應(yīng)用變速控制力矩陀螺的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃

程朝陽，繩 濤，秦 捷，鐘 超，何 亮

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109; 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 201109；3. 國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展以及空間任務(wù)對(duì)快速響應(yīng)能力迫切需求，微小衛(wèi)星因其具有研制周期短、成本低、響應(yīng)快速、易于組網(wǎng)應(yīng)用的顯著特點(diǎn)，目前已經(jīng)在對(duì)地遙感、新技術(shù)校驗(yàn)等領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力[1]?？刂屏赝勇?Control moment gyroscope，CMG)具有強(qiáng)大的力矩輸出和動(dòng)量存儲(chǔ)能力，成為敏捷微小衛(wèi)星姿態(tài)控制的一種高效執(zhí)行機(jī)構(gòu)。相比于單框架控制力矩陀螺(Single gimbal control moment gyroscope，SGCMG)，增加了轉(zhuǎn)子調(diào)速功能的變速控制力矩陀螺(Variable speed control moment gyroscope，VSCMG)能夠有效的解決SGCMG固有的幾何奇異問題，而且其力矩放大能力強(qiáng)，可以實(shí)現(xiàn)航天器的高精度、高穩(wěn)定度快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)，是敏捷微小衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的首選執(zhí)行機(jī)構(gòu)。

從原理上看，VSCMG有兩種力矩輸出模塊：通過改變框架角來改變角動(dòng)量方向的CMG子模塊(產(chǎn)生陀螺力矩)和改變轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速來改變角動(dòng)量大小的反作用飛輪(Reaction wheel，RW)子模塊(產(chǎn)生飛輪力矩)。目前，針對(duì)采用VSCMG的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)方法應(yīng)用研究主要針對(duì)兩個(gè)問題：(1)相對(duì)于CMG子模塊力矩，由于轉(zhuǎn)子沒有力矩放大能力，因此RW子模塊輸出力矩通常比較小;(2)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速一般都要達(dá)到每分鐘幾千轉(zhuǎn)，當(dāng)要求轉(zhuǎn)子輸出力矩時(shí)，會(huì)導(dǎo)致由轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子力矩乘積決定的轉(zhuǎn)子功率過大，不利于系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。因此，基于上述因素，相關(guān)學(xué)者設(shè)計(jì)了多種VSCMG操縱律，大致可以分為三類：加權(quán)偽逆操縱律[2]、添加零運(yùn)動(dòng)的加權(quán)偽逆操縱律[3]和模式調(diào)度操縱律[4]。加權(quán)偽逆操縱律能夠降低對(duì)轉(zhuǎn)子的頻繁操縱，有利于降低系統(tǒng)功率以及延長(zhǎng)硬件壽命。但是存在以CMG子模塊為主的情況，即可能會(huì)發(fā)生CMG子模塊奇異。添加零運(yùn)動(dòng)的加權(quán)偽逆操縱律雖然能夠解決CMG子模塊雙曲線奇異問題，但是針對(duì)橢圓奇異無能為力。模式調(diào)度操縱律是根據(jù)指令要求及時(shí)切換相對(duì)應(yīng)的模式進(jìn)行姿態(tài)控制，未考慮CMG子模塊發(fā)生奇異的情況。綜上所述，現(xiàn)存的VSCMG操縱律均不是理想的操縱律，有著各種各樣的缺點(diǎn)。因此，有必要從姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃的角度設(shè)計(jì)全局最優(yōu)操縱律。

路徑規(guī)劃的概念起源于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路徑規(guī)劃，一般意義上的路徑規(guī)劃只考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)，即規(guī)劃出滿足各項(xiàng)約束的運(yùn)動(dòng)路徑。但這一概念經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，發(fā)展出基于動(dòng)力學(xué)特性的最優(yōu)路徑規(guī)劃方法，即在滿足各種動(dòng)力學(xué)約束條件的情況下，尋找使某一性能指標(biāo)最好的最優(yōu)路徑。目前常用的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃方法包括遺傳算法[5]、直接打靶法[6]、隨機(jī)樹法[7]、偽譜法[8]等。相比于其他算法，偽譜法在處理非線性約束問題的過程中具有穩(wěn)定性強(qiáng)、維數(shù)結(jié)算能力高等優(yōu)點(diǎn)。

