“五育”并舉 聚力育才—以“五育”為背景的高中數(shù)學(xué)題的求解策略

福建 湯小梅 鄭金木

近三年的全國高考數(shù)學(xué)試題落實構(gòu)建“德智體美勞”全面培養(yǎng)教育體系的要求，貫徹“五育并舉”方針，突顯數(shù)學(xué)學(xué)科特色，體現(xiàn)“五育”并舉的育人價值，助力素質(zhì)教育發(fā)展.體現(xiàn)德育、智育、體育、美育、勞動技術(shù)教育的有關(guān)考題，成為高考一道道亮麗的風(fēng)景題，這類試題以豐富的真情實景或古代數(shù)學(xué)文化為載體命制與數(shù)學(xué)核心考點相結(jié)合的題目，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，值得重點關(guān)注.現(xiàn)聚焦2020年各省市的模擬題，欣賞以“五育”為背景的考題，供讀者借鑒.

一、德育為先、立德樹人

道德源于生活，以德育為背景的考題，多以民族精神、理想信念、道德品質(zhì)、文明行為、社會公德、遵紀(jì)守法、心理健康等生活內(nèi)容為題材，常以圖、表、文并用的方式呈現(xiàn)，考查重點是用樣本估計總體、隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列、期望與方差、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，難度一般為中檔或中偏高檔，意在考查數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

【典例1】(2020·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高三月考)為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團組織“這個冬天不再冷”冬衣募捐活動，共有50名志愿者參與.志愿者的工作內(nèi)容有兩項：①到各班做宣傳，倡議同學(xué)們積極捐獻冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物.每位志愿者根據(jù)自身實際情況，只參與其中的某一項工作.相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

到班級宣傳整理、打包衣物總計20人30人50人

(1)如果用分層抽樣的方法從參與兩項工作的志愿者中抽取5人，再從這5人中選2人，那么“至少有1人是參與班級宣傳的志愿者”的概率是多少？

(2)若參與班級宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用X表示所選志愿者中的女生人數(shù)，寫出隨機變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

【點撥】(1)利用分層抽樣的抽樣比，求出到班級宣傳的志愿者與參與整理、打包衣物者的人數(shù)，利用古典概型的概率公式，即可得結(jié)果；(2)判斷X服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率和期望公式，即可得X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

所以X的分布列為

X012P339548951495

【典例2】(2020·河南省高三普通高等學(xué)校招生考試)2019年12月以來，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國范圍內(nèi)開始傳播，專家組認(rèn)為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為P(0

(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)X的概率P(X)與a,p的關(guān)系式和X的數(shù)學(xué)期望；

(2)該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時間，設(shè)每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為En(n≥2).

①求數(shù)列{En}的通項公式，并證明數(shù)列{En}為等比數(shù)列；

【解析】(1)依題意得，被感染人數(shù)服從二項分布，即X～B(a,p)，

(2)①第n天被感染人數(shù)為(1+ap)n-1，第n-1天被感染人數(shù)為(1+ap)n-2，

當(dāng)a=10,En=10p(1+10p)n-2.所以E6′=10×0.1(1+10×0.1)4=16，

E6=10×0.5×(1+10×0.5)4=6 480，因為E6>E6′，所以戴口罩很有必要.

二、智育為核、提升能力

智育對于每個人的生活質(zhì)量提高都有重要的意義，以智育為背景的考題，多以古代數(shù)學(xué)文化或?qū)嶋H社會生活中需要解決的問題為題材，主要考查高中數(shù)學(xué)的主干知識和非主干知識，難度可易也可難，突出考查數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

【典例3】(2020·福建省高三畢業(yè)班質(zhì)檢)上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1)，充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計)，夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.

