大型運(yùn)載火箭加筋柱殼近似建模方法

王志祥，武澤平，王 婕，王 君，歐陽興，張大鵬，雷勇軍

(1. 國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引 言

薄壁加筋柱殼結(jié)構(gòu)以其較高的軸壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)承載效率，廣泛地應(yīng)用于運(yùn)載火箭及導(dǎo)彈艙段等航天結(jié)構(gòu)中。作為運(yùn)載火箭的主要承力部段，薄壁加筋柱殼輕量化設(shè)計可大幅提高運(yùn)載能力和節(jié)約設(shè)計成本。對于軸壓工況下的此類薄壁加筋柱殼結(jié)構(gòu)，整體后屈曲失穩(wěn)是其主要破壞模式，軸壓極限承載能力是主要設(shè)計目標(biāo)。后屈曲分析方法主要有非線性顯式動力學(xué)方法和非線性隱式分析方法，相對Newton-Raphson法、Riks法等非線性隱式分析方法，顯式動力學(xué)方法可以準(zhǔn)確地模擬加筋柱殼的后屈曲行為，且算法收斂性能較好，但其計算耗時受模型復(fù)雜度，單元尺寸及數(shù)量等影響較大，這直接決定了加筋柱殼分析、優(yōu)化效率。為滿足我國大型運(yùn)載火箭大幅提升的承載需求，主承力部段將大量采用整體加筋、框桁加強(qiáng)的薄壁殼體結(jié)構(gòu)，其直徑和承載性能將實現(xiàn)跨越式提升。對于在研的重型運(yùn)載火箭，箭體直徑達(dá)10米級，主承力艙段軸向載荷將達(dá)萬噸級，大直徑大載荷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)將對薄壁加筋柱殼輕量化設(shè)計效率和精細(xì)程度提出更高要求，傳統(tǒng)的以工程手冊和設(shè)計經(jīng)驗為主，輔以有限元校核的設(shè)計方法將不再具有借鑒和參考意義，亟需發(fā)展一套高精度、快速的分析、優(yōu)化方法來縮短薄壁加筋柱殼乃至整箭的研制周期。

為提高薄壁加筋柱殼屈曲/后屈曲分析、優(yōu)化效率，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究。等效剛度法(Smeared stiffener method, SSM)因其具有較高的分析效率而廣泛應(yīng)用于薄壁加筋柱殼屈曲分析中[1]，其核心思想是基于解析法對筋條進(jìn)行剛度等效，進(jìn)而將薄壁加筋柱殼轉(zhuǎn)化為薄壁柱殼結(jié)構(gòu)。然而，加筋構(gòu)型、邊界條件以及載荷的復(fù)雜性極大地制約了SSM的適用性。代表體積元(Representative volume element, RVE)和漸近均勻化法(Asymptotic homogenization method, AHM)采用數(shù)值等效方法，相較解析法具有更高的精度和適用性，但其在大規(guī)模復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)用中求解效率較低。Cheng等[2]和Cai等[3]發(fā)展了AHM法，提出了一種新的漸近均勻化數(shù)值實現(xiàn)方法(Numerical implementation of asymptotic homogenization, NIAH)，極大地提高了分析效率。Hao等[4]采用NIAH方法建立了開口加筋柱殼的混合等效模型。針對多級加筋柱殼設(shè)計問題，Wang等[5]采用NIAH法對次筋條進(jìn)行剛度等效，建立了多級加筋柱殼的混合等效模型，有效地提高了分析優(yōu)化效率。在上述工作中，加筋柱殼的筋條截面形狀相對簡單，由于應(yīng)用NIAH方法時需首先采用AHM方法對周期性單胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛度等效，對筋條剛度的高精度等效確保了NIAH方法的分析精度，而在加強(qiáng)框、桁截面形狀多樣的大直徑大載荷薄壁柱殼后屈曲分析應(yīng)用上，NIAH方法仍存在剛度等效精度和算法適用性等方面的挑戰(zhàn)。

