條帶式太陽帆航天器的熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

張軍徽，方瑞穎，武 娜，佟 安，劉應(yīng)華

(1. 北方工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，北京100144；2. 清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

0 引 言

依靠光壓推進(jìn)，太陽帆航天器通常被認(rèn)為適宜于星際航行[1]，目前絕大多數(shù)的太陽帆任務(wù)圍繞深空探測(cè)[2-4]、人工拉格朗日點(diǎn)[5-6]開展相關(guān)研究。在這些研究中，太陽帆的地球逃逸出發(fā)軌道通常被設(shè)定在高度介于2000～36000 km的地球同步轉(zhuǎn)移軌道[7]，然而，地球同步轉(zhuǎn)移軌道的發(fā)射成本高昂，這迫使研究者開始考慮將太陽帆發(fā)射至600～900 km 的近地軌道(Low Earth orbit，LEO)，依靠太陽帆自身的多圈螺旋飛行實(shí)現(xiàn)地球逃逸[8]。2019年7月31日美國(guó)行星協(xié)會(huì)宣布LightSail 2成為世界上第一個(gè)僅依靠光壓實(shí)現(xiàn)升軌的近地軌道航天器[9]。另一方面，運(yùn)行于近地軌道的太陽帆任務(wù)也逐漸引起人們的興趣，Matloff等[10]提出將近地軌道太陽帆作為行星采樣任務(wù)返回階段的空中剎車(Planetary aerobrake)；Macdonald等[11]提出利用近地軌道太陽帆實(shí)現(xiàn)對(duì)地球磁尾的長(zhǎng)時(shí)觀測(cè)；Lappas等[12]提出了將近地軌道太陽帆用于衛(wèi)星壽命末期使衛(wèi)星脫軌的拖拽帆；文獻(xiàn)[13-15]提出利用太陽帆清除近地軌道日益增多的太空垃圾。在國(guó)內(nèi)，龔勝平等[16]研究了利用太陽帆實(shí)現(xiàn)地球同步和太陽同步軌道問題；錢航等[17]研究了受地球陰影影響的非理想太陽帆逃逸地球問題。近地軌道太陽帆以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)正逐漸成為太陽帆研究的熱點(diǎn)。

在近地軌道繞地球飛行，航天器將周期性地進(jìn)出地球陰影，經(jīng)歷空間熱環(huán)境的劇烈變化，熱環(huán)境沖擊將會(huì)引起太陽帆這種大柔性空間結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，進(jìn)而影響太陽帆航天器的光壓推進(jìn)效率和姿態(tài)控制。國(guó)內(nèi)外，關(guān)于太陽帆熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)研究的報(bào)道較少。Malla和Lin[18]采用有限元方法研究了邊長(zhǎng)100 m×100 m四邊形太陽帆在溫度場(chǎng)均勻變化下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，桅桿和帆膜熱應(yīng)變的不匹配引起了顯著的橫向結(jié)構(gòu)變形。Sickinger等[19]對(duì)碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)太陽帆桅桿的溫度場(chǎng)分布、模態(tài)特性和屈曲載荷進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究，研究表明：近地軌道太陽帆桅桿截面溫差最大可達(dá)150 ℃，溫差引起的熱應(yīng)力造成了桅桿屈曲載荷的顯著降低，但對(duì)桅桿的剛度影響不大。Banik等[20]研究了非均勻分布溫度場(chǎng)對(duì)太陽帆拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響，以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化對(duì)太陽帆推進(jìn)效率的影響，當(dāng)太陽帆姿態(tài)角達(dá)到35°時(shí)，非均勻溫度場(chǎng)在結(jié)構(gòu)內(nèi)部引起了較大的熱應(yīng)變，造成了桅桿變形的增大。Stohlman和Loper[21]研究了一種三角形截面可展太陽帆桅桿(Triangular rollable and collapsible boom,TRAC)的熱致變形問題，4 m長(zhǎng)的TRAC桅桿在近地軌道的熱致變形可達(dá)0.5 m，如此大的熱致變形將會(huì)造成太陽帆姿態(tài)的不可控。Stohlman[22]研究了超大型太陽帆桅桿的熱致變形問題，指出了對(duì)于大型太陽帆桅桿考慮熱-結(jié)構(gòu)耦合因素的必要性，給出了聯(lián)合商業(yè)軟件進(jìn)行熱-結(jié)構(gòu)耦合分析的方法。Boni等[23]采用有限元方法研究了20 m×20 m方形太陽帆的熱致變形問題，結(jié)果表明在某些姿態(tài)角工況下帆膜的最大熱致變形達(dá)到15.98 mm。