圖1

圖2

圖3

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表：

黃赤交角23°41'23°57'24°13'24°28'24°44'正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是

( )

A.公元前2000年到公元元年

B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年

D.早于公元前6000年

【方法點津】本題以我國傳統(tǒng)文化“歷律同源”為背景，借助出土文物骨笛的年代估算設(shè)計試題，考查解三角形、兩角差的正切公式，體現(xiàn)了智育的素養(yǎng)導(dǎo)向.破解此類題的關(guān)鍵：一是準(zhǔn)確理解題意，獲取有效信息、合理運用圖形；二是根據(jù)題意畫出其示意圖，示意圖起著關(guān)鍵的作用；三是脫掉應(yīng)用外衣，把所求的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理、解直角三角形等有關(guān)知識建立數(shù)學(xué)模型，認(rèn)真運算，即可得出正確結(jié)果.

【典例4】(2020·云南省昆明市高三元月三診一模)如圖所示，九連環(huán)是中國的一種古老的智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮.它主要由九個圓環(huán)及框架組成，每個圓環(huán)都連有一個直桿，各直桿在后一個圓環(huán)內(nèi)穿過，九個直桿的另一端用平板或者圓環(huán)相對固定，圓環(huán)在框架上可以解下或者套上.九連環(huán)游戲按某種規(guī)則將九個環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第n個圓環(huán)解下最少需要移動的次數(shù)記為f(n)(n≤9且n∈N*).已知f(1)=1,f(2)=1，且通過該規(guī)則可得f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1，則解下第5個圓環(huán)最少需要移動的次數(shù)為

( )

A.7 B.16

C.19 D.21

【解析】由已知f(3)=f(2)+2f(1)+1=1+2+1=4，

f(4)=f(3)+2f(2)+1=4+2+1=7，f(5)=f(4)+2f(3)+1=7+8+1=16，故選B.

【方法點津】本題以古老的智力游戲“九連環(huán)”為背景，考查數(shù)列的遞推公式等基礎(chǔ)知識，體現(xiàn)了智育的素養(yǎng)導(dǎo)向.破解此類題的關(guān)鍵在于用慧眼去找尋“題眼”，用心靈去感受題意，如本例，題眼“f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1”，再利用科學(xué)合理地賦值運算，即可輕松獲得結(jié)果.

三、體育為基、享樂強體

體育活動，發(fā)展健康身心，增強體質(zhì)、健全人格.以體育為背景的考題，多以體育競技活動(擲鐵餅、鉛球、馬拉松運動、游泳、射擊等等)為題材，常以圖、文并用的方式呈現(xiàn)，考查重點是三角函數(shù)、線性回歸、獨立性檢驗等基礎(chǔ)知識，難度一般為中檔，意在考查數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

( )

A.1.012米 B.1.768米

C.2.043米 D.2.945米

【方法點津】本題以擲鐵餅為背景考查弦長的探求，體現(xiàn)了體育教育的素養(yǎng)導(dǎo)向.求解的關(guān)鍵：一是讀懂題意，明晰題眼，如擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，其實質(zhì)就是兩臂長與肩寬的和就是“弓”長；二是會利用公式，即會利用弧長公式，求出該弧所對圓心角；再利用余弦定理或勾股定理，求出弧所對的弦長.

【典例6】(2020·福建省廈門市期末質(zhì)檢)配速是馬拉松運動中常使用的一個概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時間，相比配速，把心率控制在一個合理水平是安全理性跑馬拉松的一個重要策略.圖1是一個馬拉松跑者的心率y(單位：次/分鐘)和配速x(單位：分鐘/公里)的散點圖，圖2是一次馬拉松比賽(全程約42公里)前3 000名跑者成績(單位：分鐘)的頻率分布直方圖.

圖1

圖2

(1)由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y與x的線性回歸方程；

(2)該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計他能獲得的名次.

(2)將y=160代入回歸方程得x=5，所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時間約為42×5=210分鐘.

從馬拉松比賽的頻率分布直方圖可知成績好于210分鐘的累積頻率為0.000 8×50+0.002 4×(210-200)=0.064.所以有6.4%的跑者成績超過該跑者，則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是0.064×3 000=192名.

