木星探測器軌道計算中的動力學

曹建峰，黃 勇，段建鋒，秦松鶴，張 宇，李 勰

(1.航天飛行動力學技術(shù)重點實驗室，北京100094；2. 北京航天飛行控制中心，北京100094；3. 中國科學院上海天文臺，上海200030；4. 中國科學院大學，北京 100049)

0 引 言

木星是太陽系中體積最大、自轉(zhuǎn)最快的氣態(tài)巨行星，質(zhì)量大約是地球的318倍。對木星的系統(tǒng)性探測有助于更好的了解太陽系起源，以及大行星的形成演化過程。至今成功的木星探測活動共計9次，其中7次飛越探測，2次專門探測。飛越探測始于1972年發(fā)射的先驅(qū)者10號，它于1973年12月3日發(fā)回了第一組木星的近距離拍攝圖像[1]。對木星的2次專門探測為1989年發(fā)射的伽利略號飛船[2]， 2011年發(fā)射的朱諾號(JUNO)[3]。通過對木星的多次探測，基本認識了木星的系統(tǒng)起源、內(nèi)部結(jié)構(gòu)、大氣層以及磁層等[4-6]。但是相對于太陽系其他大行星的認知，對木星的研究仍顯任重道遠。

美國、歐洲將木星探測作為深空探測活動的中長期戰(zhàn)略目標。2008年，NASA和ESA組成了木星系探測聯(lián)合研究組，并提出在2020年后實施“木衛(wèi)二木星系統(tǒng)任務”和“土衛(wèi)六土星系統(tǒng)任務”，美歐將集中資源聯(lián)合開展木星系、土星系探索任務。2012年5月，ESA確定了將在2022年發(fā)射“木星冰月探測器”，探索木星衛(wèi)星存在生命的可能性。

《2016-2030空間科學規(guī)劃研究報告》明確提出了木星探測計劃，以帶動我國空間技術(shù)、科學及科學應用的發(fā)展。軌道動力學是木星探測任務測控系統(tǒng)必須掌握的一項關(guān)鍵技術(shù)，直接決定飛行任務能否順利實施；是開展軌道計算、任務規(guī)劃的基礎，為科學應用提供探測器精確空間位置信息。2018年，陳略等[7]組織中國深空網(wǎng)開展了木星探測器開環(huán)測量試驗，提取了噪聲水平約為10 mHz的多普勒測量，為木星探測任務的測軌積累了有益經(jīng)驗，深空網(wǎng)的系統(tǒng)建設也推動著著自主木星探測的進程[8-9]。

現(xiàn)有木星探測任務主要由美國國家航空航天局(NASA)實施，實測數(shù)據(jù)在美國噴氣推進實驗室(JPL)處理。當前的公開文獻在木星探測的動力學問題上都是簡單提及，不具備實操性，距離定軌軟件的研制、工程任務的實施仍有很大差距。本文針對自主木星探測任務軌道計算問題，系統(tǒng)性的梳理了環(huán)木星探測器的受力問題，詳盡的整理了相關(guān)的計算公式及具體參數(shù)，給出了繞飛階段軌道計算需要考慮的時空參考系、動力學模型，并利用木星探測器JUNO的星歷數(shù)據(jù)進行驗證。

1 木星概況

木星是太陽系最大的行星，與地球存在很大的差異。木星距離太陽更為遙遠，自轉(zhuǎn)周期更?。荒拘堑闹睆绞堑厍虻?1倍，但是密度較小；木星有著太陽系內(nèi)最厚的行星大氣層，跨越的高度超過5000 km(由于木星不存在固態(tài)表面，大氣層基準通常定義是大氣壓力等于1 bar之處)；木星的質(zhì)量是太陽系其他行星質(zhì)量總和的2.5倍，該特征使得太陽系的質(zhì)心落在太陽表面之外[10-11]。表1～2給出了木星的軌道參數(shù)及基本物理參數(shù)。

木星擁有眾多的衛(wèi)星，至2018年底發(fā)現(xiàn)的天然衛(wèi)星達79顆，其中最大的衛(wèi)星有4顆：木衛(wèi)一(Io)，木衛(wèi)二(Europa)，木衛(wèi)三(Ganymede)，木衛(wèi)四(Callisto)。這4顆衛(wèi)星是伽利略于1610年首次發(fā)現(xiàn)，因此也稱為伽利略衛(wèi)星，表3給出了幾顆木星衛(wèi)星的軌道和物理參數(shù)。

表1 木星的軌道特性Table 1 Jupiter’s Orbital Characteristics

表2 木星的物理參數(shù)Table 2 Jupiter’s Physical Parameters

表3 木星主要衛(wèi)星的軌道和物理參數(shù)Table 3 Jupiter Satellite Orbital and Physical Characteristics

