一種彎曲主導(dǎo)型熱膨脹點(diǎn)陣超材料的帶隙特性研究

劉成龍,許衛(wèi)鍇,呂樹(shù)辰,祁武超

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)，遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136)

0 引 言

聲子晶體(phononic crystal, PnCs)[1-3]是一種具有周期結(jié)構(gòu)的人工材料，由于其所具有的特殊色散特性，能對(duì)帶隙頻率范圍內(nèi)的聲波/彈性波產(chǎn)生抑制或調(diào)控作用，從而在波導(dǎo)、頻率濾波器、聲學(xué)隱身和振動(dòng)控制裝置等實(shí)際裝置的設(shè)計(jì)中具有潛在的應(yīng)用前景[4-8]。聲子晶體帶隙產(chǎn)生方式有Bragg散射機(jī)理[9]和局域共振機(jī)理[10]兩種，無(wú)論哪種機(jī)理基本都是通過(guò)合理的構(gòu)建周期性微結(jié)構(gòu)以實(shí)現(xiàn)其帶隙特性。相比于自然材料，人工超材料能夠通過(guò)合理的微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以滿(mǎn)足不同的設(shè)計(jì)需求[11-12]，因此成為各個(gè)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。

當(dāng)前科技的發(fā)展對(duì)材料的設(shè)計(jì)提出了更嚴(yán)苛的要求。對(duì)于帶隙材料來(lái)說(shuō)，主要體現(xiàn)在帶隙的可調(diào)諧性和多功能性。一方面，當(dāng)聲子晶體的微結(jié)構(gòu)確定后，其帶隙頻率也隨之確定，無(wú)法適應(yīng)振動(dòng)環(huán)境的改變。目前的研究主要集中于通過(guò)外加電、磁、熱等物理場(chǎng)使材料的參數(shù)或形狀發(fā)生改變以實(shí)現(xiàn)帶隙性能的調(diào)控[13]。另一方面，材料的工作環(huán)境往往存在光、電、磁、熱、力等多場(chǎng)耦合的情況，因此對(duì)材料的不同屬性提出了新的要求。例如，聲光子晶體(Phoxonic crystal, PxC)可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)聲帶隙和光帶隙[14]。

在航空航天等領(lǐng)域中，結(jié)構(gòu)與材料在服役過(guò)程中往往需要應(yīng)對(duì)多種物理場(chǎng)的耦合作用，如微電機(jī)系統(tǒng)、高超聲速熱防護(hù)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)與材料既需要應(yīng)對(duì)溫度的變化，又需要在一定程度上應(yīng)對(duì)振動(dòng)和噪聲的挑戰(zhàn)。因此，在設(shè)計(jì)具有特定熱膨脹功能的結(jié)構(gòu)時(shí)，考慮其是否具有帶隙特性逐漸成為一個(gè)重要的科學(xué)問(wèn)題。目前對(duì)特定熱膨脹系數(shù)材料的實(shí)現(xiàn)已經(jīng)得到了廣泛的關(guān)注[15-17]。考慮到實(shí)際工程承載需求，Lehman和Lakes等采用三角形超材料單胞(Lehman-Lakes單胞)實(shí)現(xiàn)高剛度的設(shè)計(jì)[15,17-18]。然而，Lehman-Lakes單胞的連接方式為鉸接，不易制備，Zhang等[19-20]將其改進(jìn)為固定連接(JTCLM單胞)并通過(guò)合理的材料/尺寸設(shè)計(jì)提高了結(jié)構(gòu)的剛度特性。王炳達(dá)等[21]進(jìn)一步揭示了JTCLM單胞的許用溫變?cè)O(shè)計(jì)。

迄今為止，研究人員在熱膨脹材料的設(shè)計(jì)領(lǐng)域取得了豐碩的成果，但仍缺乏對(duì)熱膨脹材料的帶隙分析研究?？梢钥闯?，不論是Lehman-Lakes單胞還是JTCLM單胞，其拓?fù)錁?gòu)型都與三角形蜂窩材料類(lèi)似，即有可能會(huì)存在帶隙特性。另一方面，單胞參數(shù)的改變將有可能會(huì)改變帶隙的頻率范圍。因此，對(duì)考慮熱膨脹系數(shù)設(shè)計(jì)的JTCLM單胞進(jìn)行帶隙研究，并討論相關(guān)尺寸對(duì)膨脹系數(shù)的變化和帶隙的影響成為必須要考慮的關(guān)鍵問(wèn)題。