近年來，偽譜法在航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃上的成功應(yīng)用獲得了廣泛關(guān)注。其中，最受人矚目的是國(guó)際空間站基于偽譜法規(guī)劃了僅采用CMG的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃并成功進(jìn)行了在軌校驗(yàn)。而在理論研究方面，文獻(xiàn)[9]針對(duì)采用SGCMG作為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的小衛(wèi)星，提出了一種基于自適應(yīng)Gauss偽譜法的SGCMG無奇異框架角軌跡快速規(guī)劃方法；文獻(xiàn)[10]采用偽譜法規(guī)劃了考慮姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間、控制力矩陀螺峰值角動(dòng)量以及機(jī)動(dòng)能量等參數(shù)的單目標(biāo)、多目標(biāo)最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑；文獻(xiàn)[11]利用偽譜法規(guī)劃了陀螺避飽和與奇異的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。

本文以敏捷微小衛(wèi)星大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)為應(yīng)用背景，提出了一種應(yīng)用VSCMG的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃方法。首先，建立應(yīng)用VSCMG的航天器姿態(tài)控制模型，推導(dǎo)和分析航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，明確應(yīng)用VSCMG作為航天器姿態(tài)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。其次，介紹了Gauss偽譜法的基本原理。綜合考慮空間環(huán)境力矩影響，星體姿態(tài)動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和一系列路徑約束條件，采用Gauss偽譜法，將衛(wèi)星大角度機(jī)動(dòng)問題看成滿足上述一系列約束條件、邊界條件同時(shí)最優(yōu)化某一性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題。最后，針對(duì)金字塔構(gòu)型的VSCMGs系統(tǒng)進(jìn)行了航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃算法設(shè)計(jì)。為了充分發(fā)揮VSCMGs系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)了以CMG子模塊輸出力矩為主，RW子模塊輸出力矩為的最優(yōu)路徑規(guī)劃算法。同時(shí)，考慮到在軌航天器由于長(zhǎng)時(shí)間工作在失重、高低溫等惡劣環(huán)境中，VSCMGs系統(tǒng)極易發(fā)生故障[12]。此時(shí)，就需要重新規(guī)劃航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，因此，本文也設(shè)計(jì)了基于Gauss偽譜法的VSCMGs系統(tǒng)故障失效姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃算法。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 衛(wèi)星姿態(tài)控制模型

本文僅將航天器視為對(duì)稱的剛體，并且不考慮工質(zhì)消耗等情況。選擇指定相對(duì)參考坐標(biāo)系，則四元數(shù)描述的航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[13]：

(1)

式中：ω×為ω的叉乘矩陣，ω=[ω1,ω2,ω3]T為慣性系的角速度；q0和q分別為四元數(shù)的標(biāo)量部分和矢量部分。

考慮各種環(huán)境干擾力矩后可以得到如下的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

(2)

式中：Text為航天器所受到的外部干擾力矩；Hs為航天器的總角動(dòng)量。

航天器通過與VSCMGs系統(tǒng)交換角動(dòng)量來改變其角速度和姿態(tài)。因此，航天器的總角動(dòng)量表達(dá)式如下：

Hs=Jsω+H

(3)

式中：H為VSCMGs系統(tǒng)的角動(dòng)量；Js為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

因此，將式(3)代入式(2)可以得到應(yīng)用VSCMG的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

(4)

1.2 VSCMGs系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

本文采用4個(gè)VSCMG的金字塔構(gòu)型配置作為航天器姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)(如圖1所示)。為了便于分析，依次對(duì)各個(gè)陀螺進(jìn)行編號(hào)：陀螺1、陀螺2、陀螺3和陀螺4。定義初始時(shí)刻的框架角為δ0=[0,0,0,0]T，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為Ω0=[4000,4000,4000,4000]Tr/min。定義第i個(gè)控制力矩陀螺的本體坐標(biāo)系為{ti,gi,si}，ti表示框架輸出力矩方向的單位矢量，gi表示框架軸方向的單位矢量，si表示轉(zhuǎn)子軸方向的單位矢量。