在國(guó)內(nèi)，太陽帆的研究主要集中在總體設(shè)計(jì)[24-26]、軌道優(yōu)化和姿態(tài)控制[27-29]等方面，關(guān)于太陽帆的結(jié)構(gòu)響應(yīng)有一些研究。崔乃剛等[30]應(yīng)用矢量力學(xué)基本原理,推導(dǎo)出考慮彈性振動(dòng)的太陽帆航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程,得到了基于控制葉片和控制桿的兩類太陽帆航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程。崔祜濤等[31]利用拉格朗日方程建立了太陽帆航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)控制桿和反作用飛輪兩種三軸姿態(tài)控制方案的可控性和穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。龔勝平等[32]通過設(shè)計(jì)帆的面積和支撐有效載荷桿的長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)太陽帆在軌被動(dòng)穩(wěn)定飛行。趙將等[33]采用自然坐標(biāo)方法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法，對(duì)大規(guī)模系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，研究了黏彈性太陽帆薄膜自旋展開過程的動(dòng)力學(xué)特性，討論了薄膜的黏彈性阻尼對(duì)自旋展開過程的影響規(guī)律。崔乃剛等[34]采用有限元方法對(duì)太陽帆支撐管充氣展開過程進(jìn)行了仿真模擬。李純等[35]采用有限元方法，研究了帆膜應(yīng)力導(dǎo)入方式及應(yīng)力大小對(duì)太陽帆桅桿屈曲載荷、結(jié)構(gòu)模態(tài)、靜態(tài)變形和帆膜褶皺的影響。馬鑫等[36]研究了太陽帆航天器伸展臂對(duì)預(yù)緊力的屈曲模態(tài)分析以及屈曲臨界載荷，進(jìn)行了太陽帆結(jié)構(gòu)的無預(yù)緊力結(jié)構(gòu)模態(tài)分析與有預(yù)緊力結(jié)構(gòu)模態(tài)分析。文獻(xiàn)[37-38]針對(duì)太陽帆單軸大角度機(jī)動(dòng)過程，研究了兩種控制方法下太陽帆柔性結(jié)構(gòu)對(duì)其姿態(tài)控制的影響，研究表明通過端點(diǎn)力控制可以有效減小太陽帆在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中姿態(tài)及結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅度。Yang等[39]建立了邊長(zhǎng)8 m的太陽帆試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，進(jìn)行了結(jié)構(gòu)靜態(tài)試驗(yàn)和帆膜褶皺實(shí)驗(yàn)，利用試驗(yàn)結(jié)果修正了邊長(zhǎng)160 m太陽帆的有限元模型，給出了160 m太陽帆在光壓作用下的靜態(tài)變形、帆膜褶皺和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

圖1 方形太陽帆Fig.1 Square solar sails

條帶式太陽帆(見圖1(d))是將整體帆膜裁成獨(dú)立條帶型式的方形太陽帆[40]，與傳統(tǒng)的四點(diǎn)(或五點(diǎn))式太陽帆(見圖1(a))、象限式太陽帆(見圖1(b))和連續(xù)式太陽帆(見圖1(c))相比具有結(jié)構(gòu)效率高、制造簡(jiǎn)單、易于展開和遭受空間碎片損害風(fēng)險(xiǎn)小的特點(diǎn)，被認(rèn)為是最理想的太陽帆結(jié)構(gòu)形式[41]。關(guān)于條帶式太陽帆在近地軌道的熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)研究，國(guó)內(nèi)外未見報(bào)道。本文研究條帶式太陽帆在近地軌道同時(shí)受到太陽熱輻射和光壓載荷作用下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，為條帶式太陽帆結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和姿態(tài)控制提供理論依據(jù)。

1 理論公式

考慮對(duì)稱性，如圖2所示，取條帶式太陽帆的一半進(jìn)行研究。建立直角坐標(biāo)系(O-xyz)，原點(diǎn)位于太陽帆中心。在每個(gè)象限，帆膜被裁成n條寬度為b的平行膜帶，由中心至邊緣依次編號(hào)為1，2，…，n。桅桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，膜帶與桅桿的連接點(diǎn)將桅桿分為n段長(zhǎng)度為l=L/n的小桅桿段，由中心至自由端依次編號(hào)為1，2，…，n。