針對上述問題，可將復(fù)雜耗時的結(jié)構(gòu)分析當(dāng)成黑箱處理，通過數(shù)值分析方法揭示輸入和輸出間的非線性映射關(guān)系，進(jìn)而實現(xiàn)對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的高效分析和優(yōu)化。近似模型(Approximation Model)以其具備反映真實模型輸入和輸出間的非線性關(guān)系和快速預(yù)測等優(yōu)點(diǎn)受到廣泛關(guān)注并成功應(yīng)用于飛行器結(jié)構(gòu)和氣動分析與優(yōu)化設(shè)計中[6-8]。Queipo等[9]指出，近似模型及基于近似模型的近似優(yōu)化方法對提高現(xiàn)代航空航天系統(tǒng)的性能，降低其設(shè)計成本具有重要意義。目前廣泛使用的近似模型有Kriging[10]近似模型、徑向基函數(shù)[11-12](Radial basis function, RBF)近似模型、橢圓基函數(shù)[13](Elliptical basis function, EBF)近似模型和支持向量回歸[14](Support vector regression, SVR)近似模型。RBF近似模型以其非線性泛化能力強(qiáng)、訓(xùn)練樣本點(diǎn)處預(yù)測誤差為零等優(yōu)勢受到眾多研究者關(guān)注。

在實際應(yīng)用中，RBF近似模型預(yù)測精度嚴(yán)重依賴于基函數(shù)中形狀參數(shù)的取值，因此形狀參數(shù)的確定成為研究RBF近似模型的難點(diǎn)和熱點(diǎn)[15]。Nakayama等[16]針對樣本點(diǎn)均勻分布情況，提出了一種形狀參數(shù)的直接確定方法。Kitayama等[17]指出該方法的不足，并針對樣本點(diǎn)非均勻分布情況對該方法進(jìn)行了改進(jìn)。但上述兩種方法僅通過樣本點(diǎn)在空間中的分布確定形狀參數(shù)，忽略了模型響應(yīng)對形狀參數(shù)的影響。Esmaeilbeigi等[18]采用遺傳算法確定形狀參數(shù)最優(yōu)取值，并應(yīng)用于微分方程的求解。Mongillo[12]基于交叉驗證的方法對徑向基函數(shù)的選取和形狀參數(shù)的確定開展研究。但針對復(fù)雜高維系統(tǒng)進(jìn)行近似建模時，往往需要大量訓(xùn)練樣本點(diǎn)以建立滿足精度需求的近似模型，前述工作中的形狀參數(shù)優(yōu)化問題將包含與訓(xùn)練樣本點(diǎn)數(shù)量相當(dāng)?shù)莫?dú)立優(yōu)化變量，這極大地增加了問題的復(fù)雜度。為簡化形狀參數(shù)優(yōu)化問題復(fù)雜度，姚雯[19]基于相鄰樣本點(diǎn)具有相似空間分布特性和模型響應(yīng)非線性分布特性的假設(shè)，提出了形狀參數(shù)的分簇優(yōu)化方法，進(jìn)而實現(xiàn)近似精度和建模效率的折中。針對該問題，Wu等[20]提出了基于樣本點(diǎn)局部密度的形狀參數(shù)快速確定方法，有效地解決了形狀參數(shù)優(yōu)化復(fù)雜度隨樣本規(guī)模急劇攀升的難題。

RBF近似模型在近似高階非線性模型方面具有優(yōu)越的性能，但其在近似非線性程度較低或線性模型時，泛化能力相對不足。為進(jìn)一步增強(qiáng)RBF近似模型對線性模型的泛化能力，Gutmann[21]提出了引入線性項的增廣徑向基函數(shù)近似模型，并成功應(yīng)用于全局近似優(yōu)化方法中[22]。但從公開文獻(xiàn)來看，目前針對ARBF的近似建模方法研究較少，且鮮有文獻(xiàn)將ARBF近似模型運(yùn)用到薄壁加筋柱殼的后屈曲分析與優(yōu)化中。