圖1 金字塔構(gòu)型的VSCMGs系統(tǒng)安裝圖Fig.1 Pyramid configuration of VSCMGs system

設(shè)構(gòu)型傾角為β(β=54.73°)；框架角為δi；轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為Ωi。將各控制力矩陀螺的角動(dòng)量投影至航天器參考坐標(biāo)系，則VSCMGs系統(tǒng)的總角動(dòng)量為：

(5)

式中：sβ=sinβ，cβ=cosβ；sδi=sinδi，cδi=cosδi；Iw為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對(duì)上式求導(dǎo)可得VSCMG的動(dòng)力學(xué)方程：

(6)

式中：[Ω]d為對(duì)角矩陣，即diag(Ω1,Ω2,Ω3,Ω4)。

(7)

(8)

根據(jù)SGCMGs系統(tǒng)的奇異度量函數(shù)[14]，本文給出了VSCMGs系統(tǒng)的奇異度量函數(shù)。

(9)

式中：mcmg為CMG子模塊的奇異度量函數(shù)，mrw為RW子模塊的奇異度量函數(shù)。當(dāng)mcmg或mrw為0時(shí)，表示CMG子模塊或RW子模塊陷入奇異，不能輸出相應(yīng)的力矩。

1.3 VSCMGs系統(tǒng)故障失效時(shí)的動(dòng)力學(xué)模型

VSCMG的結(jié)構(gòu)主要分為框架組件和轉(zhuǎn)子組件，前者輸出CMG子模塊力矩，后者輸出RW子模塊力矩。由于轉(zhuǎn)子組件和框架組件均帶有轉(zhuǎn)動(dòng)部件，在長(zhǎng)時(shí)間的穩(wěn)態(tài)工作期間，均需要連續(xù)不斷作機(jī)械運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)故障的概率較高。表1總結(jié)了VSCMGs系統(tǒng)的常見故障。

表1 VSCMGs系統(tǒng)故障分類Table 1 Fault type of VSCMGs system

定義VSCMGs的力矩輸出部件故障因子向量為：

f=[fc,fr]

(10)

式中：fc為CMG子模塊故障因子向量，fc=[fc1, …,fc4]；fr為RW子模塊故障因子向量，fr=[fr1,…,fr4]。故障因子向量的定義如下：

1) 當(dāng)fci=1時(shí)，表示第i個(gè)陀螺的CMG子模塊正常工作；當(dāng)fci=0時(shí)，表示第i個(gè)陀螺的CMG子模塊完全失效，故障表現(xiàn)為框架自鎖。

2) 當(dāng)fri=1時(shí)，表示第i個(gè)陀螺的RW子模塊正常工作；當(dāng)fri=0時(shí)，表示第i個(gè)陀螺的RW子模塊完全失效，故障表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速維持恒速。

3) 若第i個(gè)陀螺的RW子模塊故障表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子不啟動(dòng)，則此時(shí)整個(gè)陀螺完全失效，即：fci=0,fri=0。

結(jié)合式(6)和式(10)，可得到VSCMGs系統(tǒng)故障失效時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程：

(11)

2 Gauss偽譜法

2.1 Bloza最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)描述

將采用VSCMG作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的微小衛(wèi)星大角度姿態(tài)姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題看作一般的最優(yōu)控制問題：

minJ=Φ(x(t0),t0,x(tf),tf)+

(12)

式中：x(t)∈Rn為狀態(tài)變量，u(t)∈Rm為控制變量；t0和tf為始末時(shí)間，時(shí)域變量t∈[t0,tf]。

式(12)滿足下列約束條件：動(dòng)力學(xué)約束條件、不等式路徑約束條件和邊界約束條件。即：

(13)

