高考易錯題舉例分析

陜西 侯有岐

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)題，推理與證明、概率與統(tǒng)計、解析幾何等在內(nèi)容方面的變化雖然不大，但是它們的地位卻提高了不少，尤其是概率與統(tǒng)計是去年全國卷Ⅰ的壓軸題，解析幾何是全國卷Ⅱ的壓軸題.要想在高考中得心應(yīng)手地解決這三個模塊的問題，不僅要通過系統(tǒng)認(rèn)真地學(xué)習(xí)，還應(yīng)注意對易錯、易混問題進(jìn)行辨析，確保此類問題不出錯或少出錯，提高得分率.所以找準(zhǔn)高考易失分點(diǎn)，對易錯、易混的高考熱點(diǎn)問題進(jìn)行專項訓(xùn)練就顯得尤為重要.本文對推理與證明、概率與統(tǒng)計、解析幾何中常見的易錯、易混、易忘的典型題歸類整理，并進(jìn)行易錯點(diǎn)剖析，以供讀者參考.

一、推理與證明

1對任意正整數(shù)n，猜想2n與n2的大小關(guān)系是________.

易錯點(diǎn)分析本題易出現(xiàn)的問題是列出的數(shù)據(jù)太少，歸納不全面，為此，對于特殊項要多驗證幾項，以便掌握更多歸納的特征，同時要根據(jù)變化規(guī)律和趨勢作判斷.

解析當(dāng)n=1時，21>12；當(dāng)n=2時，22=22；當(dāng)n=3時，23<32；

當(dāng)n=4時，24=42；當(dāng)n=5時，25>52；當(dāng)n=6時，26>62；

所以可以猜想：當(dāng)n=3時，2n

2在四面體S-ABC中，平面SAB、平面SAC、平面SBC與底面ABC所成角分別為α1，α2，α3，三條側(cè)棱SC，SB，SA與底面ABC所成角分別為β1，β2，β3，三個側(cè)面△SAB、△SAC、△SBC的面積分別為S1,S2,S3.類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個猜想是.

易錯點(diǎn)分析本題易錯誤猜想空間圖形中三個側(cè)面積與線面角的正弦的比相等.一般在立體幾何中，與平面幾何中兩相交直線所成角相類比的是兩個平面組成的角，即二面角.

解析由類比思想可得,在四面體S-ABC中有

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*且k≥1)時，f(k)<1成立，

即當(dāng)n=k+1時，命題也成立.

由①②知，不等式對任意n∈N*都成立.

易錯點(diǎn)分析由a+b>0可知a,b既可以同正，也可以存在一正一負(fù)的情況，因而考慮要全面. 另外，“等號”成立的條件的判斷也要特別注意.

②當(dāng)a,b有一個為負(fù)數(shù)時，不妨設(shè)a>0,b<0.

因為a+b>0，所以a>|b|.

又因為n為偶數(shù)，所以(an-bn)(an-1-bn-1)>0.

綜上①②可得，原不等式成立.

易錯點(diǎn)分析運(yùn)用類比推理解決問題時，首先明確類比關(guān)系，然后分析類比的角度.本題的類比角度是等差數(shù)列中“除法”運(yùn)算的類比.

易錯點(diǎn)分析本題易忽視限制條件，機(jī)械類比，所以進(jìn)行結(jié)構(gòu)類比時，應(yīng)仔細(xì)推敲，找出異同，合理變形.

8命題“若(x-1)(x+2)=0，則x=1”的否定應(yīng)該是.

易錯點(diǎn)分析命題的否定是對整個命題的否定，而非只對其結(jié)論進(jìn)行否定，即“若p,則q”的否定寫為“若p，則┐q”不一定準(zhǔn)確.本題如果寫成“若(x-1)(x+2)=0，則x≠1”是錯誤的.

解析本題的否定應(yīng)該是“并非對x∈R,若(x-1)(x+2)=0，則x≠1”，也就是“存在x∈R,使(x-1)(x+2)=0，且x≠1”.

二、概率與統(tǒng)計

1如圖所示，在等腰Rt△ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

易錯點(diǎn)分析合理選擇幾何“測度”使“非等可能”轉(zhuǎn)化為“等可能”是求解幾何概型問題的關(guān)鍵.本題中點(diǎn)M的選取是由在∠ACB內(nèi)部所作的射線CM決定的，所以該幾何概型應(yīng)用角度來度量，而不是用線段的長度來度量.

