核心素養(yǎng)視域下的高三數(shù)學(xué)微專題教學(xué)的實(shí)踐與思考
——以“求圓錐曲線的離心率范圍問題”教學(xué)為例

江蘇 張改霞 張啟兆

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課質(zhì)量的高低直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的深入理解、思維能力的提升及良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.近年來(lái)，微專題復(fù)習(xí)課正成為大家廣泛認(rèn)同的一種有效的課型.所謂“微專題”，是指立足于具體的學(xué)情、教情和考情，選擇一些切入點(diǎn)小、角度新、針對(duì)性強(qiáng)的“微型”復(fù)習(xí)專題，力求解決復(fù)習(xí)中的真問題和實(shí)問題.求圓錐曲線的離心率范圍問題是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，但是由于這類題型條件隱晦，涉及面廣泛，不少同學(xué)面對(duì)這類問題時(shí)往往不知從何入手.本文結(jié)合“求圓錐曲線的離心率范圍問題”談?wù)剬?duì)“微專題”復(fù)習(xí)的一些思考.

1.認(rèn)知的基礎(chǔ)性——通過知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的梳理，構(gòu)建起解決某一類問題較為清晰的“路線圖”

微專題復(fù)習(xí)課要幫助學(xué)生梳理本專題所涉及的知識(shí)與方法，從而讓學(xué)生充分感悟不同問題之間的聯(lián)系，進(jìn)而形成對(duì)一類問題更為系統(tǒng)、全面的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生在頭腦中構(gòu)建起解決某一類問題較為清晰的“路線圖”做好準(zhǔn)備.以本專題為例，筆者設(shè)計(jì)了以下教學(xué)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生梳理認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的、但相對(duì)“零散”的求圓錐曲線離心率的范圍問題的知識(shí)和方法.

環(huán)節(jié)1 問題回顧

【設(shè)計(jì)意圖】由課本的習(xí)題出發(fā)，回顧求解圓錐曲線離心率的范圍問題的關(guān)鍵是尋找a，b，c之間的不等關(guān)系，基本方法是從幾何特征的角度出發(fā)尋找不等關(guān)系，或結(jié)合題目條件尋找不等關(guān)系，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決這類問題中的作用.

環(huán)節(jié)2 學(xué)生感悟

問題(1)：圓錐曲線離心率怎樣計(jì)算？

問題(2)：通過對(duì)圓錐曲線離心率計(jì)算公式的研究，發(fā)現(xiàn)求解圓錐曲線離心率的范圍問題的關(guān)鍵是什么？(尋找a，b，c之間的不等關(guān)系)

問題(5)：從哪些方面尋找a，b，c之間的不等關(guān)系？(從題意出發(fā)、從圓錐曲線的定義出發(fā)、從幾何特征的角度出發(fā)、從橢圓和雙曲線自身性質(zhì)出發(fā)，如利用焦半徑的范圍)

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想重新審視求解圓錐曲線離心率的范圍問題的過程，為學(xué)生自主生成求解圓錐曲線離心率范圍的方法做準(zhǔn)備.

2.選題的針對(duì)性——以高考熱點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)為主要對(duì)象

求圓錐曲線離心率的范圍這類試題綜合性較強(qiáng)，靈活多變，能有效地考查考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在實(shí)際復(fù)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于求解函數(shù)的取值范圍的本身就感到困難，再放到圖形中，結(jié)合“形”來(lái)考慮，更是提高了對(duì)能力要求的考查.基于高考的考點(diǎn)要求與學(xué)生思維能力的現(xiàn)狀，選擇以“求圓錐曲線的離心率范圍問題”為研究對(duì)象.

在此類問題中，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題是各類考試的熱點(diǎn)，經(jīng)久不衰，題型靈活多樣.

【設(shè)計(jì)意圖】從數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題情境引入，利用學(xué)生熟悉的焦半徑的性質(zhì)建立不等關(guān)系，彰顯了解決這類問題的核心數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)形結(jié)合，訓(xùn)練邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供解題方法.

【解題思路】遇到焦點(diǎn)三角形問題，以“形”入手，從幾何特征的角度出發(fā)，利用焦半徑的性質(zhì)建立不等關(guān)系.