本文針對ARBF近似模型的建模方法開展研究，并探索ARBF近似建模方法在大直徑大載荷、框桁加強(qiáng)的薄壁柱殼后屈曲分析和優(yōu)化方面的應(yīng)用潛力。首先，給出了ARBF近似模型的數(shù)學(xué)模型；然后，基于樣本點(diǎn)局部密度給出了基準(zhǔn)形狀參數(shù)快速確定方法，根據(jù)模型響應(yīng)特點(diǎn)，引入了縮放系數(shù)對形狀參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整；進(jìn)而，基于矩估計理論，詳細(xì)推導(dǎo)了求解縮放系數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)，將確定形狀參數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解縮放系數(shù)的優(yōu)化問題，并采用多起點(diǎn)并行優(yōu)化算法求解該優(yōu)化問題；最后，采用典型數(shù)值算例和大直徑大載荷加筋柱殼結(jié)構(gòu)對本文方法進(jìn)行驗證，與其他典型近似模型的對比結(jié)果均表明了本文方法的有效性和工程適用性。本文所提的基于矩估計的ARBF高精度近似建模方法及相關(guān)結(jié)論可為提高我國大型運(yùn)載火箭薄壁加筋柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計效率提供工程參考。

1 增廣徑向基函數(shù)近似模型

不失一般性，單位立方體空間Ω=[0, 1]m中，對于給定的一組訓(xùn)練樣本集S

S={[xi,yi]|xi∈Rm,yi∈R,|i=1,2,…,N}

(1)

其中，Rm為m維設(shè)計空間，xi為第i個樣本點(diǎn)，yi為第i個樣本點(diǎn)對應(yīng)真實模型的輸出，N為訓(xùn)練樣本集S中樣本點(diǎn)的個數(shù)。ARBF數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

其中，x為輸入值，φi為對應(yīng)第i個樣本點(diǎn)的基函數(shù)，ωi為第i個基函數(shù)的權(quán)值，λj為多項式系數(shù)，gj為多項式g的第j項。通常情況下多項式g僅考慮常數(shù)項和線性項，表達(dá)式為

(3)

式中：x(k)表示向量x的第k維分量。

將訓(xùn)練樣本點(diǎn)[xi|yi|]代入式(2)，得到如式(4)所示的線性方程組。

(4)

由于訓(xùn)練樣本集S中的樣本點(diǎn)互不相同，因此G為列滿秩矩陣，且當(dāng)訓(xùn)練樣本點(diǎn)數(shù)量N>m+1時，必存在非零向量ω使得GTω=0成立，即

(5)

聯(lián)立式(4)和式(5)，進(jìn)而得到如式(6)所示的關(guān)于基函數(shù)權(quán)重系數(shù)ω和線性回歸系數(shù)λ的線性方程組。

(6)

(7)

(8)

式中：ci為第i個Gauss基函數(shù)的形狀參數(shù)，決定了第i個樣本點(diǎn)對周圍空間的影響衰減程度。Gauss基函數(shù)隨形狀參數(shù)的衰減程度如圖1所示，形狀參數(shù)ci越小，基函數(shù)衰減越快，其相應(yīng)樣本點(diǎn)對周圍空間的影響范圍越小，反之則越大。

圖1 不同形狀參數(shù)下Gauss基函數(shù)Fig.1 Gaussian kernel functions with different shape parameters plotted on the same domain

圖2 形狀參數(shù)不同取值下近似模型Fig.2 The approximation models under different shape parameters

以式(9)所示的一維函數(shù)f(x)為例，進(jìn)一步分析形狀參數(shù)的取值對近似模型近似能力的影響規(guī)律。以[0,1]區(qū)間內(nèi)均勻分布的10個采樣點(diǎn)為訓(xùn)練樣本點(diǎn)，采用ARBF對f(x)進(jìn)行近似建模。

f(x)=x2-sin(4πx2)

(9)

2 形狀參數(shù)矩估計法

2.1 基于局部密度函數(shù)的形狀參數(shù)確定方法

如前所述，Gauss基函數(shù)形狀參數(shù)對近似模型近似精度具有顯著影響?？紤]到相鄰樣本點(diǎn)應(yīng)具有相似的真實模型響應(yīng)特性，為了確定形狀參數(shù)的較優(yōu)取值，需首先針對訓(xùn)練樣本點(diǎn)在空間中的分布情況開展研究。

