探究函數(shù)最值問題求解之思維痛點(diǎn)

浙江 余繼光

診斷函數(shù)最值問題中的思維痛點(diǎn)癥狀——定義域變動引起思維之痛、復(fù)合結(jié)構(gòu)引起思維之痛和分類標(biāo)準(zhǔn)難定引起思維之痛等.探究其產(chǎn)生的根源——代數(shù)式結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化能力不強(qiáng)、求函數(shù)最值的基本方法不熟和綜合結(jié)構(gòu)分解的基本思想不牢.給出解除痛點(diǎn)的方法——識類型找準(zhǔn)方法、定標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)分類和善轉(zhuǎn)化變形到位.通過積累解除痛點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)，提升函數(shù)最值問題求解的成功率.

函數(shù)的最值問題依賴于函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則，一旦涉及參數(shù)，變動的定義域與復(fù)雜的對應(yīng)法則導(dǎo)致函數(shù)的最值求解時產(chǎn)生思維痛點(diǎn)，而函數(shù)的最值問題在高考數(shù)學(xué)命題中永不消逝.

一、思維痛點(diǎn)的主要癥狀

1.定義域變動引起的思維之痛

現(xiàn)象：忽略函數(shù)定義域而導(dǎo)致出錯.

解讀：

(1)此題重點(diǎn)不是數(shù)列概念而是函數(shù)概念，特別是函數(shù)的定義域意識，許多學(xué)生忽略了函數(shù)定義域而導(dǎo)致出錯；

2.復(fù)合結(jié)構(gòu)引起的思維之痛

問題2：函數(shù)f(x)=-x2+3x+a，g(x)=2x-x2，若f(g(x))≥0對?x∈[0,1]恒成立，則a的取值范圍是________.

現(xiàn)象：復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化后，不等式恒成立轉(zhuǎn)化不到位.

分析：a≥g2(x)-3g(x)，對?x∈[0,1]恒成立，

設(shè)F(x)=y2(x)-3g(x)，則上式轉(zhuǎn)化為

求F(x)=g2(x)-3g(x)，x∈[0,1]時最大值，

g′(x)=2xln2-2x,x∈[0,1],

因?yàn)間′(0)>0,g′(1)<0,所以?x0∈[0,1]，使g′(x0)=0,

所以g(x)∈[1,g(x0)],所以F(x)在[1,g(x0)]上單調(diào)遞減.

所以F(x)max=F(1)=-2，所以a≥-2.

解讀：

(1)根據(jù)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一個不等式恒成立問題，然后變參分離轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)結(jié)構(gòu)的最值問題，定義域的判斷是解題的關(guān)鍵；

(2)在函數(shù)最值研究中，定義域意識非常重要，因?yàn)楦鶕?jù)函數(shù)的三要素，函數(shù)的值域或最值依賴于函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則，雖然此問題的對應(yīng)法則為復(fù)合結(jié)構(gòu)，但內(nèi)外層函數(shù)均為具體函數(shù)，不構(gòu)成難點(diǎn)，而函數(shù)定義域明確給出限制，必須考慮由于定義域限制而導(dǎo)致函數(shù)g(x)值域的限制，從而導(dǎo)致F(x)定義域的變化.

3.分類標(biāo)準(zhǔn)引起的思維之痛

現(xiàn)象：如何分類建立|AB|的函數(shù)沒有思路.

分析：當(dāng)x>0時，

(1)當(dāng)a>4時，直線y=4與函數(shù)f(x)的圖象沒有交點(diǎn)；

(2)當(dāng)a=4或a=0時，直線y=4與函數(shù)f(x)的圖象只有一個交點(diǎn)；

(3)當(dāng)0

所以g(a)=|xA-xB|=4，故g(a)的最大值為4.