方法1：利用焦半徑的性質(zhì)建立不等關(guān)系

由雙曲線的性質(zhì)知，|PF2|≥c-a(當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào))，

方法2：利用三角形中任意兩邊之和大于第三邊建立不等關(guān)系

【基本想法】(1)由雙曲線上某一點(diǎn)引出的兩條焦半徑滿足的數(shù)量關(guān)系問題，這類問題的離心率的最值往往是當(dāng)該點(diǎn)位于雙曲線的某頂點(diǎn)時(shí)取到；

(2)遇到雙曲線的焦點(diǎn)三角形，且已知兩條焦半徑的數(shù)量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用雙曲線的焦半徑范圍的限制求解，即利用雙曲線焦半徑PF≥c-a(點(diǎn)P與F在虛軸的同一側(cè)時(shí))或PF≥a+c(點(diǎn)P與F分別在虛軸的兩側(cè)時(shí))建立不等關(guān)系.

【評(píng)注】(1)方法1中消去PF1，當(dāng)然也可以選擇消去PF2，并利用PF1≥a+c建立不等關(guān)系.那么，此種利用焦半徑的性質(zhì)解題的思路是否適用于橢圓呢？

(2)方法2通過利用三角形中任意兩邊之和大于第三邊建立不等關(guān)系，這個(gè)解題思路是否適用于橢圓呢？

通過問題情境引出研究對(duì)象，這個(gè)問題切入口小，僅限于與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的最值，但卻是高考的熱點(diǎn)問題，解決好這類問題的關(guān)鍵是利用好焦半徑的幾何性質(zhì).

3.方法的明確性——以提煉數(shù)學(xué)思想方法為主要目標(biāo)

微專題復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)應(yīng)放在讓學(xué)生生成解決本專題問題的基本“路線圖”及滲透專題所反映一般數(shù)學(xué)思想方法上，而不只是關(guān)注單個(gè)題目的具體解法.要防止復(fù)習(xí)的“碎片化”，避免“就題論題”.將專題教學(xué)異化為同類題的綜合訓(xùn)練，起不到專題復(fù)習(xí)的效果.

【設(shè)計(jì)意圖】將學(xué)生置于新的問題情境中解決問題，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.多題一解，做一題，學(xué)一法，會(huì)一類，通一片.

【解題思路】這是一道與例1同一思路的題目，只是建立在不同的圓錐曲線背景下，利用橢圓焦半徑|PF2|∈[a-c，a+c]建立不等關(guān)系，學(xué)生能輕易寫出解法.

【評(píng)注】本題中也可用|PF1|∈[a-c，a+c]，本質(zhì)相同.

【基本想法】(1)遇到橢圓的焦點(diǎn)三角形，且已知兩條焦半徑的數(shù)量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用橢圓的焦半徑范圍的限制求解，即利用橢圓的焦半徑|PF|∈[a-c，a+c]建立不等關(guān)系；

(2)由圓錐曲線上某一點(diǎn)P引出的兩條焦半徑滿足的數(shù)量關(guān)系問題，這類問題的離心率的最值往往是當(dāng)該點(diǎn)位于圓錐曲線的某頂點(diǎn)時(shí)取到；

(3)例1的方法1利用焦半徑的性質(zhì)解題的思路適用于橢圓，例1的方法2利用“三角形中任意兩邊之和大于第三邊”建立不等關(guān)系的解題思路不適用于橢圓，因?yàn)樵跈E圓中，a>c恒成立，所以2a>2c恒成立，即|PF1|+|PF2|≥|F1F2|恒成立.

【思考】對(duì)照以上兩題，運(yùn)用類比推理的思想，是否可以將結(jié)論歸納推廣？

上述兩個(gè)結(jié)論只要分01兩種情況，利用方法1的思路容易證明，學(xué)生在解答此類問題的填空題時(shí)便可直接取相應(yīng)的頂點(diǎn)算出離心率的最值，可有效地縮短解題時(shí)間，提高解題正確率.

【設(shè)計(jì)意圖】“為遷移而教”，塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).訓(xùn)練邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】已知兩條焦半徑的夾角時(shí)，以“數(shù)”入手，在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用余弦定理、橢圓的定義，結(jié)合基本不等式尋找基本量的不等關(guān)系，訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合、直觀想象、相等與不等相互轉(zhuǎn)化的能力，以及分析問題、解決問題的能力.

【解題思路】畫出草圖(如圖)，利用余弦定理、橢圓的定義，結(jié)合基本不等式尋找基本量的不等關(guān)系.

