一道四川初賽試題的探源與拓展

四川 蘇文玉

一、試題呈現(xiàn)

2016年四川高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽15題如下：

已知拋物線y2=2px過定點(diǎn)C(1,2)，在拋物線上任取不同于點(diǎn)C的一點(diǎn)A，直線AC與直線y=x+3交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B.

(1)求證：直線AB過定點(diǎn)；

(2)求△ABC面積的最小值.

【解析】(1)由拋物線y2=2px過定點(diǎn)C(1,2)，可得拋物線方程為y2=4x.設(shè)直線AB的方程為x=my+a，與拋物線方程聯(lián)立得y2-4my-4a=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=4m,y1y2=-4a.

P點(diǎn)坐標(biāo)為(y2-3,y2)，因?yàn)锳P過定點(diǎn)C，

化簡(jiǎn)得y1y2-2(y1+y2)+12=0，

將y1+y2=4m,y1y2=-4a代入上式，得a=-2m+3.

因此式對(duì)任意y1≠2都成立，因此直線x=my+a過定點(diǎn)Q(3,2).

(2)由(1)可設(shè)直線AB的方程為x=my-2m+3，

與拋物線方程聯(lián)立得y2-4my+8m-12=0.則y1+y2=4m,y1y2=8m-12.

【評(píng)析】本題是一道初賽試題，主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.

二、試題探源

本題以拋物線為背景，通過共線、交點(diǎn)、平移得到的AB直線恒過定點(diǎn)，不禁讓筆者思考如下幾個(gè)問題：

1.本題中的點(diǎn)C和直線y=x+3是任意的嗎？

2.本題的逆命題成立嗎？或者變換本題的條件和結(jié)論，命題依然成立嗎？

3.本題有更一般的結(jié)論嗎?能夠推廣到其他圓錐曲線嗎？

本著這樣的研究思路，筆者在教材例題和歷年高考試題中找到了本題的原型.

【探源1】(2001·全國(guó)卷理·19)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

【探源2】(人教A版選修2-1第70頁(yè)例5)過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn),通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,求證:直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.

從高考試題和教材上的例題可以看出，當(dāng)定直線l為準(zhǔn)線時(shí)，拋物線上的定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可得直線AB恒過焦點(diǎn)，同樣，當(dāng)AB恒過焦點(diǎn)時(shí)，可以證明A，O，C三點(diǎn)共線，可以證明BD和對(duì)稱軸平行，還可以證明AO與過點(diǎn)B平行于對(duì)稱軸的直線交點(diǎn)在定直線準(zhǔn)線上.

那么定直線l和定點(diǎn)C是什么關(guān)系呢，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，若拋物線在定點(diǎn)C處的切線與定直線l平行，則可得到下面更一般的結(jié)論.

三、拓展與探究

命題1：已知拋物線y2=2px(p>0)，點(diǎn)C為拋物線上任意點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)C的切線為l，已知定直線l′與l平行，在l′上任取點(diǎn)P，設(shè)PC與拋物線交于點(diǎn)A,過點(diǎn)P作對(duì)稱軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B,則直線AB過定點(diǎn).

設(shè)直線AB:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2)，

同樣，我們可以得到下面的命題2—命題4.

命題2：已知拋物線y2=2px(p>0)，點(diǎn)C為拋物線上任意點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)C的切線為l，已知定直線l′與l平行，在拋物線上任取點(diǎn)A，設(shè)AC與l′交于點(diǎn)P,過P作對(duì)稱軸的平行線交拋物線于點(diǎn)B,則直線AB過定點(diǎn).

備注：命題2—命題4實(shí)際上是命題1變換條件和結(jié)論產(chǎn)生的新命題，證明方法與命題1一致，從結(jié)論來說，命題1—4分別從定點(diǎn)、定線和三點(diǎn)共線的角度對(duì)問題進(jìn)行了揭示.值得思考的是，拋物線具有這樣的性質(zhì)，那么橢圓和雙曲線是否也有類似的性質(zhì)呢？由于與定直線平行的直線只有一條是與拋物線相切的，而橢圓和雙曲線中，會(huì)有兩條相切的直線與定直線平行，則會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)切點(diǎn)，那么又會(huì)有怎么樣的結(jié)論呢？筆者對(duì)此問題進(jìn)行了探究，得到了下面的一些結(jié)論.

為了證明命題5是正確的，先證明下面一個(gè)引理.

由引理的證明可知|OM||ON|=r2，且M在射線ON上.一般地，可以得到如下推論：

證明：由引理知AB恒過定點(diǎn)，

下面證明命題5.

實(shí)際上，在橢圓中，容易證明M在過原點(diǎn)的直線C1C2上.

同樣可以通過變換條件和結(jié)論給出下列命題6—8，證明留給讀者.