體會(huì)變化過程 培養(yǎng)直觀想象

甘肅 張建文

直觀想象素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一,而空間圖形是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的主要素材.直觀想象包括圖形的構(gòu)建與分解,還包括利用圖形進(jìn)行的相關(guān)推理與運(yùn)算.本文依托不同的圖形情境,重點(diǎn)舉例說明空間圖形中的變化問題、函數(shù)問題、軌跡問題、截面問題以及最值問題等.依托空間圖形進(jìn)行學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)重在以問導(dǎo)學(xué)、以題引路,使得學(xué)生在感受圖形變化的同時(shí),學(xué)會(huì)反思總結(jié).下面筆者就依托空間圖形訓(xùn)練學(xué)生直觀想象，并進(jìn)行實(shí)例簡(jiǎn)述.

1.折疊中的變化問題

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分析:此題是訓(xùn)練或考查學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的良好素材,包含圖形的動(dòng)態(tài)變化過程,涉及變量的有效選擇,不等式的構(gòu)造.解答的關(guān)鍵在于控制變量單獨(dú)分析.

問題1.體會(huì)翻折過程，我們?cè)趺磳在AB上的位置轉(zhuǎn)化為角度？(設(shè)∠BCD=α)

問題2.在B′C變化的過程中，異面直線B′C與AD的夾角如何用圖形直觀表示？

問題3.異面直線B′C與AD的夾角是如何刻畫的？

問題4.在翻折過程中θ和∠B′CE是連續(xù)變化的嗎？

問題5.可以明確說明θ和∠B′CE的變化關(guān)系嗎？

問題7.那臨界狀態(tài)是什么？

問題8.通過此練習(xí)題你有什么收獲？(旨在促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行反思)

學(xué)生總結(jié)：①要體會(huì)圖形的折疊過程，從中發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口；

②要理解變與不變的辯證關(guān)系，變化中有不變，不變中有變化；

啟示：以問題促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，可以引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)思維基點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)，在學(xué)生會(huì)與不會(huì)處設(shè)置引導(dǎo)性問題，助力學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，獲得思維經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)辯證思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.變動(dòng)中的函數(shù)問題

例2.如圖為正方體ABCD-A1B1C1D1，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B1出發(fā)，在正方體表面沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周后,再次回到B1的運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)M與平面A1DC1的距離保持不變,運(yùn)動(dòng)的路程x與l=MA1+MC1+MD之間滿足函數(shù)關(guān)系式l=f(x),則此函數(shù)圖象大致是

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分析：體會(huì)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程，確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡,從中直觀感受點(diǎn)M與三點(diǎn)A1,D,C1的距離變化,體會(huì)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)變化過程中的變化與不變.

師生互動(dòng)過程：在引導(dǎo)學(xué)生確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡后,找準(zhǔn)學(xué)生的思維障礙點(diǎn),以問題為索引引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行量化分析,掌握通性通法,特別是選擇題的解答方法,最后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)和總結(jié),達(dá)到觸類旁通的效果.

問題1.如何理解題目中的“點(diǎn)M與平面A1DC1的距離保持不變”？

問題2.體會(huì)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程,能畫出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡嗎？

學(xué)生操作：以線面平行的判定定理為依據(jù),在平面ABB1A1內(nèi),過B1有B1A∥平面A1DC1，

同理可得AC∥平面A1DC1,CB1∥平面A1DC1,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是△B1AC的三邊.

問題3.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)是1,根據(jù)題型來看,要構(gòu)造函數(shù)還是取特殊點(diǎn)分析比較好.

學(xué)生思考：取特殊點(diǎn)分析驗(yàn)證,排除不合理選項(xiàng).

問題4.取哪些特殊點(diǎn)進(jìn)行？

問題5.通過此題的解答你有什么收獲？

學(xué)生總結(jié)：①選擇題的解答應(yīng)該是小題巧做,不要小題大做;

②此題的“題眼”是動(dòng)點(diǎn)的軌跡，解題方法是排除法；

③在變化中構(gòu)造函數(shù)關(guān)系,體會(huì)變化與不變的辯證關(guān)系.

