探求試題本源 提高命題能力

廣東 潘敬貞 郝 良

高考試題是高考命題專家的智慧結晶，是國家課改精神的集中反應.因此深度剖析真題，領會課改精神，弄清命題思路，探求試題本源，對提高命題能力、促進教師專業(yè)發(fā)展具有重要意義.本文以2017年全國卷Ⅰ理科數(shù)學第20題圓錐曲線解答題為“源”，進行分析研究，探求試題本源，通過猜想和驗證得出兩個命題，并根據(jù)兩個命題進行命題實踐，命制出若干道類似試題，同時對試題本源和命題技巧等方面進行分析說明，希望能拋磚引玉，引發(fā)大家思考，進行更多的命題實踐，命制出更多優(yōu)秀的試題.對教師開展變式教學、學生進行深度學習，提高高三備考的針對性與有效性，實現(xiàn)高效備考具有積極意義.

1.試題與分析

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

高考全國卷圓錐曲線解答題的第一問一般是求動點的軌跡方程或結合圓錐曲線的性質特征求指定曲線方程.第二問一般是以一條動直線或兩條動直線與指定曲線的位置關系為背景，根據(jù)直線與曲線存在的幾何關系，曲線的性質特征提出有意義的問題(主要考慮研究問題的幾何背景和幾何意義).該問的解答涉及解析幾何的核心內容(平面幾何性質、直線方程、韋達定理、點到直線的距離公式、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等)，重點考查用代數(shù)方法研究幾何問題，考查學生的推理論證能力、運算求解能力、分析問題與解決問題的能力等，考查學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

本題的第一問是結合橢圓的性質特征求指定橢圓的方程，第二問是過橢圓C上的一定點P2(0,1)作弦P2A與弦P2B兩條不同的弦，已知弦P2A與弦P2B所在直線的斜率和為-1，求證直線AB恒經(jīng)過定點，即過橢圓C上的一定點P2(0,1)作弦P2A與弦P2B兩條不同的弦，當弦P2A與弦P2B所在直線的斜率的和為-1時，直線AB恒經(jīng)過某個定點.

2.問題猜想

經(jīng)過對2017年全國卷Ⅰ理科數(shù)學第20題的分析研究后，筆者深受啟發(fā)，由此想到了過曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)上的某一定點P作弦PA與弦PB兩條不同的弦，當弦PA與弦PB所在直線的斜率之和為0或斜率之積為-1時，直線AB是否存在某種規(guī)律(是否恒經(jīng)過某個定點、斜率是否為定值等).利用幾何畫板對猜想進行初步的探究發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)學命題.

命題1：在曲線上取一點P作弦PA與弦PB兩條不同的弦，若弦PA與弦PB所在直線的斜率之和為0，則直線AB恒經(jīng)過定點.

命題2：在曲線上取一點P作弦PA與弦PB兩條不同的弦，若弦PA與弦PB所在直線的斜率之積為-1，即PA⊥PB，則直線AB的斜率為定值.

3.試題本源探究

經(jīng)過猜想與初步探究得出以上兩個命題，但需要對其進行全面的探究和嚴格論證，下面是兩個命題全面探究和論證過程.

現(xiàn)證明直線AB的斜率就是過曲線C上點P(x0,y0)的切線斜率的相反數(shù).

4.命題實踐

本文主要根據(jù)2017年高考全國卷Ⅰ理科數(shù)學第20題圓錐曲線解答題的命題思路和考查目標，以及上述兩個命題為“真”命題，編制以下試題，供模擬考試、教師開展變式教學或學生進行深度學習使用.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

試題2.已知定圓M：(x-1)2+y2=16，動圓N過點F(-1,0)且與圓M相切，記圓心N的軌跡為C.

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)過圓M的圓心且垂直于x軸的直線交曲線C于P,Q兩點，A,B是曲線C上位于直線PQ兩側的兩點.若∠APQ=∠BPQ，求證：直線AB的斜率kAB為定值.

(Ⅰ)求曲線G的方程；

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與曲線C交于A,B兩點.以AB為直徑的圓過曲線C與坐標軸的交點,證明:直線l過定點，并求該定點的坐標.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設直線l與曲線C相交于A,B兩點，G(2,t)，且GA⊥GB，證明:直線l過定點，并求該定點的坐標.

試題1-5的第一問求動點的軌跡方程或結合圓錐曲線的性質特征求指定曲線方程.第二問是過曲線上的某一定點P作弦PA與弦PB兩條不同的弦，當弦PA與弦PB所在直線的斜率之和為0，即兩條弦垂直時求證直線AB經(jīng)過定點；當弦PA與弦PB所在直線的斜率之積為-1時，求證直線AB的斜率定值.試題1-5與上述高考試題的命題思路、考查目標等高度吻合.試題1-5的求解分析：第一問都是利用常規(guī)方法求動點軌跡方程或根據(jù)圓錐曲線的性質特征求指定曲線方程，都不難求出曲線方程.第二問的解答，首先需要考慮直線AB的斜率是否存在，然后寫出直線AB的方程，聯(lián)立直線AB與曲線方程，寫出判別式，利用韋達定理，根據(jù)弦PA與弦PB所在直線的斜率之積為-1或之和為0列出關于直線AB的斜率與截距的關系式,進而判斷出直線恒過定點或直接求出直線AB的斜率為定值，即可得證.

本文根據(jù)題源，猜想、驗證、研究了兩個命題，并命制了若干道試題，是否還能命制更多、更妙的相關試題？有待大家一起思考、探究，如：當弦PA與弦PB所在直線的斜率之積為1時，直線AB是否經(jīng)過定點等命題，我們也可以先用幾何畫板進行畫圖探討，觀察直線AB的變化規(guī)律，然后再加以證明.

試題本源的探究永無止境，高考試題是高考命題組專家的集體智慧結晶，只有深度研究、剖析高考試題，以高考命題專家的視角，來思考高考問題，方可真正領會課改精神，弄清命題思路，把握高考脈搏.探求試題本源，提高命題技能，促進教師專業(yè)發(fā)展，命制高質量的模擬題、教學例題、訓練試題有利于變式教學的開展，為學生的深度學習提供有力的支持，提高高三備考的效率.