聚焦核心素養(yǎng)，深度探究變式
——一類解析幾何面積最值問題的教學(xué)實(shí)錄及反思

廣東 駱妃景 潘敬貞

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備課，肩負(fù)著回顧及梳理知識(shí)的來龍去脈、提高學(xué)生數(shù)學(xué)“四能”、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平等重任.怎樣才能實(shí)現(xiàn)高效備考、提高學(xué)生解題能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是每位高三數(shù)學(xué)教師必須用心研究的課題，筆者在教學(xué)實(shí)踐中基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)開展深度教學(xué)研究.實(shí)踐表明，“聚焦核心素養(yǎng)，開展深度教學(xué)”的教學(xué)模式對(duì)提高高三復(fù)習(xí)效益、提升學(xué)生的思維廣度和深度、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升大有幫助.聚焦核心素養(yǎng)的深度教學(xué)是以學(xué)生為主體、以數(shù)學(xué)問題為核心、以變式探究為主線、由表及里、層層遞進(jìn)、循序漸進(jìn)地讓學(xué)生經(jīng)歷問題的探究過程、拓寬思維寬度、體驗(yàn)解題過程、積累解題經(jīng)驗(yàn)，最終掌握解決問題的通性通法.本文以“一類解析幾何面積最值問題的教學(xué)”為例，從一條直線與橢圓的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線圍成的三角形面積基礎(chǔ)題出發(fā)，開展深度變式探究教學(xué).現(xiàn)將課堂教學(xué)實(shí)錄及其反思整理如下，以期達(dá)到拋磚引玉之效.

一、教學(xué)實(shí)錄

1.基礎(chǔ)問題驅(qū)動(dòng)，理清基本思路

(學(xué)生思考，展示解法)

師：很好，這位同學(xué)的解題視角是直接根據(jù)三角形的面積公式，選擇邊AB為底，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理求出AB的長(zhǎng)度，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出AB邊上的高，從而根據(jù)三角形的面積公式求出△AOB的面積.其他同學(xué)有不同的解法嗎？

生2：我的思路與生1的思路大致一樣，但我是先解方程求出A，B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的長(zhǎng)度，這樣解計(jì)算量很大.

師：嗯嗯，直線方程與曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程容易解，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)也不失為好選擇，所以我們解題時(shí)要善于選擇合適的方法，方可優(yōu)化運(yùn)算，簡(jiǎn)化解題過程，提高解題效率.

生3：根據(jù)之前的經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)锳B過x軸上的定點(diǎn)，所以我利用分割法求△AOB的面積，也就是將△AOB分割為以O(shè)F2為同底的兩個(gè)三角形(△AOF2與△BOF2).

【設(shè)計(jì)意圖】以一個(gè)相對(duì)基礎(chǔ)而又重要的問題為切入，學(xué)生自己動(dòng)手解答，既能快速有效地吸引學(xué)生的注意力，進(jìn)行問題的思考與解答，探究解法，優(yōu)化運(yùn)算過程與解答過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，又能引導(dǎo)學(xué)生回顧求解直線與圓錐曲線相交弦與已知點(diǎn)圍成的三角形面積問題的常用方法，內(nèi)化數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，提升對(duì)問題的整體把握能力，為后面開展深度探究活動(dòng)提供了良好的素材和鋪墊.

2.聚焦核心素養(yǎng)，深度變式探究

師：能否適當(dāng)改變問題1的條件，并得到相應(yīng)的結(jié)論呢？請(qǐng)大家思考，小組合作討論，自己動(dòng)手變式.(通過小組討論，教學(xué)巡堂引導(dǎo)，給出以下變式)

生4：因?yàn)橐阎本€l過F1，所以只需求出直線l的斜率就能利用點(diǎn)斜式得到其方程.根據(jù)問題1的解題經(jīng)驗(yàn)，利用分割法求△ABF2的面積.

則Δ=72k4-4(1+3k2)(6k2-3)=12k2+12>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

整理得k2=1，即k=±1，

師：非常棒，這位同學(xué)在設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程時(shí)很細(xì)心，先考慮直線斜率不存在的情況，這是很多同學(xué)容易遺漏的，生4邏輯非常嚴(yán)謹(jǐn)，思維很縝密！還有其他解法嗎？

則Δ=8m2-4(3+m2)(-1)=12m2+12>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

師：哇，非常好，學(xué)以致用，用分割法求面積，并反設(shè)直線方程簡(jiǎn)化解答過程，大大減少了運(yùn)算量，有效回避討論直線的斜率是否存在，這是我們必須要熟練掌握的方法，生5非常善于靈活運(yùn)用學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，選擇最優(yōu)化的解題思路，值得我們?yōu)樗c(diǎn)贊！

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧求過x軸上的定點(diǎn)的直線方程的兩種常用方法，深刻體會(huì)兩種方法的優(yōu)劣，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算的意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升，并為下面更一般化的變式的簡(jiǎn)潔解答作鋪墊.