四、美育為魂、陶養(yǎng)身心

“美”是景與情的交融，以美育人，讓學(xué)生懂得美、愛美，提高學(xué)生審美和人文素養(yǎng).以美育為背景的考題，多以提高學(xué)生審美和人文素養(yǎng)為題材，常以圖、文并用的方式呈現(xiàn)，考查重點是三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何等基礎(chǔ)知識，難度一般為中檔，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

( )

【方法點津】本題是利用古代數(shù)學(xué)文化“折扇”為背景命制與三角相結(jié)合的題目，把雅致秀氣的“折扇”與扇形的面積相交匯，體現(xiàn)了美育的素養(yǎng)導(dǎo)向.求解的突破口是熟記扇形的面積公式，把半徑相同的兩扇形的面積比轉(zhuǎn)化為兩扇形的圓心角的比，再利用它們的圓心角的和為2π，即可得小扇形的圓心角的弧度數(shù).

【典例8】(2020·云南省云天化中學(xué)期中)如圖①是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME-7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖②的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把圖②中的直角三角形繼續(xù)做下去，記OA1,OA2,…,OAn的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項公式為an=________.

圖①

圖②

【方法點津】破解此類以數(shù)學(xué)的美育為背景的數(shù)列題的關(guān)鍵：一是盯“題眼”和細(xì)“觀圖”，能從圖中觀察到數(shù)據(jù)的特征，如本題，從圖形中能得到數(shù)列{an}的相鄰兩項的遞推公式；二是會用定義，即會利用等差數(shù)列的定義，求出數(shù)列的通項公式.

五、勞育為本，習(xí)得技能

“勞”是實與理的交匯，引導(dǎo)學(xué)生崇尚勞動、尊重勞動，懂得勞動最光榮、勞動最崇高、勞動最偉大、勞動最美麗的道理，養(yǎng)成熱愛勞動的習(xí)慣和本領(lǐng)，塑造勞動精神.以勞育為背景的考題，多以參加社會實踐勞動、幫助別人、為集體做好事等生活內(nèi)容為題材，考查重點是計數(shù)原理、立體幾何、統(tǒng)計與概率等基礎(chǔ)知識，難度一般為中檔，意在考查數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

【典例9】(2020·福建省高三畢業(yè)班質(zhì)檢)某學(xué)生到工廠實踐，欲將一個底面半徑為2，高為3的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內(nèi).若不考慮損耗，則得到的圓柱體的體積最大值是

( )

解法二：同解法一，得V(x)=12π(x2-x3),0

【方法點津】本題以學(xué)生到工廠實踐為背景考查圓錐內(nèi)含圓柱、導(dǎo)數(shù)與最值、基本不等式等基礎(chǔ)知識，引導(dǎo)學(xué)生積極關(guān)注并參與社會活動.在上述的兩種解法中，解法一為常規(guī)解法，通過觀察已知圖形特征，設(shè)圓柱體的底面半徑2x，快速找到圓柱的體積關(guān)于x的函數(shù)，借用“導(dǎo)數(shù)”的工具性，通過求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出圓柱體積的最大值.注意隱蔽條件“自變量在實際意義中的取值范圍”在解題中的應(yīng)用.解法二，借用“三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式”，展現(xiàn)了基本不等式在最值求解中的威力和魅力，充分顯示了解法的靈活性，實屬巧思妙解，干凈利落，意猶未盡.

【典例10】某校組織高三學(xué)生到“天生林藝”參加社會實踐勞動，某天勞動安排有采茶，摘枇杷，摘草莓，鋤草，植樹，工藝品制作共六項活動可供選擇，每個班上午、下午各安排一項活動(不重復(fù))，且同一時間內(nèi)每項活動都只允許一個班參加，則該天甲、乙兩個班的活動安排方案的種數(shù)為________.

【解析】根據(jù)題意，分三類安排活動：

【方法點津】本題以參加社會實踐勞動為背景考查排列組合內(nèi)容，體現(xiàn)了勞動教育的素養(yǎng)導(dǎo)向，求解難點是先“分類”后“分步”，還是先“分步”后“分類”，應(yīng)視題意而定，如本題，需先分三類，在各類中，再分步解決；故在“分類”和“分步”的過程中，均要確定明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分步程序.