式中：f為n維矢量函數(shù)，C為c維矢量函數(shù)，φ為q維矢量函數(shù)。式(12)和式(13)稱為Bolza最優(yōu)控制問題[15]。

將下式代入到式(12)和式(13)中，

(14)

可得到時(shí)域變換的Bolza最優(yōu)控制問題：

minJ=Φ(x(-1),x(1),t0,tf)+

(15)

(16)

2.2 Gauss偽譜法

Gauss偽譜法的基本求解思路是在一系列Legendre Gauss(LG)點(diǎn)上構(gòu)建Lagrange插值多項(xiàng)式對(duì)狀態(tài)變量和控制變量進(jìn)行參數(shù)化近似，再利用Gauss求積得到的節(jié)點(diǎn)對(duì)微分代數(shù)方程進(jìn)行配置。經(jīng)過上述變換，可將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為離散的非線性規(guī)劃問題，最后利用二次規(guī)劃序列得到最優(yōu)的框架角和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速軌跡[16]。

取N階LG點(diǎn)和始末點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，構(gòu)成N+1階Lagrange插值多項(xiàng)式以近似狀態(tài)變量和控制變量：

(17)

將式(17)的狀態(tài)變量求導(dǎo)得：

(18)

式中：Dni是微分近似矩陣D∈RN×(N+1)的元素。

因此，通過式(18)可將動(dòng)力學(xué)約束轉(zhuǎn)化為下面形式的代數(shù)約束：

(19)

式中：Xk=X(τk)，Uk=U(τk)。

同理，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)采用Gauss求積近似為：

(20)

式中：wk為Gauss加權(quán)因子。

因此，式(16)的邊界約束和不等式路徑約束分別可表示為：

(21)

綜上所述，Bolza最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)非線性問題的近似解，即：在滿足式(19)和式(21)的代數(shù)約束條件下，求解使得式(20)的性能指標(biāo)函數(shù)最小的狀態(tài)變量Xk和控制變量Uk，再采用序列二次規(guī)劃算法對(duì)該非線性問題進(jìn)行求解。

3 仿真校驗(yàn)

目前，應(yīng)用VSCMG的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)方法主要是考慮以下三個(gè)原則：(1)避免CMG子模塊固有的幾何奇異；(2)避免系統(tǒng)的角動(dòng)量飽和；(3)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速均衡。

本文采用GPOPS軟件包[17]，該軟件包結(jié)合了hp自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化算法以及稀疏NLP求解器snopt，對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)這類閉環(huán)控制問題具有很好的收斂性，且上手方便。

表2 仿真基本參數(shù)Table 2 Simulation parameter

仿真算法分為兩類：冗余金字塔構(gòu)型的VSCMGs系統(tǒng)的最優(yōu)路徑規(guī)劃和考慮VSCMGs系統(tǒng)故障失效的最優(yōu)路徑規(guī)劃。

3.1 冗余VSCMGs系統(tǒng)的最優(yōu)路徑規(guī)劃

本節(jié)采用金字塔構(gòu)型的冗余VSCMGs系統(tǒng)作為航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。為了驗(yàn)證Gauss偽譜法的有效性和發(fā)揮VSCMG的力矩輸出優(yōu)勢(shì)，本文采取以CMG子模塊輸出力矩為主，RW子模塊輸出力矩為輔的最優(yōu)路徑規(guī)劃策略。

本文采用加權(quán)矩陣的方式實(shí)現(xiàn)上述最優(yōu)路徑的規(guī)劃策略。具體公式如下，將式(6)的VSCMG動(dòng)力學(xué)方程修改如下形式：

(22)

式中：加權(quán)矩陣W用來衡量CMG子模塊和RW子模塊的力矩輸出。

(23)

式中：I4為單位陣；w1和w2為正常數(shù)，分別取為0.01和10。式(23)表明：在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中，當(dāng)CMG子模塊接近奇異時(shí)，mcmg變小，RW子模塊輸出力矩以輔助CMG子模塊順利逃離奇異。