文獻(xiàn)[20]提出了樣本點(diǎn)局部密度函數(shù)用于衡量樣本點(diǎn)在空間中分布的疏密程度，其具體表達(dá)式為

(10)

其中，σ為樣本點(diǎn)對設(shè)計空間中局部密度的貢獻(xiàn)程度，可通過下式確定[20]

(11)

(12)

圖3和圖4分別表示一維空間和二維空間中樣本點(diǎn)局部密度分布。由圖3～4可知，在樣本點(diǎn)密集區(qū)域，樣本點(diǎn)密度函數(shù)值較高；在樣本點(diǎn)稀疏區(qū)域，樣本點(diǎn)密度函數(shù)值較低。

基于Gauss基函數(shù)隨形狀參數(shù)的衰減特點(diǎn)，為充分利用樣本點(diǎn)信息，應(yīng)增大稀疏區(qū)域樣本點(diǎn)對周圍空間的影響范圍，減小密集區(qū)域樣本點(diǎn)對周圍空間的影響范圍。因此，令樣本點(diǎn)影響范圍與樣本點(diǎn)局部密度成反比[23]，即

(13)

(14)

(15)

最優(yōu)形狀參數(shù)不僅受訓(xùn)練樣本點(diǎn)空間分布的影響，還在一定程度上取決于真實模型的響應(yīng)特性，因此，在保持各個形狀參數(shù)比值不變的基礎(chǔ)上，需將形狀參數(shù)按式(16)進(jìn)行自適應(yīng)縮放。

(16)

式中：ε為縮放系數(shù)。

圖3 一維空間樣本點(diǎn)局部密度曲線Fig.3 Curve plot for local density of the sampling points in one-dimension space

圖4 二維空間中樣本點(diǎn)局部密度等高線圖Fig.4 Contour plot for local density of the sampling points in two-dimension space

2.2 基于矩估計的縮放系數(shù)ε確定方法

(17)

(18)

基于訓(xùn)練樣本點(diǎn)和近似模型獲得的各階矩都是對真實模型的近似，因此，合適的縮放系數(shù)ε將使得兩種方式獲得的各階矩相同，即

(19)

通過求解式(19)，即可求得最優(yōu)縮放系數(shù)ε，但一般很難使得如式(19)所示的各階矩嚴(yán)格相等。因此，可通過求解如式(20)所示的最小化問題獲得合適的縮放系數(shù)，進(jìn)而通過式(16)獲得合適的形狀參數(shù)。

εopt=argminF(ε)

(20)

式中：

(21)

令

(22)

其中，

(23)

(24)

其中，Φ(x,μ,σ)表示均值為μ方差為σ的正態(tài)分布函數(shù)在x處的累計值。同時，為后文表述方便，記

Ψ(x,μ)=Φ(1,x,μ)-Φ(0,x,μ)

(25)

(26)

(27)

(28)

第一項E1可進(jìn)一步化簡為

(29)

其中，

(30)

進(jìn)而，得E1的解析表達(dá)式為

(31)

對于式(27)中第二項，E2可進(jìn)一步化簡為

(32)

其中，

(33)

(34)

將式(33)～(34)代入式(32)，得E2的解析表達(dá)式為

(35)

對于式(27)中第三項，E3可進(jìn)一步化簡為

(36)

式中：

(37)

基于式(23)～(24)及式(37)，可得E3的解析表達(dá)式為

(38)

(39)

至此，基于矩估計方法已將確定形狀參數(shù)的復(fù)雜域優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定縮放系數(shù)的優(yōu)化問題，大幅降低了形狀參數(shù)優(yōu)化問題的復(fù)雜度。

圖5 ARBF矩估計近似建模流程圖Fig.5 Flowchart of the construction for the ARBF approximation model based on moment estimation