變式探究2：去掉問題1中“斜率為1”這一條件，求△AOB面積的最大值，并求出此時(shí)直線l的方程.

則Δ=8m2-4(3+m2)(-1)=12m2+12>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

我算到這里就被卡住了.

師：本題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，能做到這里已經(jīng)很棒了，解答的思路清晰明了，能圍繞目標(biāo)合理轉(zhuǎn)化，反設(shè)直線方程，有效地優(yōu)化運(yùn)算過程，利用分割法將三角形的面積構(gòu)造成自變量為m的函數(shù)，然后接下來再想辦法求S(m)的最值，此為解決該類問題的通性通法.那接下來怎樣求S(m)的最大值呢？哪位同學(xué)來挑戰(zhàn)一下？

師：很好，非常棒！換元法是一種非常重要的方法，換元法有效地將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉且簡(jiǎn)單的問題進(jìn)行解決，生7的解法就這樣，很巧妙地將問題解決了，大家可以學(xué)習(xí)借鑒.

(過了7分鐘，學(xué)生8上臺(tái)展示)

生8：因?yàn)橹本€l過x軸上的定點(diǎn)且斜率顯然不為0，故設(shè)直線l的方程為x=my+c，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

根據(jù)上題的經(jīng)驗(yàn)，用分割法求△AOB的面積，

即m=0，直線l的方程為x=c.

師：真的太棒了！經(jīng)歷了前面問題的學(xué)習(xí)，相信大家也積累了一些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，解決本題的思路雖然已清晰，但完整解決本道試題需要很強(qiáng)的運(yùn)算求解、推理論證等數(shù)學(xué)綜合能力.生8完成得非常漂亮，解答過程思路清晰，推理過程思維嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算能力更是棒，展現(xiàn)出了該同學(xué)具有較高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，大家為他的優(yōu)秀表現(xiàn)鼓掌(此時(shí)教室響起了熱烈的掌聲).

師：此時(shí)我想再提個(gè)問題，變式探究3的條件不變，請(qǐng)問△ABF1面積的最大值又是多少？它與△AOB面積的最大值有什么關(guān)系呢？大家思考一下，想好就直接說說自己的想法.

師：非常漂亮，利用分割法將△ABF1的面積分割成△AF1F2與△BF1F2的面積之和，很快就得出結(jié)論.因此，大家在解決問題時(shí)要善于觀察、分析尋找聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為基本問題解決.

師：本題與變式探究3有很多相似之處，解答思路也基本相同，但解答過程顯然更加復(fù)雜，對(duì)數(shù)學(xué)綜合能力的要求也更高.但生10依然完成得非常漂亮，大家為他鼓掌(此時(shí)教室響起了熱烈的掌聲).此時(shí)我們就完成了有關(guān)直線與橢圓相交的交點(diǎn)及某個(gè)特殊點(diǎn)的連線所圍成三角形面積的求解的探究過程，相信大家也掌握了該類問題的求解策略，但需要大家進(jìn)一步的探索與實(shí)踐.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生深入思考，親身經(jīng)歷對(duì)問題的自主探究與拓展，合作交流，積極參與數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)處理和變形，優(yōu)化技巧，總結(jié)歸納有關(guān)此類面積最值問題的一般策略，根據(jù)條件，建構(gòu)合理的函數(shù)模型，表示出三角形面積的函數(shù)解析式，然后結(jié)合已知條件利用不等式或者函數(shù)單調(diào)性求最值，抽象出一般性結(jié)論，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力與張力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.

為了讓學(xué)生多題歸一，進(jìn)一步鞏固上述研究方法和解題策略，將變式問題延伸到求兩條直線與橢圓相交的四個(gè)交點(diǎn)所圍成的四邊形面積，教師給出了變式探究5.

變式探究5：(2008·全國(guó)卷Ⅱ理·21)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).

(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.