本文通過(guò)有限元方法分析了JTCLM單胞的帶隙特性，并討論了單胞的可設(shè)計(jì)幾何參數(shù)對(duì)能帶的影響。研究表明，肋條的彎曲是JTCLM單胞產(chǎn)生帶隙的重要因素，通過(guò)調(diào)整單胞的幾何參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)陣材料的帶隙特征調(diào)控。

1 模型與方法

1.1 JTCLM單胞拓?fù)錁?gòu)型

本文選取文獻(xiàn)[19]中的JTCLM單胞作為研究對(duì)象，如圖1所示。其中材料1是因瓦，一種低熱膨脹系數(shù)的合金材料；材料2是鋼，一種熱膨脹系數(shù)較高的材料。其參數(shù)如表1所示。其中L=50 mm，L0=30 mm；θ和r分別為彎曲角度和彎曲半徑，代表了肋條雙材料部分的彎曲程度。

表1 復(fù)合材料中組分材料的參數(shù)

1.2 能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算

彈性波在線彈性、各向同性的無(wú)源介質(zhì)中的控制方程為[22]

ρ(r)-1{▽[μ(r)▽×u(r)]-▽[(λ(r)+2μ(r))(▽·u(r))]}=ω2u(r)

(1)

式中：ω為角頻率；r(x,y,z)為位移矢量；u(r)為位移向量；▽=(?/?x,?/?y,?/?z)為微分算子；λ(r)和μ(r)分別為介質(zhì)的拉梅常數(shù)；ρ(r)為介質(zhì)密度。這三個(gè)材料參數(shù)和周期結(jié)構(gòu)具有相同的周期性。

根據(jù)布洛赫定理，有

(2)

式中：k=(kx,ky)為第一布里淵區(qū)內(nèi)的波矢；G為正格矢任一倒格矢。由于平移周期性，一個(gè)晶胞的空間內(nèi)場(chǎng)分布與整個(gè)晶格結(jié)構(gòu)的周期性是相同的。在晶體學(xué)中，倒格點(diǎn)陣中從某一格點(diǎn)出發(fā),做與相鄰格點(diǎn)的垂直平分面,所圍成的空間就是第一布里淵區(qū)，將第一布里淵區(qū)對(duì)稱(chēng)后得到的區(qū)域稱(chēng)為不可約布里淵區(qū)。對(duì)于由JTCLM單胞組成的點(diǎn)陣超材料，其Wigner-Seitz原胞可取為圖2(a)所示六邊形，其不可約布里淵區(qū)如圖2(b)陰影部分所示。對(duì)于帶隙分析，只需要使波矢k歷遍不可約布里淵區(qū)的邊界，即可得到該聲子晶體的帶隙。

2 結(jié)果與討論

對(duì)于圖1所示的JTCLM單胞，其等效熱膨脹系數(shù)可由q，m，n，α1、α2，θ六個(gè)參數(shù)確定。一旦材料被選定后，則熱膨脹系數(shù)α1、α2，模量比n也將確定，此時(shí)單胞的帶隙特性主要受其形狀影響。因此，本文將重點(diǎn)討論幾何參數(shù)對(duì)JTCLM單胞帶隙的影響。由于JTCLM單胞組成的熱膨脹點(diǎn)陣材料只在x-y平面內(nèi)體現(xiàn)零膨脹特性，因此本文只考慮二維帶隙即x-y平面內(nèi)帶隙。

2.1 彎曲曲率的影響

JTCLM單胞的彎曲部分是圓弧。當(dāng)彎曲曲率不同時(shí)，其曲率半徑和圓心位置也將改變，不易對(duì)雙材料彎曲部分進(jìn)行直觀表述和操作。因此可沿肋條方向定義起點(diǎn)M，終點(diǎn)N。點(diǎn)Q是曲線過(guò)兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)，將其稱(chēng)為控制點(diǎn)。利用點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的變化可以更加直觀的表述θ的變化，如圖3所示。由幾何關(guān)系可知

(3)

可以看出，y的值越大，彎曲角度θ也越大。

圖4顯示了點(diǎn)Q縱坐標(biāo)y=12 mm，m=1，q=0.6時(shí)的前16階帶隙圖?？梢钥闯?，在5.35～7.74 kHz、10.42～14.39 kHz和17.93～20.96 kHz出現(xiàn)了3條較寬的帶隙。為了進(jìn)一步描述不同的彎曲曲率對(duì)帶隙的影響，通過(guò)計(jì)算不同點(diǎn)縱坐標(biāo)的帶隙進(jìn)行規(guī)律對(duì)比。對(duì)比圖如圖5所示。