圖5為本文提出的ARBF矩估計近似建模方法流程圖。建立高精度近似模型的核心問題包括兩部分，訓(xùn)練樣本點(diǎn)的選取和縮放系數(shù)的優(yōu)化。訓(xùn)練樣本點(diǎn)的空間均布性影響近似模型的全局近似精度。優(yōu)化算法的選取一定程度上影響建模的效率和精度，針對如式(20)所示的優(yōu)化問題，本文采用多起點(diǎn)并行優(yōu)化算法[24]進(jìn)行求解，進(jìn)一步提高優(yōu)化搜索效率和精度。值得說明的是，縮放系數(shù)的最優(yōu)取值一定程度上取決于真實模型的響應(yīng)特性，基于本文研究經(jīng)驗，可首先通過試湊法確定縮放系數(shù)取值范圍，然后基于優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解。在本文數(shù)值算例及工程應(yīng)用研究中，縮放系數(shù)取值范圍均為[0.1,10]。

3 算例驗證

為了驗證本文所提近似建模方法的有效性，本節(jié)分別采用本文方法、Kitayama方法[17]、RBF[12]、EBF[13]以及Kriging[10]建立近似模型，并對各近似模型的全局和局部近似能力進(jìn)行評估。近似模型精度評估準(zhǔn)則如表1所示，其中R2和ERMSE表征近似模型的全局近似能力，ERMAE表征近似模型的局部近似能力。

3.1 數(shù)值算例

本節(jié)選取4個經(jīng)典的非線性多峰值數(shù)值函數(shù)[25-26]對本文方法進(jìn)行測試，并與其他四種近似模型建模方法進(jìn)行對比。數(shù)值函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式及測試維數(shù)如表2所示。首先基于優(yōu)化拉丁超立方試驗設(shè)計方法(Optimal Latin hypercube design, OLHD)生成在設(shè)計空間內(nèi)均勻分布的樣本點(diǎn)；然后基于該樣本點(diǎn)分別采用上述五種建模方法建立各數(shù)值函數(shù)的近似模型；最后采用蒙特卡洛方法生成10000個樣本點(diǎn)對各近似模型近似能力進(jìn)行評估。文獻(xiàn)[6]基于OLHD生成30倍設(shè)計變量數(shù)的初始樣本點(diǎn)用于訓(xùn)練近似模型，近似模型獲得了較高的近似精度。為測試本文方法構(gòu)建的近似模型在樣本點(diǎn)分布稀疏下的泛化能力，各測試函數(shù)的訓(xùn)練樣本點(diǎn)數(shù)量如表2所示。為減小隨機(jī)誤差對評估結(jié)果的影響，上述過程獨(dú)立重復(fù)10次。

表1 近似模型精度評估準(zhǔn)則Table 1 Error metrics of approximation model

不同近似模型對表2中4個測試函數(shù)的近似精度盒型圖分別如圖6～圖9所示。由于Kitayama方法是通過樣本點(diǎn)的空間距離直接確定形狀參數(shù)，不能有效地近似非線性多峰值問題，因此相對其他四種模型，Kitayama方法確定的近似模型精度相對偏低。圖6所示為低維測試函數(shù)近似精度對比盒型圖，本文方法與RBF和EBF模型全局和局部近似精度均相當(dāng)，且均高于Kriging近似模型。圖7～圖9為高維測試函數(shù)近似精度對比盒型圖，由圖7～圖9可知，本文方法全局和局部近似精度均顯著高于其他四種近似模型，尤其對于12維GN函數(shù)，在訓(xùn)練樣本點(diǎn)數(shù)量相對較少的情況下，其他四種近似模型的近似能力嚴(yán)重不足，本文方法仍能獲得較高的近似精度。

注意到圖6～圖9近似精度盒型圖中存在異常值，這主要是訓(xùn)練、測試樣本點(diǎn)空間分布具有一定的隨機(jī)性所致，且本文方法異常值對應(yīng)的近似精度相比其他典型近似建模方法(Kitayama、RBF、EBF、Kriging)更高。