師：有關(guān)四邊形面積最值問題，通常利用分割法轉(zhuǎn)化為三角形面積最值問題，如果四邊形的對(duì)角線相互垂直，其面積為兩條對(duì)角線長(zhǎng)度的積的一半，然后將面積最值問題轉(zhuǎn)化為距離最值問題.本題給我們的啟示是：解決一個(gè)復(fù)雜的問題可以通過合理的轉(zhuǎn)化為一個(gè)基本的問題.所以說，問題間是相互聯(lián)系的，大家在審題時(shí)要善于抽絲剝繭，發(fā)現(xiàn)題目中的“蛛絲馬跡”，然后將其聯(lián)系起來作為解題的線索，最后將問題轉(zhuǎn)化為基本問題加以解決.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，體會(huì)數(shù)學(xué)問題之間盤根錯(cuò)節(jié)的關(guān)系，加強(qiáng)知識(shí)橫向聯(lián)系，把散落的考題連成線、鋪成面、織成網(wǎng)，凸顯問題本質(zhì)，呈現(xiàn)題型規(guī)律，讓學(xué)生在不斷的“變”中深刻理解“不變”的本質(zhì)，進(jìn)一步提高發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力.

3.高考鏈接，鞏固提升

請(qǐng)大家選做課后四道高考真題，鞏固提升：

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

2.(2014·全國(guó)卷Ⅰ文·20)已知點(diǎn)P(2，2)，圓C:x2+y2-8y=0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)求M的軌跡方程；

(Ⅱ)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積.

【答案】(Ⅰ)(x-1)2+(y-3)2=2.

(Ⅰ)求M的方程；

(Ⅱ)C，D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

4.(2016·全國(guó)卷Ⅰ理·20)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

【設(shè)計(jì)意圖】高考題是專家的智慧結(jié)晶，高考題不僅有很好的選拔功能，同時(shí)也是教與學(xué)的好素材.因此應(yīng)基于真題，因材施教，彈性作業(yè)，鞏固所學(xué)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.

二、教學(xué)反思

圓錐曲線中有關(guān)面積問題是以直線與圓錐曲線相交為背景，以交點(diǎn)與特殊點(diǎn)的連線所圍成幾何圖形面積為研究對(duì)象.通過推理變形后提出有意義的問題.通過對(duì)問題的解答考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，考查運(yùn)算求解、抽象概括等能力，考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.此類題的求解對(duì)學(xué)生的能力要求比較高，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.因此圓錐曲線解答題的求解成為了眾多學(xué)生望而卻步的考題.不少學(xué)生面對(duì)圓錐曲線解答題的解答有一定的恐懼心理，乃至直接放棄解答.因此在復(fù)習(xí)備考中要聚焦核心素養(yǎng)，開展深度教學(xué)，以學(xué)生為主體，以數(shù)學(xué)問題為核心，以變式探究為主線，由表及里，層層遞進(jìn)，循序漸進(jìn)地讓學(xué)生掌握解決問題的通性通法.在復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)要特別注重引導(dǎo)學(xué)生理解解析幾何的基本思想(坐標(biāo)法)，要求學(xué)生必須有畫圖、析圖、用圖的意識(shí)和習(xí)慣，只有借助圖形，才能正確分析問題，尋找思路，解決問題.重視對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過程的目的.

本節(jié)課以“與過橢圓焦點(diǎn)的直線與原點(diǎn)圍成的三角形面積問題”為核心問題，由淺入深，不斷在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行辨識(shí)探究，使學(xué)生能夠“跳一跳，夠得著”，讓課堂在學(xué)生自主探究、小組合作中迸發(fā)思維的火花，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.深度變式探究，盡管問題在變，探究的角度在變，但問題的本質(zhì)不變，解題方法不變.

深度變式探究問題要具有延展性.本節(jié)課不斷地在變式中尋求不變點(diǎn)，讓學(xué)生認(rèn)清問題的核心，掌握解題方法.從過橢圓焦點(diǎn)的定直線與原點(diǎn)圍成的三角形面積引入，題目簡(jiǎn)單，方法易選擇，運(yùn)算注技巧，細(xì)節(jié)要完善.將問題延展到過橢圓焦點(diǎn)的動(dòng)直線與原點(diǎn)圍成的三角形面積最值，由特殊到一般，與定橢圓相交的任意直線與原點(diǎn)圍成的三角形面積最值，步步展開，讓學(xué)生在“變”中掌握“不變”的解題方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).最后利用高考真題探究，讓學(xué)生把解決問題的方法遷移到兩條直線與橢圓相交所圍成四邊形的面積，形成相關(guān)系列問題，將考題有序地串聯(lián)起來，這樣的變式延展，能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)在變化中抓住不變量，“以不變應(yīng)萬變”.在學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力與張力，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神.