啟示：課堂上的解題教學(xué)要以問題背景為情境，通過恰到好處的問題引導(dǎo)使得學(xué)生思維能夠經(jīng)歷整個(gè)分析過程，體會(huì)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，直觀感受變動(dòng)過程中的各種數(shù)量關(guān)系，為問題的有效解決提供方向．這使得學(xué)生能抓住問題的本質(zhì)，進(jìn)而產(chǎn)生“頓悟”.

3.空間軌跡判斷:轉(zhuǎn)化與化歸

例3.已知異面直線a,b的夾角是60°,其公垂線段為EF,|EF|=2,長(zhǎng)為4的線段AB的兩端分別在直線a,b上運(yùn)動(dòng),則AB中點(diǎn)的軌跡為

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A.橢圓 B.雙曲線

C.圓 D.以上都不是

分析：此題屬于立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡判斷問題,關(guān)鍵要合理作圖,在圖形中觀察出線段之間的數(shù)量關(guān)系,將空間動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)問題,建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解決問題.

師生互動(dòng)過程：在通讀題目的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生在腦海中想象線段AB的運(yùn)動(dòng)過程,體會(huì)AB中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程,大致確定動(dòng)點(diǎn)P所在的平面.之后引導(dǎo)學(xué)生畫出簡(jiǎn)圖,將問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題,最后通過定義確定曲線或選擇方程確定曲線解決問題．

問題1.你能直觀感受到AB中點(diǎn)P的軌跡嗎?

學(xué)生思考:在腦海中感受圖形的運(yùn)動(dòng)過程.

問題2.你可以畫出簡(jiǎn)圖進(jìn)行量化分析嗎？

學(xué)生操作：設(shè)EF的中點(diǎn)為O，過O作EF的垂面α，

可知AB中點(diǎn)P必在面α上，同時(shí)設(shè)M,N為A,B在平面α內(nèi)的射影點(diǎn).

問題3.原問題可以進(jìn)行怎樣轉(zhuǎn)化？

學(xué)生操作:可以將問題轉(zhuǎn)化為“已知在平面α內(nèi),兩直線之間的夾角是60°,且相交于點(diǎn)O,M,N是兩直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),判斷M,N中點(diǎn)P的軌跡.”

問題4.通常情況下,我們是怎么判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題的？

學(xué)生思考：根據(jù)定義或是借助方程.

問題5.若是借助方程,該怎么求解點(diǎn)P的軌跡方程？

學(xué)生操作：在平面α內(nèi)建立坐標(biāo)系,求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

問題6.怎么建系比較好？為什么？

學(xué)生操作：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),∠MON的角平分線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.這樣建系可以得到標(biāo)準(zhǔn)方程,便于判斷軌跡.

問題7.如何建立點(diǎn)P的坐標(biāo)與MN之間的關(guān)系？

學(xué)生操作：設(shè)OM=m,ON=n,由余弦定理可知,MN2=12=m2+n2-2mncos60°,

即m2+n2-mn=12(*),

問題8.你從中有什么收獲？

學(xué)生總結(jié)：①空間軌跡問題通常要轉(zhuǎn)化到某個(gè)平面內(nèi)研究；

②軌跡判斷問題通常可以通過先求曲線方程再判斷軌跡.

啟示：轉(zhuǎn)化與化歸思想也是立體幾何常用到的思想,就是要將空間內(nèi)比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)分析研究.我們研究習(xí)題不光是為了掌握知識(shí)的應(yīng)用，更是為了鍛煉思維，提高分析問題和解決問題的能力，形成數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.空間幾何體的截面問題

例4.已知正方體的體積為1,點(diǎn)M在線段BC上(點(diǎn)M異于B,C兩點(diǎn)),點(diǎn)N為線段CC1的中點(diǎn),若平面AMN截正方體ABCD-A′B′C′D′所得的截面為四邊形,則線段BM的取值范圍為

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分析：此題屬于動(dòng)態(tài)變化中的截面問題,通過點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，直觀想象截面的動(dòng)態(tài)圖形并判斷其形狀.解答的關(guān)鍵在于合理借助圖形進(jìn)行準(zhǔn)確作圖,找準(zhǔn)圖形變化的臨界狀態(tài),抓主抓重.