因此，構(gòu)建下面的姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃模型：

1) 設(shè)計(jì)變量：由于考慮VSCMGs系統(tǒng)的作用，設(shè)計(jì)變量由航天器姿態(tài)參數(shù)構(gòu)成的狀態(tài)變量和VSCMGs系統(tǒng)的框架角速度和轉(zhuǎn)子角加速度構(gòu)成的控制變量組成。其中，狀態(tài)變量可表示為：

x=[q0,q1,q2,q3,ω1,ω2,ω3,δ1,δ2,δ3,

δ4, Ω1, Ω2, Ω3, Ω4]T

控制變量為框架角速度和轉(zhuǎn)子角加速度，即：

2) 狀態(tài)方程：姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程分別根據(jù)式(1)和式(4)可得到，VSCMGs系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)式(22)可得到。

3) 邊界條件：主要考慮姿態(tài)參數(shù)的邊界條件和VSCMGs系統(tǒng)的邊界條件。

(3) 姿態(tài)角速度：|ωi|≤5(°)/s。

4) 路徑約束：主要考慮VSCMGs系統(tǒng)的CMG子模塊的奇異度量約束：mcmg>0。

5) 優(yōu)化目標(biāo)：本小節(jié)主要考慮的優(yōu)化目標(biāo)為機(jī)動(dòng)時(shí)間和能耗因素，性能指標(biāo)函數(shù)設(shè)為：

(24)

考慮繞滾動(dòng)軸[45°, 0°, 0°]的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 冗余VSCMGs系統(tǒng)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃Fig.2 Attitude maneuver of redundant VSCMGs system

由上面的仿真結(jié)果可知，整個(gè)過程中各軌跡曲線的變化相對(duì)光滑，沒有出現(xiàn)抖動(dòng)、超調(diào)等現(xiàn)象，說明所設(shè)計(jì)路徑規(guī)劃算法的合理性。整個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間約為11 s，性能指標(biāo)函數(shù)值為13.07，其中功耗部分的性能指標(biāo)函數(shù)值為2.14。圖2(a)的四元數(shù)軌跡表明規(guī)劃的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑滿足任務(wù)要求，衛(wèi)星可以順利完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。圖2(b)的姿態(tài)角速度軌跡表明衛(wèi)星的姿態(tài)機(jī)動(dòng)經(jīng)歷了典型的加速-勻速-減速運(yùn)動(dòng)三個(gè)階段，姿態(tài)機(jī)動(dòng)速度未超過允許范圍。圖2(d)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速軌跡變化不大，說明RW子模塊輸出力矩比較小，滿足以RW子模塊輸出力矩為輔的原則。圖2(e)的CMG子模塊奇異度量軌跡顯示mcmg始終大于0，滿足路徑約束條件，系統(tǒng)始終處于無CMG子模塊奇異狀態(tài)。

因此，本文所提出的路徑規(guī)劃方法可以在考慮一系列約束的情況下有效地生成非奇異姿態(tài)機(jī)動(dòng)軌跡。與傳統(tǒng)的操縱律相比，此方法規(guī)劃的最優(yōu)路徑可以從全局角度避免CMG子模塊奇異，以及可以維持轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的均衡性能。此外，所需的控制力矩輸入不需要，只需要初始狀態(tài)和末端狀態(tài)以及大角度航天器機(jī)動(dòng)的約束條件。

綜上所述，在單次姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)中，基于Gauss偽譜法的VSCMGs系統(tǒng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃滿足提出的三個(gè)原則，順利完成大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。

3.2 VSCMGs系統(tǒng)故障失效時(shí)的最優(yōu)路徑規(guī)劃

3.2.1單個(gè)陀螺完全故障失效

本節(jié)將針對(duì)單個(gè)陀螺完全故障失效時(shí)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)，優(yōu)化目標(biāo)為機(jī)動(dòng)時(shí)間最短和功耗最小。

當(dāng)單個(gè)陀螺完全故障失效時(shí)，整個(gè)VSCMGs系統(tǒng)重構(gòu)成3個(gè)VSCMG和一個(gè)失效陀螺組成的金字塔構(gòu)型，假設(shè)陀螺1完全故障失效，則此時(shí)的故障失效因子向量為：

f=[0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1]

