數(shù)列裂項求和的“源”與“流”

天津 高成龍

有一些數(shù)列的前n項和可以利用求和公式模型來求解，如等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的過原點的二次函數(shù)，它的求和公式模型為Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)，由a1,a2唯一確定).等比數(shù)列求和公式模型為Sn=A-Aqn(q為公比，A為常數(shù)，由a1唯一確定)，等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的求和公式模型為Sn=A+qn(Bn-A)(q為等比數(shù)列的公比，A,B為常數(shù)，由a1,a2唯一確定).還有一些重要的數(shù)列雖然沒有求和公式模型，但是可以通過對通項進行等價變形，利用裂項求和的方法來求解.下面先探究可以利用裂項求和的數(shù)列類型.

一、裂項求和的“源”

1.學生在裂項中常見的問題

2.裂項求和的模型

模型1若數(shù)列an=f(n+k)-f(n)(k∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和為Sn=f(n+k)+…+f(n+2)+f(n+1)-f(1)-f(2)-…-f(k).

3.裂項求和模型的特點

通過模型1可以發(fā)現(xiàn)裂項求和的結(jié)果是對稱的，主要表現(xiàn)在：①前后剩余個數(shù)相同，均為k個；②前面k個數(shù)的符號與后面k個數(shù)的符號相反；③前后剩余的位置相同，即前面是正數(shù)第i個和正數(shù)第j個，后面則是倒數(shù)第i個和倒數(shù)第j個.

二、裂項求和的應用

裂項求和是高考數(shù)列中常用的方法，近三年高考中出現(xiàn)的頻率較高，2017年天津(文)18題、2017年天津(理)18題、2018年天津(理)18題、2018年浙江20題、2019年天津(理)18題、2019年天津(文)18題、2019年浙江20題的數(shù)列問題均可以利用裂項方法來求和.下面以三道題為例來探究裂項求和問題.

【例1】(2017·天津卷理·18)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12,b3=a4-2a1，S11=11b4.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和(n∈N*).

解析：(Ⅰ)an=3n-2；bn=2n.

(Ⅱ)解法1：錯位相減法

由(Ⅰ)可得a2n·b2n-1=(6n-2)·22n-1=(3n-1)×4n，令數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和為Tn，

Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)·4n，

4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)·4n+(3n-1)·4n+1，

上述兩式相減，

得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3·4n-(3n-1)·4n+1

=-(3n-2)·4n+1-8.

解法2：裂項法

設cn=(3n-1)·4n，利用模型1，設f(n)=(an+b)·4n，則f(n+1)=(an+a+b)·4n+1，

方法點評：比較上述兩種方法，錯位相減法更接近學生的最近發(fā)展區(qū)，通俗易懂，但是對學生的計算能力要求比較高.尤其是對于最后的結(jié)果進行化簡時，學生沒有一個明確的目標或形式去靠近，最終結(jié)果的化簡給求解帶來很大的障礙.以該例說明學生運用錯位相減法常見的錯誤有：①兩個式子作差時，最后一項的符號忘記改變；②運用等比數(shù)列前n項和公式對42+43+…+4n-1+4n求和時把項數(shù)當成n項；③對Tn進行化簡過程中合并同類項、提取公因式環(huán)節(jié)出錯導致最后形式不對.下面給出一般的等差數(shù)列乘以等比數(shù)列求和的裂項模型：

模型2設{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}的前n項和可以利用裂項求和求得，且anbn=f(n+1)-f(n)，其中f(n)=(an+b)·qn，a,b可以由a1b1,a2b2唯一確定.

【例2】(2018·天津卷理·18)設{an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式；

(Ⅱ)設數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn(n∈N*)，

(ⅰ)求Tn；

解析：(Ⅰ)an=2n-1，bn=n.(Ⅱ)(ⅰ)Tn=2n+1-n-2;

【例3】(2019·浙江卷·20)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a4=S3，數(shù)列{bn}滿足：對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式；

分析：(Ⅱ)不能直接求出數(shù)列{cn}的前n項和，但是通過放縮可以將{cn}轉(zhuǎn)化為容易求和的裂項形式.

解析：(Ⅰ)an=2(n-1)，bn=n(n+1)；(詳細過程略)

點評：裂項相消法可以直接求數(shù)列的前n項和，但是有一些數(shù)列本身無法求和或者求和較為麻煩，可以利用不等式轉(zhuǎn)化為裂項相消求數(shù)列和，再加以解決，常見于數(shù)列的放縮問題.

三、裂項求和的“流”

1.問題的來源

2.問題1再探究

利用加法交換律與結(jié)合律對于問題1的S2n進行變形便有：

模型3：若數(shù)列an=(-1)n(f(n+k)+f(n))(k∈N*)，則數(shù)列{an}的前2n項和為S2n=f(2n+k)+…+f(2n+2)+f(2n+1)-f(1)-f(2)-…-f(k).

我們把上述數(shù)列求和的方法叫做并項求和.下面討論上述數(shù)列模型在求和中的應用.

3.數(shù)列的并項求和應用

解法1 并項求和

由于數(shù)列并項求和是由數(shù)列裂項求和衍生出來的，我們回歸到并項求和的本質(zhì)，對數(shù)列相鄰兩項進行結(jié)合，便可以運用裂項求和求解例4.

解法2 裂項求和

解析：數(shù)列相鄰兩項結(jié)合便有

點評:解法2采用相鄰兩項結(jié)合，將二次轉(zhuǎn)化成一次，將未知數(shù)列轉(zhuǎn)化成學生熟悉的數(shù)列模型進行求解.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

解析：(Ⅰ)an=2n-1；

=2n2.

模型4若數(shù)列{an}滿足an=(-1)n(an2+bn+c)，則{an}的前2n項和為S2n=2an2+(a+b)n.

下面運用模型4來求解例5(Ⅱ)問.

解法2：

四、方法反思

從上面的探究可以知道，等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差數(shù)列乘以等比數(shù)列、自然數(shù)平方和數(shù)列、自然數(shù)立方和數(shù)列都可以利用裂項求和的方法求得.事實上可以構(gòu)造出無數(shù)個能用裂項求和的數(shù)列，但回歸到本質(zhì)，這些數(shù)列通項都可以化簡為an=f(n+k)-f(n)的形式.教師在教學中教會學生一些簡單的數(shù)列裂項求和以后，為了讓學生解決更加復雜的數(shù)列裂項求和問題，應該引領(lǐng)學生探究并歸納一些數(shù)列裂項求和模型，一方面可以幫助學生更好地理解數(shù)列裂項求和的本質(zhì)；另一方面，從數(shù)學核心素養(yǎng)角度來說，可以更好地培養(yǎng)和提升學生的數(shù)學運算與數(shù)學建模核心素養(yǎng).