師生互動(dòng)過程：教師首先要營(yíng)造思維環(huán)境,引導(dǎo)學(xué)生在腦海中直觀感受圖形的變化過程,其次要作圖分析,增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力,找準(zhǔn)截面是四邊形與五邊形的臨界狀態(tài).最后，再次清晰經(jīng)歷圖形的動(dòng)態(tài)變化過程,確定動(dòng)點(diǎn)M的范圍.

問題1.可以作出簡(jiǎn)圖,感受動(dòng)點(diǎn)M的變化過程嗎？

學(xué)生操作：根據(jù)題意作簡(jiǎn)圖,并讓點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng),直觀想象截面圖形.

問題2.可以取特殊點(diǎn)作出四邊形截面或五邊形截面嗎？

學(xué)生操作：取靠近B的點(diǎn)M可以得到截面是四邊形,取靠近C的點(diǎn)M可以得到截面是五邊形.

問題3.截面圖形的對(duì)邊之間有什么關(guān)系？對(duì)你有什么啟示？

學(xué)生觀察思考：兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行,如四邊形中MN∥AP,五邊形中MN∥AH,AM∥HQ.由此可知只要作出對(duì)應(yīng)的邊，找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就可以確定截面圖形的形狀.

問題4.四邊形與五邊形的臨界狀態(tài)是怎樣的？

問題5.你從中有什么收獲？

學(xué)生總結(jié)：①截面問題的關(guān)鍵是要確定截面圖形的邊和頂點(diǎn);

②思路上的突破要通過取特殊點(diǎn)進(jìn)行觀察比較；

③體會(huì)圖形變化過程,學(xué)會(huì)將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題.

5.空間最值問題

例5.(2017·全國(guó)卷Ⅰ理·16)如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.

分析：先體會(huì)圓形紙片上剪出來的三棱錐的大小變化過程,大小是由三角形ABC的邊長(zhǎng)來控制,同時(shí)要確定邊長(zhǎng)為何值時(shí)構(gòu)造的三棱錐的體積最大.要通過觀察或構(gòu)造函數(shù)來確定三棱錐的最大體積.

師生互動(dòng)過程：首先教師引導(dǎo)學(xué)生感受圖形的變化過程,在腦海中構(gòu)造三棱錐,并使得三棱錐的大小隨著三角形ABC的邊長(zhǎng)變化而變化;其次嘗試探尋求解三棱錐體積最大的方法(構(gòu)造函數(shù));最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行解答.

問題1.你能直觀想象三棱錐的形成過程嗎？

學(xué)生思考：形成的三棱錐是正三棱錐(底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等),其圖形變化始終保持以下三點(diǎn)：①必須是圓形紙板裁剪出來的;②圓心O是三角形ABC的中心;③延伸出來的三角形是等腰三角形.

問題2.三棱錐的體積怎么確定？

問題3.通常通過什么方法來確定一個(gè)量的最值？三棱錐的最大體積怎么確定？

學(xué)生操作：通常情況下確定一個(gè)量最值的方法有觀察法和構(gòu)造函數(shù)法.由于三棱錐底面積和高都在變化,通過觀察來確定三棱錐的體積最大值行不通,所以只能通過構(gòu)造函數(shù)來實(shí)現(xiàn).

問題4.觀察圖形,三棱錐的底面邊長(zhǎng)與高有什么關(guān)系？

問題5.選擇哪個(gè)量作為函數(shù)的自變量比較好？為什么？

學(xué)生操作：從計(jì)算過程的簡(jiǎn)潔度來看,因?yàn)槊恳粋€(gè)量都與OG有直接聯(lián)系,所以選擇OG作為自變量最好.

問題6.怎么來求這個(gè)函數(shù)的最值？

問題7.怎么確定定義域？

問題8.怎么求三棱錐體積的最大值？

問題9.從中你有什么收獲？

學(xué)生總結(jié)：①要體會(huì)圖形的變化過程，感受變化中的不變性;

②學(xué)會(huì)通性通法，掌握最值問題的常見處理方法;

③學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.

6.思考與展望