解讀：

(1)從函數(shù)結(jié)構(gòu)上看，f(x)與對勾函數(shù)相關(guān)，但由于含參函數(shù)的本質(zhì)發(fā)生了變化，能從結(jié)構(gòu)上看出，當(dāng)a<0時，f(x)就不是對勾函數(shù)了；

(2)此函數(shù)含有絕對值與參數(shù)，都是引起分類討論的刺激信號，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定是一個難點(diǎn)，此處抓住“直線y=4與函數(shù)f(x)的圖象交點(diǎn)個數(shù)”進(jìn)行分類，看準(zhǔn)問題的關(guān)鍵點(diǎn)；

(3)此題g(a)的最大值并不完全是找到此函數(shù)后再求最值，而是根據(jù)g(a)的幾何意義，在分類討論中確定.

4.無理函數(shù)引起的思維之痛

問題4：N是等腰直角△ABC所在平面上一點(diǎn)，且點(diǎn)N與點(diǎn)A分別位于直線BC的兩側(cè)，如圖，若BN=4，CN=2，求四邊形ABNC面積的最大值.

現(xiàn)象：選擇變量建立關(guān)于面積的函數(shù)時思維受阻，建立關(guān)于面積的函數(shù)后，面對無理函數(shù)，如何求其最值思維也受阻.

分析：在△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,則a2=2b2，為了建立關(guān)于△BCN面積的函數(shù)，需要：

=5+4(sinθ—cosθ)(變換化簡函數(shù))

解讀：

(1)此題第一步是建立面積函數(shù)模型，要選擇變量，因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，邊之間有數(shù)量關(guān)系a2=2b2，而△BCN已知兩邊，必須找到夾角與此變量間的關(guān)系，于是用到余弦定理；

5.周期函數(shù)引起的思維之痛

問題5：已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x均有f(x)=kf(x+2)，其中常數(shù)k為負(fù)數(shù)，且f(x)在區(qū)間[0,2]上有表達(dá)式f(x)=x(x-2).

(Ⅰ)求k的值并判斷f(x)的周期性；

(Ⅱ)寫出f(x)在[-3,3]上的表達(dá)式，并討論函數(shù)f(x)在[-3,3]上的單調(diào)性；

(Ⅲ)求出f(x)在[-3,3]上的最小值與最大值.

現(xiàn)象：如何確定k的值思維受阻，對函數(shù)周期性的分析思維受阻.

分析：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=kf(x+2),所以f(x+2)=kf(x+4)，所以f(x)=k2f(x+4)，

所以k2=1，又k<0，所以k=-1，所以f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4)，

從而函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以f(x)在[-3,3]上的單調(diào)增區(qū)間為[-3,-1],[1,3]，單調(diào)減區(qū)間為[-1,1];

(Ⅲ)f(x)在[-3,3]上的最小值為-1，此時x=-3或x=1;最大值為1，此時x=-1或x=3.

解讀：

(1)此題確定k值的思維方法是難點(diǎn)，很重要也非常經(jīng)典，值得學(xué)生學(xué)習(xí)借鑒；

(2)由k值的確定，然后判斷函數(shù)的周期性是常規(guī)思路；

(3)當(dāng)函數(shù)解析式與單調(diào)性都比較明確后，確定函數(shù)的最值就顯得簡單多了.

6.含參函數(shù)引起的思維之痛

現(xiàn)象：分類出錯，討論不到位，二次函數(shù)最值與對稱軸之間關(guān)系把握不到位.

解讀：

(1)此題為文科高考數(shù)學(xué)題,對二次含參函數(shù)求最值是一個經(jīng)典思維過程，抓住二次函數(shù)對稱軸進(jìn)行分類是一個基本的思路；

(2)通過函數(shù)圖象的分類表示，學(xué)生可以較清晰的理解“拋物線弧”的分類與最值的關(guān)系；

(3)一個動拋物線在定區(qū)間上的最值，一般是一個分段函數(shù)，最后結(jié)論表達(dá)要規(guī)范完整.

二、思維痛點(diǎn)的產(chǎn)生之源

1.代數(shù)式結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化能力不強(qiáng)

函數(shù)對應(yīng)法則的信息中，代數(shù)式是基本的，因此代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的判斷或轉(zhuǎn)化成為函數(shù)最值的“第一殺手”，然而，學(xué)生由于代數(shù)式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化能力不強(qiáng)導(dǎo)致求解失敗或受阻.