表2 數(shù)值測試函數(shù)Table 2 Numerical test functions

圖6 不同近似模型對Rosenbrock函數(shù)近似精度盒型圖Fig.6 Boxplots of approximation accuracy for the Rosenbrock function

圖7 不同近似模型對Ellipsoid函數(shù)近似精度盒型圖Fig.7 Boxplots of approximation accuracy for the Ellipsoid function

圖8 不同近似模型對Griewank函數(shù)近似精度盒型圖Fig.8 Boxplots of approximation accuracy for the Griewank function

圖9 不同近似模型對16-Variable函數(shù)近似精度盒型圖Fig.9 Boxplots of approximation accuracy for the 16-Variable function

綜上所述，在設(shè)計空間中訓(xùn)練樣本點(diǎn)分布較為稀疏時，相對其他典型近似模型建模方法，本文方法能以更高精度逼近高維多峰值非線性函數(shù)，且由圖6～圖9中盒型圖數(shù)據(jù)分布可知，與其他方法相比，本文方法評估結(jié)果的數(shù)據(jù)分布相對更集中，說明本文方法受訓(xùn)練樣本點(diǎn)的分布影響較小，算法魯棒性更高。特別地，在訓(xùn)練樣本點(diǎn)數(shù)量相對設(shè)計變量數(shù)較少(相比于文獻(xiàn)[6])的情況下，本文方法對低維和高維測試函數(shù)均具有較高的近似精度，同時，經(jīng)大量分析可知，問題的高度非線性及多峰值特性相比問題的維數(shù)更影響近似精度。

3.2 工程應(yīng)用

作為典型的框桁加強(qiáng)薄壁加筋柱殼結(jié)構(gòu)，蒙皮桁條結(jié)構(gòu)以其較高的軸壓承載性能廣泛應(yīng)用于運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)設(shè)計中。蒙皮桁條結(jié)構(gòu)主要由端框、中間框、桁條和蒙皮組成。蒙皮內(nèi)側(cè)沿高度方向布置4個“Ω”形截面中間框，端部各布置一個“L”形端框，同時，蒙皮外側(cè)沿環(huán)向均勻布置“工”形截面豎向桁條。中間框布局形式及參數(shù)如圖10(a)所示，端框、中間框及桁條的截面形式及參數(shù)如圖10(b)所示。各構(gòu)件截面尺寸及中間框布局參數(shù)取值范圍如表3所示。

圖10 蒙皮桁條結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)Fig.10 Design variables of the cylindrical stiffened shells

表3 設(shè)計變量取值范圍Table 3 Range of design variables

蒙皮桁條結(jié)構(gòu)主要通過桁條來提高結(jié)構(gòu)軸壓承載性能，環(huán)向中間框通過抵抗桁條徑向彎曲變形進(jìn)一步提高桁條承載能力，蒙皮的主要作用則是保持結(jié)構(gòu)幾何形狀及支撐桁條。在相對較小的載荷下蒙皮即發(fā)生局部失穩(wěn)和局部進(jìn)入塑性，但結(jié)構(gòu)仍能繼續(xù)承載，直至結(jié)構(gòu)發(fā)生整體壓潰破壞，因此該結(jié)構(gòu)的極限承載能力由結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性和后屈曲狀態(tài)決定。

本文采用顯式動力學(xué)方法對蒙皮桁條結(jié)構(gòu)進(jìn)行后屈曲分析，其軸壓位移-載荷曲線及對應(yīng)的線性前屈曲-非線性后屈曲-直至壓潰破壞時結(jié)構(gòu)徑向變形云圖如圖11所示，軸壓位移-載荷曲線最高點(diǎn)對應(yīng)的軸壓載荷為極限載荷，即表示結(jié)構(gòu)極限承載能力。但在采用傳統(tǒng)優(yōu)化算法對此大規(guī)模復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，需反復(fù)調(diào)用顯式動力學(xué)方法計算，分析耗時將急劇飆升。為提高分析和設(shè)計效率，縮短設(shè)計周期，需采用近似建模技術(shù)高效、高精度逼近模型設(shè)計參數(shù)與極限承載能力間的復(fù)雜映射關(guān)系。