由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a，設(shè)|F1F2|=2c(c>0)，

在△F1PF2中由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos120°=(2a)2-|PF1|·|PF2|，

【基本想法】已知兩條焦半徑的夾角時(shí)，在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用余弦定理、橢圓的定義，結(jié)合基本不等式尋找基本量的不等關(guān)系.

4.辨析的功能性——以靈活運(yùn)用，克服思維定式為主要作用

“微專題”研究到這里，學(xué)生基本能識(shí)別并解決一些有明顯特征的問題，但是要想將學(xué)生思維引向深處，達(dá)到增強(qiáng)思維靈活性的目的，還是不夠的，還要“趁熱打鐵”，做進(jìn)一步研究.

【設(shè)計(jì)意圖】提升對(duì)知識(shí)和方法的理解，本題將圓隱藏在已知條件里，隱晦地考查與圓相關(guān)的知識(shí)點(diǎn).解答這類問題時(shí)，需要我們分析和探索，挖掘出這些隱藏的圓(簡(jiǎn)稱隱形圓)，再利用和圓有關(guān)的知識(shí)從幾何特征的角度出發(fā)尋找基本量的不等關(guān)系，訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合、直觀想象的能力，以及分析問題、解決問題的能力.

【基本想法】挖掘出隱藏的圓(簡(jiǎn)稱隱形圓)，再利用和圓有關(guān)的知識(shí)從幾何特征的角度出發(fā)尋找基本量的不等關(guān)系，充分發(fā)揮圖形平面幾何性質(zhì)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.

【設(shè)計(jì)意圖】感知變化，選擇變量，運(yùn)用函數(shù)和方程思想建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(或最值)，并體會(huì)橢圓的對(duì)稱性和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在求解過程中的運(yùn)用，訓(xùn)練直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

【基本想法】建立目標(biāo)函數(shù)e=f(α)，利用題中的條件不等式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(或最值).

【例4】(2018·北京卷理·第14題改編)設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________.

【設(shè)計(jì)意圖】從幾何特性出發(fā)，尋找動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的臨界位置，體會(huì)極限思想和動(dòng)靜轉(zhuǎn)化思想，體會(huì)一般問題特殊化、分類討論等思想，訓(xùn)練數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

【解題思路】設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，如圖.由雙曲線的基本性質(zhì)可知，直線A1B1和A2B2關(guān)于x軸對(duì)稱.分類討論：

(2)若直線A1B1和A2B2與x軸的夾角均為60°，則將會(huì)有兩對(duì)相交于點(diǎn)O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，不滿足題意.

【基本想法】特殊化，即結(jié)合題干中的幾何特性尋找動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的臨界位置，尋找不等關(guān)系.

5.教學(xué)思考

微專題復(fù)習(xí)已成為提高高三學(xué)生數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)效率的有效辦法.如何設(shè)計(jì)微專題，才能提高教學(xué)效益？筆者有如下幾點(diǎn)思考.

5.1重基礎(chǔ)，通本質(zhì)，激活知識(shí)梳理

奧蘇貝爾認(rèn)為：有意義學(xué)習(xí)的發(fā)生和保持的最有效策略，就是利用適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)性材料對(duì)當(dāng)前所學(xué)新內(nèi)容加以定向與引導(dǎo)，唯有如此才能確保新舊知識(shí)間建立實(shí)質(zhì)性的、非人為的聯(lián)系，并把這種引導(dǎo)性材料稱之為“先行組織者”.這就提醒我們要千方百計(jì)地摸底調(diào)査學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，竭盡全力地弄清學(xué)生經(jīng)歷過的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并據(jù)此設(shè)計(jì)出學(xué)習(xí)新知識(shí)的引導(dǎo)性材料.

微專題教學(xué)的本質(zhì)就是“為遷移而教”，為培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而教.“為遷移而教”的實(shí)質(zhì)是塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，微專題教學(xué)要重視學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，要從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)出發(fā)設(shè)計(jì)問題，激活知識(shí)梳理，構(gòu)建起解決某一類問題較為清晰的“路線圖”，這樣既順應(yīng)了學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，又能逐步改變學(xué)生的認(rèn)知圖式，從而使學(xué)生在新情境的問題解決過程中形成結(jié)構(gòu)化的、具有高度認(rèn)知靈活性的圖式.

