不等式“恒成立”“存在成立”問題的破解策略

福建 吳志鵬 陳玉蘭

不等式“恒成立”與“存在成立”問題是高考熱點(diǎn)也是難點(diǎn).它考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理和運(yùn)算求解能力，要求學(xué)生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功和較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).不等式“恒成立”與“存在性”問題屬于“全稱量詞與存在量詞”的考查范疇，考綱要求并不復(fù)雜，但它涵蓋的知識(shí)量大，試題的難易度能得到比較好的控制.既可作為基礎(chǔ)題進(jìn)行考查，有時(shí)也出現(xiàn)在選做題中；但它作為壓軸題考查時(shí)，常表現(xiàn)為一題中既有若干研究對(duì)象即若干函數(shù)(常見2個(gè))，有若干變量，又有“存在”或“任意”等量詞的干擾，致使很大一部分的學(xué)生“望題生畏”，為了降低學(xué)生的解題難度，我們總結(jié)了以下破解策略.

一、排除干擾

弄清我們所要研究的對(duì)象，對(duì)于一些問題我們通過分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法等獲得以下兩個(gè)模型(包含了恒成立與存在成立)：

1.x∈D,m≥f(x)(m≤f(x))成立.

變式：①x∈D,m≥f(x)±g(x)(m≤f(x)±g(x))成立；

②x∈D,m≥f(x)·g(x)(m≤f(x)·g(x))成立；

由于f(x),g(x)的變量是同一的，此時(shí)我們可將f(x),g(x)的關(guān)系式設(shè)為函數(shù)T(x)，這樣就能減少所需研究函數(shù)的個(gè)數(shù)，有助于提高解題效率.

2.x1∈A,x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立或x1,x2∈A,f(x1)-f(x2)<0成立;

由于函數(shù)的自變量不同一，x1,x2可以相同也可以相異，為此我們必須分別研究函數(shù)f(x)與g(x)或是研究函數(shù)f(x)的最大值或最小值兩種情況.

研究對(duì)象的確定，主要是通過觀察函數(shù)自變量是否同一，同一則大多數(shù)情況可轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)來研究，不同一則分成兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行研究或是研究一個(gè)函數(shù)的兩種情況.

二、轉(zhuǎn)化確立

1.文字語言的轉(zhuǎn)化，問題的呈現(xiàn)形式有：不等式的解集為R，不等式f(x)>0的解集為空集即f(x)≤0的解為全體實(shí)數(shù)；不等式在區(qū)間[a,b]上成立;不等式的解集包含[a,b]，以上幾種說法通?？赊D(zhuǎn)化為不等式“恒成立”問題;不等式的解集不為空集；不等式有解;存在[a,b]，使得不等式成立等通?？赊D(zhuǎn)化不等式“存在成立” 問題 .

2.對(duì)于不等式“恒成立”和“存在成立”這兩類問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值比較問題，并利用其結(jié)果解決相應(yīng)的求參問題或不等關(guān)系的證明.利用不等式“恒成立”解決“存在成立”問題，用熟悉的知識(shí)解決不熟悉的內(nèi)容，是進(jìn)行這類轉(zhuǎn)化的一種較好的方法.

①?x∈D,m≥f(x)(m≤f(x))成立?x∈D,m≥f(x)max(m≤f(x)min).

②?x∈D,m≥f(x)(m≤f(x))成立?x∈D,m≥f(x)min(m≤f(x)max).

學(xué)生對(duì)不等式“恒成立”問題比較熟悉，圖形意識(shí)也比較強(qiáng)烈，這類問題部分學(xué)生能夠很好地掌握，對(duì)比“恒成立”問題與“存在成立”問題，其實(shí)質(zhì)只是對(duì)其最值的性質(zhì)進(jìn)行了變換，最大值與最小值的互換，這個(gè)特征也是不等式“恒成立”問題與“存在成立”問題最重要的區(qū)別，理解了其區(qū)別，轉(zhuǎn)化也就能做到“水到渠成”.

通過研究不等式恒成立問題：

?x1∈A,?x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立

?f(x)max≤g(x)min,f(x)的定義域是A,g(x)的定義域是B.