木星具有強大的磁場，在太陽風作用下形成輻射帶。因此，木星探測需要考慮輻射帶分布的特點，設計盡量避開輻射帶的軌道開展探測活動。如JUNO的設計軌道近木點位于木星赤道附近，減輕輻射影響。不同于地球，木星內(nèi)部釋放的熱能與木星接收的太陽輻射能量相當[12-13],對于環(huán)繞探測器，木星反照壓及紅外輻射壓也更為顯著。

2 木星探測器軌道動力學

2.1 時空參考系

木星探測器定軌計算中，軌道動力學面臨的首要問題是相對論時空參考系的使用。木星探測器定軌中涉及到的時間坐標系包括協(xié)調(diào)世界時(Universal time coordinated,UTC)，質(zhì)心動力學時(Bargcentric dynamic time,TDB)，地球時(Terrestrial time,TT)等，坐標系統(tǒng)包括地心天球坐標系，地球參考系，質(zhì)心天球坐標系，木星質(zhì)心天球坐標系和木星固聯(lián)坐標系。和木星相關(guān)特有的時空坐標系有木星動力學時(Jupiter dynamical time, TDJ)、木星質(zhì)心天球坐標系和木星固聯(lián)坐標系，下面進行具體描述。

嚴格意義上，類似于地球有必要建立一套局部的木星天球參考系，時間系統(tǒng)為TDJ。Hellings給出的Lorentz變換式可進行太陽系質(zhì)心時空參考系中的空間坐標到局部參考系中的空間坐標的轉(zhuǎn)換[14]。截斷至1階參數(shù)化后牛頓項(PPN)，TDJ與TDB的關(guān)系式為，

(1)

式中:c表示光速，v表示木星公轉(zhuǎn)速度，mk表示木星之外其他天體(k)的質(zhì)量，rk表示天體(k)與木星的距離。

圖1給出了以2000- 01- 01為起點，50年內(nèi)TDJ與TDB的差異(TDJ與TDB的起點均為2000- 01- 01T00:00:00.000)，TDJ除了木星公轉(zhuǎn)相關(guān)的周期項外，還存在較大的線性項，50年的長期漂移達到近5 s。另外，TDJ-TDB的周期項的幅值也較TT-TDB高出近1個量級。

圖1 TDJ與TDB的差異Fig.1 Difference between TDJ and TDB

木星探測器的軌道坐標(Jovicentric coordinate)在木星局部參考系中描述，其與質(zhì)心天球參考系(Barycentric celestial reference system, BCRS)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為，

(2)

位置轉(zhuǎn)換關(guān)系對時間進行求導，可以計算速度轉(zhuǎn)換關(guān)系式為，

(3)

2.2 定向參數(shù)模型

木星引力場在木星固聯(lián)坐標系中描述，而軌道積分需采用的是局部慣性坐標系(木星天球參考系)，因而力模型的計算需要解決木星天球參考系與木星固聯(lián)參考系的相互轉(zhuǎn)換，即木星的定向參數(shù)模型。

IAU地圖坐標及旋轉(zhuǎn)參數(shù)工作組(Working group on cartographic coordinates and rotational elements) 大概每3年發(fā)布1次太陽系大天體的指向參數(shù)模型報告。報告中采用國際天球參考系(ICRS)，通過簡單關(guān)系式將各天體的天球坐標系與固聯(lián)坐標系聯(lián)系起來[15-17]。

圖2描述了木星天球參考系與木星固聯(lián)坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。這里涉及到3個坐標系。

1)木星固聯(lián)坐標系(Jupiter-centered jupiter mean equator and prime meridian of date)

木星固聯(lián)坐標系為星體坐標系，基于IAU木星定向參數(shù)模型定義。木星平赤道面為固聯(lián)坐標系的參考平面，基本方向為木星本初子午線與參考平面的交點。IAU指定在木星平赤道平面上自西向東，從Q點開始至本初子午線角度為W。Q點定義為木星平赤道相對于地球平赤道的升交點。

W=284.95+870.5360000d

式中:d為從J2000.0歷元起算的地球天數(shù)。

2)木星平赤道坐標系(Jupiter-centered jupiter mean equator and IAU-vector of epoch)

木星歷元平赤道為坐標系的參考平面，IAU矢量為參考方向，IAU矢量由木星質(zhì)心指向木星歷元平赤道與地球J2000.0歷元平赤道面的交點Q。

3)木星天球參考系(Jupiter-centered earth mean equator and equinox of epoch)

木星天球坐標系坐標原點選取為木星質(zhì)心，參考平面為地球歷元平赤道，參考方向為歷元平春分點方向。該坐標系與地心天球參考系完全對應，不同之處為坐標原點由地球質(zhì)心平移至木星質(zhì)心。