由圖5可以看出，y=0 mm時(shí)，與常規(guī)的三角點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)一樣，并未出現(xiàn)完全帶隙[23]。此時(shí)肋條部分可以等效為一直桿。當(dāng)肋條開(kāi)始變彎后，意味著結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性降低，更易于產(chǎn)生帶隙[24]，因此在1.8 kHz、3.5 kHz、7.2 kHz、13.6 kHz、21 kHz附近開(kāi)始出現(xiàn)帶隙，但帶寬較窄。隨著點(diǎn)Q縱坐標(biāo)y的增加，6～10 kHz頻段內(nèi)的帶隙寬度先變寬，在5 mm處達(dá)到最大寬度，隨后帶隙寬度變窄，帶隙頻率范圍整體有下降的趨勢(shì)；當(dāng)y增大到7 mm后，10～14 kHz頻段和21 kHz頻率附近的帶隙寬度明顯變寬，且?guī)额l率范圍整體有下降的趨勢(shì)，尤其是帶隙的下限下降明顯。3.5 kHz以下的帶隙頻率范圍沒(méi)有明顯變化。這是由于q保持不變時(shí)，彎曲程度的改變相當(dāng)于振子(彎曲部分)等效質(zhì)量的改變，y值越大，振子的等效質(zhì)量就越大，從而出現(xiàn)禁帶頻域整體下移的趨勢(shì)。

2.2 厚度比的影響

圖6顯示了y=12 mm且q=0.6時(shí)帶隙結(jié)構(gòu)隨厚度比的變化規(guī)律。由于m表示的是兩種材料的厚度比，為了更好的描述材料在整體厚度的占比，用無(wú)量綱參數(shù)m/(m+1)表示厚度比值的變化。這里分別計(jì)算了厚度比從0.2到0.9的帶隙情況?？梢钥闯?，隨著厚度比的增大，帶隙頻段出現(xiàn)了整體上移的趨勢(shì)。這是由于m/(m+1)代表的是材料1的厚度占比，其值越大表示結(jié)構(gòu)的剛度越大而振子(材料2)質(zhì)量越小，因此出現(xiàn)禁帶頻域單邊上升的趨勢(shì)。

2.3 長(zhǎng)度比的影響

圖7顯示了固定y=12 mm且m=1時(shí)帶隙結(jié)構(gòu)隨q值的變化情況。嚴(yán)格地講，q值的變化所引起的單胞構(gòu)型差異化相較前兩節(jié)的曲率或厚度要大得多。當(dāng)L0改變時(shí)，雙層材料部分的彎曲程度也會(huì)受到影響，因此，更復(fù)雜的單胞構(gòu)型差別使得它們的帶隙特征沒(méi)有出現(xiàn)明顯規(guī)律，如圖7所示。根據(jù)Zhang等[19-20]的研究，考慮結(jié)構(gòu)的剛度設(shè)計(jì)時(shí)q不應(yīng)過(guò)小，因此在進(jìn)行材料設(shè)計(jì)時(shí)q的取值范圍為0.6～0.9。

3 結(jié) 論

JTCLM單胞點(diǎn)陣復(fù)合材料在滿(mǎn)足特定熱膨脹系數(shù)設(shè)計(jì)的同時(shí)，也具有聲子晶體的帶隙特性。本文對(duì)該單胞的帶隙特性進(jìn)行了研究，討論了不同幾何參數(shù)對(duì)帶隙特征的影響，并得到以下結(jié)論。

(1) JTCLM單胞點(diǎn)陣復(fù)合材料屬于彎曲主導(dǎo)型的熱膨脹材料，當(dāng)肋條存在彎曲曲率時(shí)會(huì)產(chǎn)生帶隙，且?guī)短匦允苄螤钣绊戄^大。

(2)針對(duì)不同曲率、不同厚度比和不同長(zhǎng)度比的單胞帶隙分析，給出帶隙隨幾何參數(shù)改變的分布規(guī)律圖，為實(shí)現(xiàn)熱膨脹/帶隙雙目標(biāo)的超材料設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

(3)通過(guò)合理的選材和形狀設(shè)計(jì)，有望實(shí)現(xiàn)特定膨脹性質(zhì)和帶隙設(shè)計(jì)的雙目標(biāo)共贏，使材料具有更好的可調(diào)諧性和多功能性。