空間均布性及填充性高的樣本點(diǎn)能夠以更大的概率捕獲近似對象的特征信息，提高近似模型的精度。為盡可能多地捕獲模型特征信息和充分利用樣本點(diǎn)信息，提高計算效率，本文首先基于OLHD方法在如表3所示的19維設(shè)計空間中生成2400個樣本點(diǎn)，并利用并行計算資源計算對應(yīng)樣本點(diǎn)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量和極限載荷；然后采用聚類算法[29]隨機(jī)選取在空間中均勻分布的300個樣本點(diǎn)作為訓(xùn)練樣本點(diǎn)構(gòu)建近似模型，其余2100個樣本點(diǎn)作為測試樣本點(diǎn)評估近似模型全局和局部近似精度。為減小隨機(jī)過程對評估結(jié)果的影響，上述第二步過程獨(dú)立重復(fù)10次。

圖11 加筋柱殼軸壓位移-載荷曲線及變形云圖(5倍放大效果)Fig.11 Load vs end-shortening curve and deformation patterns (scaling factor 5) of cylindrical stiffened shells

圖12 不同近似模型對結(jié)構(gòu)質(zhì)量近似精度盒型圖Fig.12 Boxplots of approximation accuracy for the structural mass of cylindrical stiffened shells

圖13 不同近似模型對極限載荷近似精度盒型圖Fig.13 Boxplots of approximation accuracy for the collapse load of cylindrical stiffened shells

針對上述10組不同的訓(xùn)練和測試樣本點(diǎn)，分別基于本文方法、Kitayama方法、RBF、EBF以及Kriging建立近似模型并評估近似精度，不同近似模型針對蒙皮桁條結(jié)構(gòu)質(zhì)量和極限載荷的近似精度盒型圖如圖12～圖13所示。對于結(jié)構(gòu)質(zhì)量，在全局和局部近似精度方面，本文方法近似精度均最高，EBF近似模型次之，Kriging近似模型精度相對最低。對于極限載荷，在全局近似精度和局部近似精度方面，本文方法與EBF近似模型相當(dāng)，但高于Kitayama方法和RBF近似模型，顯著高于Kriging近似模型。相對極限載荷，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與設(shè)計變量間的非線性關(guān)系更易被捕獲。同時，從盒型圖數(shù)據(jù)分布可知，本文方法建立的近似模型的精度評估數(shù)據(jù)仍相對更集中，算法魯棒性更高。

4 結(jié) 論

本文以大型運(yùn)載火箭薄壁加筋柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計為研究背景，提出了基于矩估計的增廣徑向基函數(shù)近似建模方法。主要工作和結(jié)論可總結(jié)如下：

1)結(jié)合增廣徑向基函數(shù)數(shù)學(xué)模型，分析了形狀參數(shù)對近似模型泛化能力的影響，過小的形狀參數(shù)使得近似模型泛化能力不足，過大的形狀參數(shù)使得系數(shù)矩陣病態(tài)，出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”。

2)綜合考慮樣本點(diǎn)空間分布及真實模型響應(yīng)特性對形狀參數(shù)的影響，引入樣本點(diǎn)局部密度和形狀參數(shù)縮放系數(shù)，并基于矩估計方法，成功將確定形狀參數(shù)的復(fù)雜域優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定縮放系數(shù)的優(yōu)化問題，顯著降低了形狀參數(shù)優(yōu)化問題的復(fù)雜性。

3)典型數(shù)值算例及工程應(yīng)用對比研究表明：相對其他典型近似建模方法，本文方法能夠以更高的全局和局部近似精度泛化模型設(shè)計變量與模型響應(yīng)間的復(fù)雜映射關(guān)系，且算法魯棒性更高，有利于提高薄壁加筋柱殼后屈曲分析和優(yōu)化效率。

綜上所述，本文所提的近似建模方法可為提高我國大型運(yùn)載火箭薄壁加筋柱殼設(shè)計效率提供工程參考。