( )

A.10 B.-10 C.20 D.-20

易錯點(diǎn)分析此類題易把二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)混淆.求某項的二項式系數(shù)或系數(shù)，主要是利用通項公式求出相應(yīng)的項，但要注意某項的二項式系數(shù)與系數(shù)兩者的區(qū)別.

3有編號分別為1、2、3、4的四個盒子和四個小球，把小球全部放入盒子.問：(1)共有多少種放法？ (2)恰有一個空盒，有多少種放法？

易錯點(diǎn)分析在解排列、組合綜合應(yīng)用題時要注意先選后排；先分組再排列的原則,這樣不易出錯.本題中的任務(wù)是把小球放入盒中即可，并沒有要求每盒中放一個小球,只有正確理解題意，才不會犯計數(shù)重復(fù)或遺漏的問題.

解析(1)1號小球可放入任意一個盒子內(nèi)，有4種放法.同理，2、3、4號小球也各有4種放法.故共有44=256種放法.

4某人有5把鑰匙，其中有1把可以打開房門，但他忘記了開門的是哪一把，于是他逐把不重復(fù)的試開，那么恰好第3次打開房門的概率是.

5一件商品從設(shè)計到成品，一共要經(jīng)過六道加工工序.如果各道工序出次品的概率依次是1%,2%,3%,3%,5%,5%,那么這種商品的次品率是多少？

易錯點(diǎn)分析順利完成本題首先要正確區(qū)分互斥事件與獨(dú)立事件的概念，雖然它們都是研究兩個事件的關(guān)系，但互斥的兩個事件是在一次試驗中得到的，相互獨(dú)立的兩個事件是在兩次試驗中得到的.另外，在處理獨(dú)立事件時，一般要用到補(bǔ)集的思想，即先求其對立事件的概率，然后間接求得結(jié)果.

解析在商品生產(chǎn)過程中，只要有一道工序出次品，那商品就是次品.已知每道工序出次品的概率分別為1%,2%,3%,3%,5%,5%,則商品不出次品的概率為(1-1%)(1-2%)(1-3%)(1-3%)(1-5%)(1-5%)，因而可得商品出次品的概率為1-(1-1%)(1-2%)(1-3%)(1-3%)(1-5%)(1-5%)≈17.6%.

6從122個零件中抽取20個零件進(jìn)行檢驗，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣從122個零件中剔除2個零件，剩下的120個零件再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取20個零件，則在這122個零件中，每個零件入選的概率

( )

A.不全相等

B.均不相等

7在裝有4個黑球6個白球的袋子中，任取2個，試求：

(1)不放回地抽取，取到黑球數(shù)X的分布列；

(2)有放回地抽取，取到黑球數(shù)Y的分布列.

易錯點(diǎn)分析本題易將二項分布和超幾何分布混淆致誤.事實(shí)上，超幾何分布是無放回地抽取，即每做一次試驗，下一次再發(fā)生同一事件的概率已經(jīng)發(fā)生了變化，即每次發(fā)生的概率都不相等，它實(shí)質(zhì)上是古典概型的特例；二項分布是有放回地抽取，即每做一次試驗，發(fā)生同一事件的概率相同.但他們確實(shí)有著密切的聯(lián)系，樣本容量越大，超幾何分布和二項分布的對應(yīng)概率相差越小，當(dāng)樣本個數(shù)無窮大時，超幾何分布和二項分布對應(yīng)的概率就相等，換言之超幾何分布的極限就是二項分布.

所以隨機(jī)變量X的分布列是

X 012P13815215

所以隨機(jī)變量Y的分布列是

Y012P0.360.480.16

8盒子中有大小相同的球10個，其中標(biāo)號為1的球3個，標(biāo)號為2的球4個，標(biāo)號為5的球3個.第一次從盒子里任取1個球，放回后第二次再任取1個球(假設(shè)取到每個球的可能性都相同).記第一次與第二次取出的球的標(biāo)號和為ξ.試求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

易錯點(diǎn)分析離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差是概率統(tǒng)計的重點(diǎn)內(nèi)容，其中隨機(jī)變量的取值很容易出現(xiàn)錯誤，因而解題時應(yīng)認(rèn)真推敲，而對于概率通常利用所有概率之和是否等于1來進(jìn)行檢驗.

解析由題意可得，是放回地抽取，即兩次可能抽到標(biāo)號相同的球，所以隨機(jī)變量ξ的取值為2，3，4，6，7，10.