在后文的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中，作以下假設(shè)：

(1)不考慮膜帶褶皺對(duì)熱量的吸收；

(2)桅桿截面為圓形薄壁，考慮外表面對(duì)空間的熱輻射，不可考慮內(nèi)表面之間的熱輻射；

(3)忽略膜帶與桅桿之間的熱傳導(dǎo)；

(4)結(jié)構(gòu)變形不影響熱量吸收。

圖2 條帶式太陽帆的一半Fig.2 Half of a stripped solar sail

1.1 桅桿和帆膜的瞬態(tài)溫度場(chǎng)方程

太陽帆由地球陰影區(qū)進(jìn)入光照區(qū)，桅桿受到突加太陽輻射熱流S0的作用，如圖3所示，θ0是熱流入射方向與桅桿外表面法線方向之間的夾角。

圖3 熱輻射作用下的薄壁桅桿Fig.3 Thin-walled boom subjected to solar heat flux

根據(jù)假設(shè)(2)和(4)，忽略薄壁截面厚度方向的溫度變化，桅桿的溫度場(chǎng)Tb沿x向均勻分布，在截面內(nèi)滿足如下非線性偏微分方程：

(1)

式中：c為桅桿的比熱容，ρ為桅桿的密度，t為時(shí)間，k為桅桿的熱傳導(dǎo)系數(shù)，r為桅桿截面的平均半徑，φ為桅桿截面的軸向角坐標(biāo)，ε為桅桿外表面的熱輻射系數(shù)，σ為斯蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)，h為桅桿截面壁厚，αs為桅桿外表面的熱吸收系數(shù)。

(2)

設(shè)Tb(φ,t)可表示為：

Tb(φ,t)=Ta(t)+Tp(t)sinφ

(3)

式中：Ta稱為桅桿截面的平均溫度，Tp稱為桅桿截面的攝動(dòng)溫度。

將式(3)代入式(1)，并對(duì)桅桿截面進(jìn)行積分，可得如下兩個(gè)解耦的常微分方程：

(4a)

(4b)

其初始條件為Ta(0)=T0，Tp(0)=0。易得Ta的穩(wěn)態(tài)溫度為：

(5)

采用文獻(xiàn)[42]的方法，攝動(dòng)溫度Tp的解為：

(6)

其中：

(7a)

(7b)

對(duì)于帆膜，忽略膜厚方向的溫度變化，其溫度場(chǎng)Tm均勻分布，滿足如下方程：

(8)

式中：εm為帆膜的熱輻射系數(shù)，ρm為帆膜的密度，cm為帆膜的比熱容，tm為帆膜的厚度，αm為帆膜的熱吸收系數(shù)。

由于帆膜的厚度和熱容很小，在太陽熱流S0作用下，迅速達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度：

(9)

1.2 桅桿和膜帶的振動(dòng)方程

帆膜的溫度變化，會(huì)引起帆膜內(nèi)預(yù)應(yīng)力的變化。設(shè)帆膜的初始預(yù)應(yīng)力為σ0，在熱輻射作用下變?yōu)椋?/p>

(10)

式中：αm為帆膜的熱膨脹系數(shù)，Em為帆膜的彈性模量。

預(yù)應(yīng)力為σm的窄條膜帶在太陽光壓P0作用下的振動(dòng)可看作是張力為T=σmbtm的弦振動(dòng)，對(duì)于第i條膜帶，其簡(jiǎn)化為弦的振動(dòng)方程是：

(11)

其邊界和初始條件為：

(12)

令：

vi(ξi,t)=Vi(ξi,t)+wi(l,t)

(13)

則式(11)變?yōu)椋?/p>

(14)

非齊次邊界條件(12)變?yōu)辇R次邊界條件：

(15)

對(duì)式(14)進(jìn)行拉氏變換：

(16)

式中：s為拉氏變換參數(shù)。

引入狀態(tài)向量：

(17)

則式(16)的矩陣形式為：

(18)

其中，

類似地，也將式(15)進(jìn)行拉氏變換并表示為矩陣形式：

(20)

其中，

根據(jù)分布傳遞函數(shù)理論[43- 44]，滿足式(18)和式(20)的弦振動(dòng)方程的解為：

(22)