通過不等式“恒成立”研究獲得“存在成立”問題的三個(gè)結(jié)論：

①?x1∈A,?x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立

?f(x)max≤g(x)max,f(x)的定義域是A,g(x)的定義域是B.

②?x1∈A,?x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立

?f(x)min≤g(x)min,f(x)的定義域是A,g(x)的定義域是B.

③?x1∈A,?x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立

?f(x)min≤g(x)max,f(x)的定義域是A,g(x)的定義域是B.

三、函數(shù)研究

不等式“恒成立”“存在成立”問題轉(zhuǎn)化后就成了函數(shù)最值的比較，而要求函數(shù)的最值，就需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，可利用導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性的定義、基本不等式或函數(shù)的圖象等對(duì)其進(jìn)行研究，以獲得函數(shù)在定義域內(nèi)的最值.

四、結(jié)論獲取

通過比較函數(shù)的最值大小獲得參數(shù)的取值范圍或證明不等關(guān)系.

又3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1，

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

則f(x)-f′(x)=g(x)+h(x)，

設(shè)φ(x)=-3x2-2x+6,則φ(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減，因?yàn)棣?1)=1,φ(2)=-10,

所以存在x0∈(1,2)，使得φ(x0)=0，且

當(dāng)10,h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x0

【例2】(2015·全國(guó)卷Ⅱ理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

(Ⅰ)證明：f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(Ⅱ)若對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

解：(Ⅰ) 證明：略

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增，即f(x)在[-1,0]單調(diào)遞減，在[0,1]單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=0處取得最小值.

當(dāng)m=0時(shí),f(x)=1+x2，此時(shí)f(x)在[-1,1]上的最大值為2，最小值為1,

所以此時(shí)|f(x1)-f(x2)|≤2-1≤e-1成立.

當(dāng)m≠0時(shí)，f(-1)=e-m+1+m,f(1)=em+1-m,

令g(m)=f(1)-f(-1)=em-e-m-2m，由g′(m)=em+e-m-2≥0,

得g(m)在R上單調(diào)遞增;

而g(0)=0，所以當(dāng)m>0時(shí)，g(m)>0，即f(1)>f(-1),

所以當(dāng)m<0時(shí)，g(m)<0，即f(1)

當(dāng)m>0時(shí)，|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-1=em-m≤e-1?0

當(dāng)m<0時(shí)，|f(x1)-f(x2)|≤f(-1)-1=e-m+m≤e-1?-1≤m<0.

綜上所得m的取值范圍為[-1,1].

評(píng)析：本小題研究對(duì)象為函數(shù)f(x)，由于所給的自變量是不同一的，因此本題所研究的對(duì)象應(yīng)視為函數(shù)f(x)的兩種最值情況；對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1成立，可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[-1,1]上,|f(x1)-f(x2)|max≤e-1成立；研究函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的最大值與最小值問題；最后利用不等關(guān)系進(jìn)行比較獲得m的范圍.

g(x)在[1,2]上的最大值為max{g(1),g(2)}，所以有

解得m≥8-5ln2,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[8-5ln2,+∞).

評(píng)析：本題研究對(duì)象為不同的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)，且自變量也不是同一的，所以必須分別對(duì)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行研究，利用不等式成立的類型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即f(x)max≥g(x)max；在各自的定義域內(nèi)利用導(dǎo)數(shù)或其他手段研究函數(shù)，尋求所需的最值；最后利用不等關(guān)系求得m的取值范圍.

結(jié)語：不等式“恒成立”“存在成立”問題的破解策略：排除干擾，通過自變量是否同一確定函數(shù)是否可合一，以減少函數(shù)個(gè)數(shù)的研究；再將不等式“恒成立”“存在成立”兩類不同情況轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的某類最值問題，以“恒成立”為藍(lán)本進(jìn)行“存在成立”的轉(zhuǎn)化；利用所學(xué)知識(shí)對(duì)函數(shù)的圖象或性質(zhì)進(jìn)行研究，以獲得所需的最值；比較最值獲得參數(shù)的范圍或證得結(jié)論.突破以上幾個(gè)關(guān)鍵的解題環(huán)節(jié)，破解不等式“恒成立”“存在成立”問題就將變得“輕而易舉”，其內(nèi)容將不再是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).