因為P(ξ=2)=0.3×0.3=0.09，P(ξ=3)=2×0.3×0.4=0.24，P(ξ=4)=0.4×0.4=0.16，P(ξ=6)=2×0.3×0.3=0.18，P(ξ=7)=2×0.4×0.3=0.24，P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09.

所以隨機(jī)變量ξ的分布列是

ξ 2346710P0.090.240.160.180.240.09

所以隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望是E(ξ)=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.

三、解析幾何

1求經(jīng)過點(diǎn)A(3,6)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.

易錯點(diǎn)分析截距概念領(lǐng)會不清，直線在坐標(biāo)軸上的截距可以是正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，本題容易漏掉截距為零的情況.

解析①若截距為0，因為直線經(jīng)過點(diǎn)A(3,6)，所以y=2x為所求的直線.

綜上①②可得，所求的直線方程為y=2x或x+y-9=0.

易錯點(diǎn)分析本題容易忽視切線斜率不存在的情況，從而導(dǎo)致漏解.

解析顯然點(diǎn)M(2,4)不在圓上，故

①當(dāng)切線斜率存在時，可設(shè)切線方程為y-4=k(x-2)，

②當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x=2，此時圓心到直線的距離等于半徑，符合題意.

綜上①②可得，所求切線方程為x=2或4x-3y+4=0.

3若動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線l:y=0的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是

( )

A.線段 B.直線

C.橢圓 D.拋物線

易錯點(diǎn)分析本題易忽視拋物線定義中定點(diǎn)不在定直線上的條件.拋物線的定義既給出了拋物線的判定，又給出了拋物線的性質(zhì)，理解拋物線定義的實(shí)質(zhì)|PF|=d(d是動點(diǎn)P到定直線l的距離)及限制條件定點(diǎn)F不在定直線l上，是應(yīng)用定義解題的前提.

易錯點(diǎn)分析求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時,根據(jù)||PF1|-|PF2||=2a求解，但要注意對所求結(jié)果進(jìn)行必要的驗證(負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于c-a).這里實(shí)質(zhì)上用到雙曲線的一個隱含條件：雙曲線的一個頂點(diǎn)到另一分支上的點(diǎn)的最小距離是2a，到一個焦點(diǎn)的距離是c-a，到另一個焦點(diǎn)的距離是c+a.

解析雙曲線的實(shí)軸長為8，由雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||=8,

所以|9-|PF2||=8，所以|PF2|=1或17.

因為|F1F2|=12，當(dāng)|PF2|=1時，|PF2|=1

易錯點(diǎn)分析本題在求解過程中，往往只考慮由不等式解得的范圍，而忽視橢圓離心率的范圍致錯，對于橢圓的離心率必須滿足0

所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，

由圖知，b≤c

( )

易錯點(diǎn)分析忽視橢圓焦點(diǎn)的位置，想當(dāng)然地認(rèn)為焦點(diǎn)只在x軸上或只在y軸上，因考慮不全而犯“對而不全”的錯誤.

解析①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，因為a2=2,b2=m，所以c2=2-m，

②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，因為b2=2,a2=m，所以c2=m-2，

7過點(diǎn)(0,1)的直線與拋物線y2=2x有且僅有一個交點(diǎn)，則直線方程為.

易錯點(diǎn)分析本題易忽視斜率k=0與斜率不存在的情形，對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點(diǎn)”理解不透徹.

解析①當(dāng)所求直線斜率k=0時，直線為y=1，平行于x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個交點(diǎn);

②當(dāng)所求直線斜率k不存在時，即直線垂直于x軸時，因為過點(diǎn)(0,1)，所以x=0，即y軸，它正好與拋物線y2=2x相切，也只有一個交點(diǎn);

綜上①②③可得，滿足條件的直線方程為y=1或x=0或x-2y+2=0.

易錯點(diǎn)分析利用“點(diǎn)差法”求出中點(diǎn)弦所在直線的斜率，并寫出方程后，因沒有利用判別式判斷直線與雙曲線是否有交點(diǎn)致誤.

解析假設(shè)存在被點(diǎn)B(1,1)平分的弦MN,且設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，

則x1+x2=2，y1+y2=2.

因為Δ=16-4×2×3=-8<0，所以此直線與雙曲線無交點(diǎn)，與假設(shè)矛盾.

故這樣的直線不存在.