其中，

Msexp(-Fsτ)

(23a)

(24)

式中：wi為桅桿的z向位移，E為桅桿的彈性模量，I為桅桿截面的慣性矩，xi為桅桿段的局部坐標(biāo)，μ為桅桿的阻尼系數(shù)。

對(duì)式(24)進(jìn)行拉氏變換：

(25)

引入狀態(tài)向量：

(26)

則式(25)可寫成矩陣形式：

η′i(xi,s)=Fi(s)ηi(xi,s)

(27)

其中，

(28)

根據(jù)分布傳遞函數(shù)理論，有：

ηi(xi,s)=exp(Fi(s)xi)ηi(0,s)

(29)

1.3 條帶式太陽帆的熱-結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

圖2所示的條帶式太陽帆可看作是由n個(gè)桅桿-膜帶組件依次連接而成，其中第i個(gè)桅桿-膜帶組件包含第i個(gè)小桅桿段和上下對(duì)稱的兩個(gè)第i條膜帶。在第i個(gè)桅桿-膜帶組件和第i+1個(gè)桅桿-膜帶組件的連接處應(yīng)滿足位移連續(xù)條件和力平衡條件。其中，位移連續(xù)條件為：

(30)

力平衡條件為：

(31)

式(30)中的fi(s)為單根膜帶作用在組件連接處的橫向力，根據(jù)弦振動(dòng)理論，可由式(17)和式(22)求得：

(32)

其中，

(33a)

(33b)

將式(30)和式(31)表示為矩陣形式：

Ciηi(l,s)+Pi(s)=Diηi+1(0,s)

(34)

式中：

(35a)

(35b)

(35c)

根據(jù)式(29)、式(34)可變形為：

(36)

重復(fù)使用式(36)有：

(37)

式中：

(38a)

(38b)

Hn-1=I

(38c)

在太陽帆中心施加固定邊界條件：

(39)

考慮熱應(yīng)力載荷，桅桿自由端應(yīng)滿足的力邊界條件為：

(40)

(41)

式中：αT為桅桿的熱膨脹系數(shù)。

將式(39)和式(40)表示為矩陣形式：

Lη1(0,s)+Rηn(l,s)+Pn=0

(42)

式中：

(43a)

(43b)

(43c)

根據(jù)式(29)、式(37)和式(42)有：

(44)

則在熱彎矩載荷和光壓載荷作用下太陽帆桅桿自由端的幅頻響應(yīng)可由式(44)求得：

(45)

2 算例分析和討論

采用本文提出的方法，對(duì)邊長(zhǎng)20 m的條帶式太陽帆進(jìn)行熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，太陽帆的結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)[23]Table 1 Dimensions and material properties[23]

2.1 熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

設(shè)太陽帆在近地軌道繞地球飛行，以姿態(tài)角θ0=0°由地球陰影區(qū)進(jìn)入光照區(qū)，受到突加光壓P0=9.126×10-6Pa和突加太陽熱輻射S0=1360 W/m2的作用，其桅桿自由端的頻率響應(yīng)可根據(jù)式(45)求得。

圖4 僅光壓作用下桅桿端部的幅頻響應(yīng)Fig.4 Frequency response of boom tip subjected to P0

圖4給出了僅在光壓作用下，太陽帆桅桿自由端的穩(wěn)態(tài)振幅頻譜圖。由圖4可知，僅在光壓作用下：太陽帆桅桿的準(zhǔn)靜態(tài)位移為1.60×10-5m；太陽帆桅桿的動(dòng)態(tài)響應(yīng)振幅很小，最大振幅僅有4.52×10-5m。共振峰處的頻率對(duì)應(yīng)于各膜帶的自振頻率，其中最大共振峰的頻率對(duì)應(yīng)于最外側(cè)膜帶的自振頻率0.33 rad/s。

圖5 熱彎矩和光壓作用下桅桿端部的幅頻響應(yīng)Fig.5 Frequency response of boom tip

圖5給出了在太陽光壓載荷和熱輻射共同作用下，太陽帆桅桿自由端的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅頻圖。由圖5可知，熱彎矩引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)占主導(dǎo)地位。太陽帆發(fā)生了頻率成分復(fù)雜的熱致結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