2.求函數(shù)最值的基本方法不熟

求函數(shù)最值問題的基本方法很多，不同類型的函數(shù)要用不同的方法處理，由于學(xué)生掌握的函數(shù)最值的求解基本方法不足或運(yùn)用不熟，從而找不到問題求解的基本思路.

3.綜合結(jié)構(gòu)分解的基本思想不牢

解決函數(shù)最值問題的基本思想方法——判斷函數(shù)最值的類型+轉(zhuǎn)化技巧+變形能力+分類和運(yùn)算能力，是問題突破的基本途徑.沒有在腦海中建立起這些基本思想方法，就無法解決此類問題，痛點(diǎn)自然產(chǎn)生.

三、思維痛點(diǎn)的解除之法

1.識類型找準(zhǔn)方法

函數(shù)最值問題的類型比較多，每一個類型都有其特點(diǎn)，解決此類最值相應(yīng)的方法要熟悉，不能用錯.比如，判別式法求某一類二次函數(shù)的最值時，使用限制條件很關(guān)鍵，否則就要出錯.

解法1：判別式法

首先，y≠1，y(x2-x+1)=x2-x+3，

即(y-1)x2-(y-1)x+y-3=0，

Δ=(y-1)2-4(y-1)(y-3)≥0，(y-1)(-3y+11)≥0.

解法2：對勾函數(shù)單調(diào)法

u+1≥1，1

2.定標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)分類

問題3中分類標(biāo)準(zhǔn)的確定是一種智慧，在一個綜合數(shù)學(xué)題中，把握問題中的矛盾點(diǎn)是分類標(biāo)準(zhǔn)制定的基石.眾所周知，三個數(shù)比較大小判斷誰最大，兩兩比較后確定或?qū)ふ摇皹颉碑?dāng)媒介來比較，然后確定誰最大.

3.善轉(zhuǎn)化變形到位

復(fù)雜結(jié)構(gòu)函數(shù)的最值，一般都要進(jìn)行一些轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的目的就是歸類，類型找準(zhǔn)了，方法使用對了，函數(shù)的最值探求就解決了一半.

解法2簡潔，但配方過程技巧太高，這種配方技巧并非普通學(xué)生通過個人努力即可掌握，學(xué)生看到這樣的解答可能會有挫敗感：是不是我能力不夠(不會配方)，不能解這個問題呢？一個好的問題和解答，是可以幫助人改善自我的，是可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)的樂趣和信心的.

通過把條件作一系列等價轉(zhuǎn)化，原問題被轉(zhuǎn)化為一個容易解決的熟悉問題，這時幾乎不需什么技巧和計算，就可以得到原問題的解答.

四、解除思維痛點(diǎn)積累經(jīng)驗(yàn)之旅

1.善于積累思維方法

善于不斷積累函數(shù)最值的各種分析方法，多角度變形，挖掘其特征，特別是各類可能情形的全面考慮，意在培養(yǎng)全面思考問題的素養(yǎng)，而不僅是線性思考某一個問題；對于函數(shù)最值問題，學(xué)會分解到基礎(chǔ)知識與基本方法層面，然后逐一解決，這也是在培養(yǎng)面對復(fù)雜問題時，認(rèn)識問題本質(zhì)，化整為零，個個擊破的素養(yǎng).

2.及時解除思維痛點(diǎn)

及時解除解決有關(guān)函數(shù)最值問題中遇到的思維痛點(diǎn)，一方面積極地面對函數(shù)結(jié)構(gòu)變形中的痛點(diǎn)，分析原因，找到產(chǎn)生痛點(diǎn)的根源；另一方面尋找解除痛點(diǎn)的思路與方法，這一過程本身也是積累在這一領(lǐng)域的求解經(jīng)驗(yàn)，從而駕馭此類問題的求解.

3.勤于總結(jié)思維經(jīng)歷