圖2 木星坐標系轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig.2 Relationship between prime meridian and IAU-vector

IAU定義的木星天極在J2000.0地球平赤道平春分點坐標系中的方向，其形式為，

α=268.056595-0.006499T+0.000117sinJa+

0.000938 sinJb+0.001432 sinJc+

0.000030 sinJd+0.002150 sinJe

δ=64.495303+0.002413T+0.000050cosJa+

0.000404cosJb+0.000617cosJc-

0.000013cosJd+0.000926cosJe

(4)

(5)

式中：T表示從J2000.0起算的儒略世紀數(shù)(36 525 d)，α,δ的單位為(°)。

木星天球參考系至木星平赤道坐標系轉(zhuǎn)換關(guān)系為，

rIAU=Rx(90-δ)Rz(90+α)rcrs

(6)

木星平赤道坐標系至木星固聯(lián)坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣，

Rbf=Rz(W)rIAU

(7)

2.3 動力學模型

木星環(huán)繞型探測器的軌道計算本質(zhì)上仍然是一個受攝運動二體問題。環(huán)繞木星飛行的探測器受到的主要作用力是木星產(chǎn)生的質(zhì)點引力，其余各類作用力相對于木星質(zhì)點引力都是一個小量。環(huán)繞探測的運動方程可以表示為[18]，

(8)

式中:r表示探測器在木星天球參考系中的位置矢量，p表示其他攝動源產(chǎn)生的攝動加速度，μJ為木星引力常數(shù)。

木星探測器的主要攝動力包括：

1)非球形引力

木星非球形引力勢可以展開為諧系數(shù)表達形式，

[Clmcos(mλ)+Slmsin(mλ)]Plm(sinθ)

(9)

式中:G為萬有引力常數(shù)，M為木星質(zhì)量，RJ為木星的赤道半徑，(λ,θ)為航天器在木星固聯(lián)坐標系下的經(jīng)緯度，(Clm,Slm)為木星重力場系數(shù)，Plm為締合勒讓德多項式。

當前發(fā)布的最新木星重力場模型基于JUNO測軌數(shù)據(jù)解算，其系數(shù)如下[19]:

表4中給出的是非歸一化諧系數(shù)，歸一化諧的系數(shù)可以根據(jù)如下公式計算，

(10)

表4 木星重力場模型系數(shù)Table 4 Jovian gravity field parameters

(11)

2)第三體引力攝動

太陽、大行星及木星的自然衛(wèi)星所產(chǎn)生的加速度統(tǒng)稱為第三體引力攝動，在木星天球參考系中，第三體引力加速度為，

(12)

式中:m′為第三體質(zhì)量，r′為第三體相對木星的位置矢量，Δ為航天器相對第三體的位置矢量，即Δ=r-r′。

木星擁有眾多的衛(wèi)星，幾個主要的自然衛(wèi)星會對木星環(huán)繞探測器產(chǎn)生較大的攝動力，對于探測器的精密軌道計算，有必要考慮其攝動影響。網(wǎng)站(https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi)提供了各小天體的軌道參數(shù)。

3)太陽輻射壓

太陽電磁輻射于航天器表面，產(chǎn)生的作用力稱為太陽光壓，與航天器距離太陽的距離及航天器受照部件的屬性相關(guān)。航天器各部件對太陽輻射具有吸收與反射能力，其作用力可以分為3部分：吸收太陽輻射產(chǎn)生的作用力為dFa=-KrsuncosθdS，鏡面反射產(chǎn)生的作用力為，

dFs=-2Kcos2θ(1-)(1-D)ndS

(13)

漫反射產(chǎn)生的作用力為，

dFd=-Kcosθ(1-)

(14)

式中:dS為表面積，K為1AU處太陽的輻射流量，θ為太陽矢量rsun與面元法向n在機械坐標系下的夾角。為表面吸收系數(shù)，D為表面反射率。1AU處太陽的輻射流量的通常取值為K=4.56×10-6N·m-2。

對于工程定軌計算，太陽輻射壓產(chǎn)生的加速度可以采用簡化的固定面質(zhì)比模型，

(15)

式中:Δs為由太陽指向航天器的方向矢量，A為等效面積，Cr為太陽輻射壓系數(shù)，aU為天文單位。

4)木星反照壓和紅外輻射壓

木星接收太陽輻射的能量后，為保持自身的熱平衡狀態(tài)，會以兩種不同的方式將輻射能量釋放出去：光學輻射和紅外輻射。紅外輻射是木星表面以長波形式的二次輻射。木星反照壓與紅外輻射壓所產(chǎn)生的加速度取決于探測器可視的木星表面區(qū)域。