(25)

單個(gè)陀螺完全故障失效時(shí)，由于整個(gè)系統(tǒng)仍然具有較好的冗余性，因此規(guī)劃算法的設(shè)計(jì)策略，依然是以CMG子模塊輸出力矩為主，RW子模塊輸出力矩為輔。路徑約束仍然是避免CMG子模塊的奇異性。CMG子模塊的奇異度量函數(shù)為：

(26)

因此，與3.1節(jié)類似，構(gòu)建單個(gè)陀螺完全故障失效后的姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃模型。其中，路徑約束為：mcmgf>0。

考慮繞滾動(dòng)軸[45°, 0°, 0°]的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，仿真結(jié)果如下圖3所示。

圖3 單個(gè)陀螺完全故障失效姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃Fig.3 Attitude maneuver considered the failure of single gyro

由上面的仿真結(jié)果可知，整個(gè)過程中各軌跡曲線的變化相對(duì)光滑，沒有出現(xiàn)抖動(dòng)、超調(diào)等現(xiàn)象，說明所設(shè)計(jì)路徑規(guī)劃算法的合理性。圖3(a)的四元數(shù)軌跡表明：在單個(gè)陀螺完全故障失效時(shí)，整個(gè)過程中各軌跡曲線的變化相對(duì)光滑，沒有出現(xiàn)抖動(dòng)、超調(diào)等現(xiàn)象，說明所設(shè)計(jì)路徑規(guī)劃算法的合理性。圖3(c)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速軌跡變化不大，說明RW子模塊輸出力矩比較小，滿足以RW子模塊輸出力矩為輔的原則。圖3(d)的系統(tǒng)奇異度量軌跡說明系統(tǒng)始終處于無奇異狀態(tài)。

因此，在單個(gè)陀螺完全故障失效后，VSCMGs系統(tǒng)依舊可以驅(qū)動(dòng)航天器順利完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。而在傳統(tǒng)的操縱律中，并未考慮過在部分陀螺完全故障失效后，如何應(yīng)對(duì)故障以維持姿控系統(tǒng)的正常工作并完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。此外，本文從離線角度考慮VSCMGs系統(tǒng)故障失效后規(guī)劃姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)路徑的方法，不需要控制力矩的輸入，只需要初始狀態(tài)和末端狀態(tài)以及大角度航天器機(jī)動(dòng)的約束條件(奇異約束條件，動(dòng)力學(xué)約束條件等)。

綜上所述，在單個(gè)陀螺完全故障失效后，基于Gauss偽譜法的最優(yōu)路徑規(guī)劃算法滿足提出的三個(gè)原則，能夠順利完成大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。

3.2.2兩個(gè)陀螺完全故障失效

本節(jié)將針對(duì)兩個(gè)陀螺完全故障失效時(shí)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。假設(shè)陀螺1和陀螺3完全故障失效，則整個(gè)VSCMGs系統(tǒng)重構(gòu)成2個(gè)對(duì)立VSCMG的構(gòu)型。此時(shí)，故障失效因子向量為：

f=[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]

(27)

兩個(gè)對(duì)立陀螺完全故障失效時(shí)，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)冗余性較低，因此規(guī)劃算法的設(shè)計(jì)策略，主要是完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。同時(shí)，避免陀螺的所有力矩輸出矢量發(fā)生奇異(力矩輸出矢量共面)。因此根據(jù)式(11)和式(27)可得到此時(shí)力矩輸出Jacobian矩陣為：

(28)

式中：矩陣的前兩列為CMG子模塊的力矩輸出單位矢量，后兩列為RW子模塊的力矩輸出單位矢量。

根據(jù)上式，可得到整個(gè)系統(tǒng)的奇異度量函數(shù)為：

(29)

經(jīng)過計(jì)算，mf的值恒為1.778。因此，當(dāng)兩個(gè)陀螺完全故障失效后，剩余兩個(gè)陀螺的所有力矩輸出矢量不會(huì)發(fā)生奇異。