5.2重過程，通思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的正確價(jià)值觀、必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力，是知識(shí)、能力、思維、方法、情感和價(jià)值觀的有機(jī)統(tǒng)一，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展不是一蹴而就的，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，一定要關(guān)注教學(xué)過程，使教學(xué)過程成為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體.

微專題教學(xué)講究“限時(shí)講授、合作學(xué)習(xí)、踴躍展示”.微專題教學(xué)對(duì)學(xué)生的要求是：有效先學(xué)、獨(dú)立思考、適當(dāng)合作、主動(dòng)交流、大膽質(zhì)疑、認(rèn)真傾聽、善于歸納；對(duì)教師的要求是：內(nèi)容科學(xué)、善于引導(dǎo)、充分激勵(lì)、語(yǔ)言精練、媒體適當(dāng).“微專題”教學(xué)中比較合適的教學(xué)過程是“小題引路，例題精講，變式鞏固”，即以小題帶動(dòng)知識(shí)與方法的復(fù)習(xí)，即知識(shí)梳理，以典型例題闡述知識(shí)和方法的應(yīng)用，輔之以變式串講，提升對(duì)知識(shí)和方法的理解，達(dá)到鞏固加深的目的.微專題教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成不是教師用簡(jiǎn)單的方式直接灌輸給學(xué)生，而是讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷解決問題的過程，通過師生、生生間的有效交流自主生成.微專題復(fù)習(xí)的導(dǎo)學(xué)案要留白，避免形成“全方位式”的導(dǎo)學(xué)案現(xiàn)象.變式教學(xué)的內(nèi)容不適宜提前印在導(dǎo)學(xué)案上，而是在課堂上生成，利用多媒體即時(shí)呈現(xiàn)，這樣才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，激勵(lì)學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，增強(qiáng)課堂生成的靈動(dòng)性.

微專題“求圓錐曲線的離心率范圍問題”結(jié)合學(xué)生實(shí)際，精心設(shè)計(jì)問題串，在問題的提出-分析-辨析-解決-基本想法的形成過程中，提升了學(xué)生的思維能力.每個(gè)問題最后要引導(dǎo)學(xué)生反思，及時(shí)進(jìn)行提煉概括，培養(yǎng)學(xué)生從圖形語(yǔ)言到數(shù)學(xué)語(yǔ)言再到符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化能力，最后形成的“基本想法”是提升學(xué)生思維、培育核心素養(yǎng)的有效途徑，也是微專題能真正幫助學(xué)生突破難點(diǎn)的關(guān)鍵.

5.3重反思，通算理，培養(yǎng)運(yùn)算能力

微專題復(fù)習(xí)常用“先解答后評(píng)講”的方式組織教學(xué)，既是根據(jù)高三教學(xué)特點(diǎn)，增加課堂容量，也是基于學(xué)情判斷，有針對(duì)性地教學(xué).在組織講評(píng)式復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)要區(qū)別于一般的習(xí)題講評(píng)課，要調(diào)研學(xué)生完成學(xué)案的情況，并重點(diǎn)關(guān)注四個(gè)問題：一是學(xué)生做斷的問題：教師應(yīng)詢問、了解學(xué)生為什么做不下去、卡売的原因是什么，思考解決的對(duì)策與方法；二是學(xué)生做錯(cuò)的問題：讓學(xué)生自覺發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，并引導(dǎo)學(xué)生思考出錯(cuò)的根源以及如何避免再犯錯(cuò)誤，并設(shè)計(jì)補(bǔ)償性問題；三是學(xué)生做繁的問題：繁的背后是什么?通常是對(duì)知識(shí)、方法認(rèn)識(shí)不全面，或是不能靈活選擇合理的方法，這時(shí)需設(shè)計(jì)最優(yōu)的解題算法；四是學(xué)生做對(duì)的問題：要求學(xué)生能講清解題思路的生成過程，思考題目背后的道理，理清不同解法包含的數(shù)學(xué)思想和解題策略.調(diào)研的目的是為了深入了解學(xué)情，調(diào)整和優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，既要針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤或易錯(cuò)點(diǎn)重點(diǎn)講評(píng)，也要對(duì)重要知識(shí)處進(jìn)行復(fù)習(xí).復(fù)習(xí)知識(shí)，串講方法，將知識(shí)與方法織成網(wǎng)絡(luò)，提升學(xué)生綜合應(yīng)用的能力.