木星表面輻射區(qū)域p所產(chǎn)生的反照加速度計算公式為，

(16)

A一般以球諧系數(shù)展開，以表示不同的表面區(qū)域。

(17)

式中:(λ,θ)為輻射區(qū)域P的經(jīng)緯度，Plm為締合勒讓德多項式，

文獻[11]給出的各系數(shù)參考值為，

紅外輻射壓產(chǎn)生的加速度，與反照壓具有相同的形式，可以表示為，

(18)

式中:各符號的意義同太陽反照壓。E為木星輻射系數(shù)，以諧系數(shù)表示。

(19)

5)潮汐動力學攝動

在太陽、大行星、以及木星自然衛(wèi)星的引力位作用下，木星內(nèi)部質(zhì)量分布隨著時間發(fā)生變化，改變木星的引力場。根據(jù)“流體靜力平衡”理論，當天體外部存在引潮力時，天體將發(fā)生形變，使得天體內(nèi)部在重力、彈性力、粘滯力和引潮力的作用下處于平衡狀態(tài)，稱為平衡潮。并假定，這種形變使天體內(nèi)部等勢面發(fā)生變化。這種流體靜力平衡理論是一種理想狀態(tài)，與真實的形變還有一定差別。勒夫數(shù)就是平衡潮與真實的潮汐形變之間的比例系數(shù)，潮汐所產(chǎn)生的引力勢可以通過勒夫數(shù)表示，文獻[3]給出的k2=0.7，文獻[18]給出的k22=0.625。

(20)

潮汐攝動產(chǎn)生的加速度一般與非球形引力攝動加速度一起計算，可以展開表示為諧系數(shù)的形式，該諧系數(shù)是對木星重力場系數(shù)的修正。

(21)

6)相對論效應攝動

廣義相對論效應是對牛頓力學的修正，木星探測所采用的木星天球參考系基于廣義相對論建立，因而與牛頓理論所定義的木星非旋轉(zhuǎn)坐標系仍存在差異。在衛(wèi)星動力學方面，相對論效應使得探測器的運動方程增加了相對論效應加速度，包括：Schwarzschild項，測地歲差，以及Lense-Thirring歲差。相對論效應攝動引起的加速度為，

(22)

3 動力學模型檢驗

JUNO由是美國“新疆界計劃”的第2個項目，于2011年發(fā)射，歷經(jīng)5年進入木星軌道，其運行管理由JPL負責。JUNO位于近極軌的大偏心率橢圓軌道上，軌道周期大約為53天，近木點距離大約為木星半徑的1.06倍。

為了驗證力模型的正確性，選用JUNO探測器的軌道數(shù)據(jù)進行動力學擬合。圖3給出了JUNO在軌飛行約一個軌道周期內(nèi)的高度與速度變化，圖4為近木點附近的局部放大圖。近木點高度3400 km，速度大約為58 km/s。

圖3 JUNO一個軌道周期近木點距離及速度的變化曲線Fig.3 Variation of height and velocity for one orbital period

圖4 JUNO近木點距離及速度的變化曲線Fig.4 Variation of height and velocity during perijove pass

JPL在利用JUNO的測軌數(shù)據(jù)反演重力場時，使用近木點前后大約6～8小時的數(shù)據(jù)進行定軌計算。本文選取2017年5月9日2時至10時共計8小時的弧段的星歷進行擬合，位置偏差小于10m，速度偏差在近木點小于6 mm/s(如圖5所示)。選取2017年4月23日之后連續(xù)10天的星歷進行擬合，位置偏差小于50m，速度偏差小于1 mm/s(如圖6所示)。JPL提供的星歷文件，每隔2～3天速度數(shù)據(jù)會出現(xiàn)0.1～0.2 mm/s跳變，這可能是星歷文件生成中考慮了隨機脈沖進行誤差補償，在本檢驗程序中未考慮該速度變化項，因而軌道擬合效果會降低。

圖5 近木點星歷擬合后的位置、速度偏差Fig.5 Post-fit deviation of position and velocity during perjove pass

圖6 星歷擬合后的位置、速度偏差Fig.6 Post-fit deviation of position and velocity

4 結(jié) 論

回顧木星的基本狀況，分析木星探測器軌道計算所涉及的時空參考系，動力學模型，并給出了木星坐標系的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，木星探測器軌道計算所需動力學攝動的具體數(shù)學模型。利用JUNO探測器的星歷數(shù)據(jù)進行力模型檢驗，近木點擬合位置偏差小于10 m，速度偏差小于6 mm/s；利用遠木點10天數(shù)據(jù)進行擬合，位置偏差小于50 m，速度偏差小于1 mm/s。