由一道拋物線最值問題引起的探究與思考

安徽 洪汪寶

本題是筆者所在學校2020屆高三第一次模擬考試的第16題，處于填空題壓軸的位置，是一道典型的最值問題.主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積、點到直線的距離公式等多個知識點，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等多種數(shù)學思想方法.要求學生具備扎實的運算求解能力以及分析問題和解決問題的能力.

本題滿分5分，但筆者所在班級(理科班)的均分只有1.56分，難度系數(shù)為0.312，與預期有差距.因為本題題干簡潔，題意清楚，目標明確，起點比較低，大部分學生都可以動筆計算，但深入較難，對學生的能力要求逐漸提升，在試題分析過程中，不少學生也反映沒有發(fā)現(xiàn)直線AB過定點導致計算進行不下去.下面給出本題的求解過程，對其解法進行探究，并在此基礎(chǔ)上將問題一般化，進行拓展探究，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中一系列的結(jié)論.

1.解法探究

1.1先證直線AB過定點

讀完題，弄清題意，聯(lián)想到一道課本中的習題：

由人民教育出版社出版的A版高中數(shù)學教科書選修2-1第73頁習題2.4A組第6題(圖略)：直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點，求證：OA⊥OB.

本題的逆命題可表達為：不過原點O的直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點，若OA⊥OB，則直線l過定點(2,0).經(jīng)過驗證該命題也是真命題，在此基礎(chǔ)上，還可以得到一般的結(jié)論：

結(jié)論1：直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)交于異于原點O的兩點A,B，OA⊥OB?直線l過定點(2p,0).

如果知道上述結(jié)論，我們必然想到本題中的直線AB是否過定點呢？下面完成其推導過程.

根據(jù)條件可設(shè)AB:x=my+n，A(x1,y1),B(x2,y2)，

(y1+1)(y2+1)[(y1-1)(y2-1)+1]=0，

因為(y1+1)(y2+1)≠0，則(y1-1)(y2-1)+1=0，

展開整理得y1y2-(y1+y2)+2=0.(*)

1.2求點到直線距離的最大值

兩邊平方，并整理得到關(guān)于m的方程(d2-4)m2+4m+d2-1=0，方程有實根.

當d>0且d≠2時，其判別式Δ=16-4(d2-4)(d2-1)≥0，

解法3：同解法2

點評：解決平面解析幾何的最值問題通常有兩種策略：一種利用幾何性質(zhì)，另一種利用代數(shù)方法.解法1直接利用幾何性質(zhì)，簡單快捷；解法2、解法3與解法4都是先利用點到直線的距離公式求出距離的函數(shù)表達式，在此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.解法2利用了判別式，解法3利用了均值不等式，解法4利用了柯西不等式.相比較而言，本題利用幾何性質(zhì)求最值效果更好.

2.結(jié)論探究

由上面的求解過程，特別是求證直線過定點的過程，將問題一般化，于是得到下面的結(jié)論：

結(jié)論2：已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點M(x0,y0)，直線l與拋物線C交于異于點M的兩點A,B，若MA⊥MB，則直線l過定點(x0+2p,-y0).

證明：設(shè)AB:x=my+n，A(x1,y1),B(x2,y2)，

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)

因為(y1-y0)(y2-y0)≠0，則(y1+y0)(y2+y0)+4p2=0，

根據(jù)韋達定理得y1+y2=2pm,y1y2=-2pn，代入(1)，得my0-n+x0+2p=0，

所以直線AB過定點P(x0+2p,-y0).

那么其逆命題成立嗎？很容易得到以下結(jié)論：

結(jié)論3：已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點M(x0,y0)，過定點(x0+2p,-y0)的直線l與拋物線C交于異于點M的兩點A,B，則MA⊥MB.

拋物線有這種性質(zhì)，那么橢圓呢？先從特殊情況出發(fā)，得到：

將點M的位置一般化，于是得到：

不妨設(shè)直線l:y=kx+m，A(x1,y1),B(x2,y2)，

展開整理得(k2+1)x1x2+(km-kt-s)(x1+x2)+m2+s2+t2-2mt=0，

將(2)代入上式，

得(k2+1)(a2m2-a2b2)+(km-kt-s)(-2a2km)+(m2+s2+t2-2mt)(a2k2+b2)=0，

展開整理得(a2-b2)s2k2+2a2skm+(a2+b2)m2-2b2tm+(b2-a2)t2=0，

對其因式分解得(sk+m-t)[(a2-b2)sk+(a2+b2)m+(a2-b2)t]=0，

因為直線l不過定點(s,t)，則sk+m-t≠0，

于是(a2-b2)sk+(a2+b2)m+(a2-b2)t=0，

研究完橢圓，雙曲線是否有類似的性質(zhì)呢？于是得到：

不妨設(shè)直線l:y=kx+m，A(x1,y1),B(x2,y2)，

將(3)代入上式，

得(k2+1)(-a2m2-a2b2)+2a2km(km-kt-s)+(m2+s2+t2-2mt)(b2-a2k2)=0，

展開整理得(a2+b2)s2k2+2a2skm+(a2-b2)m2+2b2tm-(b2+a2)t2=0，對其因式分解得(sk+m-t)[(a2+b2)sk+(a2-b2)m+(a2+b2)t]=0，

因直線l不過定點(s,t)，則sk+m-t≠0，

于是(a2+b2)sk+(a2-b2)m+(a2+b2)t=0，

3.教學反思

高三學生的復習時間緊、任務重、壓力大，如何提高每節(jié)課的復習效率是每一位高三教師必須面臨和思考的問題，筆者認為要努力做到以下幾點：

3.1重視教材中的例題、習題

高考命題立足于教材，不少試題直接來源于教材中的例題和習題，但不少師生并不重視教材的再利用，把教材丟到一邊，都是以復習用書為主，先簡單回顧知識點，接著就是講解試題和練習.長此以往，學生必然對復習失去新鮮感，導致復習效率不高.高三的復習過程中，教材中的典型例題、習題，實際上就是“題根”，教師要充分挖掘其隱含的應用價值，引導學生回歸教材，讓學生體會到“書中自有黃金屋”.

3.2引導學生學會制定解決問題的路線圖

本題的求解主要分兩步，先根據(jù)數(shù)量積為0得到直線過定點的結(jié)論，再利用幾何法或代數(shù)法求距離的最大值.其中第一步求得直線過定點是關(guān)鍵，在求解過程中注意聯(lián)想特殊情況，即結(jié)論1，再進行類比，將數(shù)量積坐標化，得到直線過定點的結(jié)論.所以在遇見復雜問題時，要引導學生學會將其轉(zhuǎn)化為簡單問題，制定解決問題的路線圖.從簡單問題出發(fā)，相當于從“低處”著手，從“易處”著手，從“小處”著手，這樣一來，試題起點就比較低，難度就不大，考查的知識點也較少，學生就能解決，讓學生體會到成功的愉悅，增加學習的信心.教師在此基礎(chǔ)上再開展變式教學，一題多變，一題多解，多題一解，引深引難，立意越來越高遠，試題難度逐漸加大，所運用的知識點和思想方法越來越多，題型越來越豐富，于“潤物無聲”中提高學生的思維能力，提升學生的核心素養(yǎng)，真正提高高三復習課的效率.

3.3試卷講評要有針對性