由于mf的值恒為常數(shù)，不能反應(yīng)系統(tǒng)的力矩輸出性能，因此，為了更加直觀地衡量在兩個(gè)陀螺完全故障失效后VSCMGs系統(tǒng)的力矩輸出能力，本文根據(jù)VSCMG的力矩輸出特點(diǎn)，定義下式的力矩輸出性能指標(biāo)：

(30)

式中：τv=Tv/|Tv|表示VSCMGs系統(tǒng)的輸出力矩矢量；cfi=Cfi/|Cfi|和dfi=Dfi/|Dfi|分別表示各個(gè)單元陀螺的CMG子模塊和RW子模塊輸出力矩單位矢量；ηcmg和ηrw分別表示CMG子模塊和RW子模塊的力矩輸出性能指標(biāo)。

式(30)實(shí)際上表示的是各力矩輸出模塊在系統(tǒng)輸出力矩矢量上的投影比例。η越大，投影比例越大，表示力矩輸出模塊在系統(tǒng)輸出力矩方向的力矩輸出能力越強(qiáng)。

因此，與3.1節(jié)類似，構(gòu)建兩個(gè)對(duì)立陀螺完全故障失效后的姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃模型。由于奇異度量恒為常數(shù)，故不考慮路徑約束。

考慮繞滾動(dòng)軸[45°,0°,0°]的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 兩個(gè)陀螺完全故障失效姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃Fig.4 Attitude maneuver considered the failure of two gyros

由上面的仿真結(jié)果可知，圖4(a)的四元數(shù)軌跡表明：在兩個(gè)陀螺完全故障失效后，整個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中各軌跡曲線的變化相對(duì)光滑，沒有出現(xiàn)抖動(dòng)、超調(diào)等現(xiàn)象，說明所設(shè)計(jì)路徑規(guī)劃算法的合理性。圖4(c)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速軌跡與前面仿真不一樣，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速有較大的變化，說明RW子模塊輸出了有效的力矩。從圖4(d)的力矩性能指標(biāo)可看到，CMG子模塊和RW子模塊均能有效的輸出力矩，未發(fā)生奇異現(xiàn)象。而且ηcmg要大于ηrw，表明CMG子模塊在系統(tǒng)輸出力矩方向的力矩輸出能力要大于RW子模塊，說明在在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中，CMG子的力矩輸出占主要作用。

因此，在兩個(gè)陀螺完全故障失效后，VSCMGs系統(tǒng)依舊可以驅(qū)動(dòng)航天器順利完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。應(yīng)用Gauss偽譜法設(shè)計(jì)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑相比于傳統(tǒng)的操縱律，更具有實(shí)用性和有效性。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)以VSCMG為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的航天器，設(shè)計(jì)了基于Gauss偽譜法的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)最優(yōu)路徑規(guī)劃算法。論文對(duì)兩類姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)的最優(yōu)路徑規(guī)劃問題分別進(jìn)行了研究：冗余金字塔構(gòu)型VSCMGs系統(tǒng)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)和VSCMGs系統(tǒng)故障失效時(shí)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。在冗余VSCMGs系統(tǒng)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)中，采用CMG子模塊輸出力矩為主，RW子模塊輸出力矩為輔的路徑規(guī)劃策略；在VSCMGs系統(tǒng)故障失效時(shí)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)，充分考慮了兩種相對(duì)惡劣的故障模式，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的路徑規(guī)劃算法。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的算法在考慮了一系列約束條件的情況下，能有效地生成性能指標(biāo)最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，得到的優(yōu)化軌跡曲線比較平滑。與傳統(tǒng)的操縱律相比，此方法規(guī)劃的最優(yōu)路徑可以從全局角度避免CMG子模塊奇異，能順利完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)。

此外，在傳統(tǒng)的操縱律中，并未考慮過在部分陀螺完全故障失效后，如何應(yīng)對(duì)故障以維持航天器控制系統(tǒng)的正常工作，本文針對(duì)故障模式的路徑規(guī)劃算法為VSCMG在實(shí)際工程應(yīng)用中提供了一定的參考。