2.2 熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響因素分析

由第2.1節(jié)可知，熱輻射沖擊引起了太陽帆結(jié)構(gòu)明顯的熱誘發(fā)振動(dòng)響應(yīng)，這將會(huì)影響太陽帆航天器的推進(jìn)效率、姿態(tài)和軌道控制等性能。本節(jié)從結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)兩方面探討影響太陽帆熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的因素。

圖6 阻尼對(duì)桅桿端部幅頻響應(yīng)的影響Fig.6 Effect of damping on frequency response of boom tip

圖6給出了阻尼改變對(duì)桅桿端部幅頻的影響。由圖6可知，阻尼改變對(duì)桅桿的熱致準(zhǔn)靜態(tài)變形沒有影響；隨著阻尼增大，桅桿振動(dòng)的一階振幅明顯減??；當(dāng)桅桿阻尼系數(shù)增大至0.3時(shí)，振幅的共振峰消失，桅桿響應(yīng)由熱致振動(dòng)變?yōu)闊嶂陆Y(jié)構(gòu)變形；阻尼系數(shù)的增大，造成了共振頻率的微小降低。

圖7給出了桅桿壁厚改變對(duì)桅桿端部振幅頻譜的影響。由圖7可知，壁厚改變對(duì)桅桿的熱致準(zhǔn)靜態(tài)變形和動(dòng)態(tài)振幅都沒有影響；壁厚改變對(duì)響應(yīng)頻率的影響也很小。這是由于熱應(yīng)力載荷不是真正的力載荷，而是等效的溫度荷載，由式(41)可知，它隨著桅桿壁厚的增大同步增大。這表明，通過增大桅桿壁厚來抑制熱致結(jié)構(gòu)響應(yīng)的途徑不可行。

圖7 壁厚對(duì)桅桿端部幅頻響應(yīng)的影響Fig.7 Effect of boom thickness on frequency response of boom tip

圖8給出了桅桿熱膨脹系數(shù)改變對(duì)桅桿端部幅頻的影響。由圖8可知，熱膨脹系數(shù)的減小顯著降低了桅桿的熱致準(zhǔn)靜態(tài)變形和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅；熱膨脹系數(shù)不改變結(jié)構(gòu)的響應(yīng)頻率。這表明，熱膨脹系數(shù)是影響太陽帆結(jié)構(gòu)熱致響應(yīng)振幅的關(guān)鍵因素，盡量降低桅桿的熱膨脹系數(shù)是桅桿設(shè)計(jì)的重要指標(biāo)；熱膨脹系數(shù)小的復(fù)合材料將是太陽帆桅桿設(shè)計(jì)要考慮的重點(diǎn)對(duì)象。

圖8 熱膨脹系數(shù)對(duì)桅桿端部幅頻響應(yīng)的影響Fig.8 Effect of thermal expansion on frequency response of boom tip

圖9給出了太陽帆桅桿長(zhǎng)度變大對(duì)桅桿端部幅頻的影響。由圖9可知，隨著太陽帆桅桿尺寸的增大，桅桿的熱致準(zhǔn)靜態(tài)變形和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)振幅都顯著增大；結(jié)構(gòu)的響應(yīng)頻率隨著尺寸的增大而降低。這表明，太陽帆的熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)是設(shè)計(jì)大尺寸近地軌道太陽帆必須解決的問題。

圖9 桅桿長(zhǎng)度對(duì)桅桿端部幅頻響應(yīng)的影響Fig.9 Effect of boom length on frequency response of boom tip

3 結(jié) 論

隨著近地軌道太陽帆任務(wù)的提出，本文對(duì)條帶式太陽帆在近地軌道運(yùn)行必將面臨的熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問題進(jìn)行研究。推導(dǎo)了太陽熱輻射和光壓共同作用下的太陽帆結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，給出了太陽帆結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅頻響應(yīng)的計(jì)算方法。算例結(jié)果表明：熱輻射沖擊是引起近地軌道太陽帆結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的主要原因，光壓引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)可忽略不計(jì)；增加桅桿壁厚不能有效抑制太陽帆的熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)；增大阻尼，減小結(jié)構(gòu)的熱膨脹系數(shù)能夠降低太陽帆熱致結(jié)構(gòu)響應(yīng)的振幅；桅桿長(zhǎng)度的增加將顯著增大桅桿的熱致準(zhǔn)靜態(tài)變形和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)振幅，因此，熱致結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)是設(shè)計(jì)大尺寸近地軌道太陽帆必須解決的問題。