。

通過(guò)規(guī)范化使ω1及ω2分別趨近于0和正實(shí)軸就證明了H=f。故定理成立。

4 結(jié)論

本文證明了對(duì)于一個(gè)有界單連通區(qū)域Ω內(nèi)半徑不相等的有界度圓填充(度數(shù)為d≥6)，存在幾乎充滿單連通區(qū)域Ω′一個(gè)同構(gòu)的有界度圓填充，可以構(gòu)造共形映射f的逼近解，經(jīng)過(guò)有界度圓填充的適當(dāng)規(guī)范化，逼近解收斂于共形映射函數(shù)f:Ω→Ω′，當(dāng)m(P)→0，其中m(P)=max{在P中圓的半徑}。