突破圓錐曲線運算關(guān)的訓(xùn)練策略

浙江 朱旭穎

在一輪復(fù)習(xí)中，從圓錐曲線題的運算障礙看，圓錐曲線復(fù)習(xí)的關(guān)鍵點：一要突破運算心理障礙關(guān)；二要突破運算方法優(yōu)化關(guān)；三要突破運算方向有序關(guān).通過簡化訓(xùn)練、轉(zhuǎn)化訓(xùn)練和優(yōu)化訓(xùn)練提升圓錐曲線復(fù)習(xí)的有效性.

每年高考數(shù)學(xué)應(yīng)試中，學(xué)生得分較少且頭痛的題目之一就是圓錐曲線相關(guān)的問題——用代數(shù)方法解決幾何問題的重點對象，普遍認(rèn)為圓錐曲線問題運算量大，學(xué)生運算能力不足，在高考數(shù)學(xué)有關(guān)圓錐曲線的復(fù)習(xí)中，運算關(guān)是復(fù)習(xí)突破的第一要務(wù)，現(xiàn)以近幾年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線題為例來探究運算關(guān)的突破策略.

一、圓錐曲線問題的運算障礙

圓錐曲線求解過程中不可避免地涉及方程與不等式的求解，運算次序不同，結(jié)構(gòu)識別不對，就會導(dǎo)致運算障礙；圓錐曲線問題中涉及的變量較多，消元順序不同，也會導(dǎo)致運算繁雜程度不同，錯點、漏洞和智慧點缺失構(gòu)成運算障礙關(guān).

1.解方程(不等式)的痛點

學(xué)生在解方程運算、解不等式運算、代數(shù)變形運算和數(shù)字運算中簡化能力的不足可能形成痛點，不能越過圓錐曲線的運算障礙關(guān).

【例1】(2019·全國卷Ⅰ理·10)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為

( )

【解析】如圖，設(shè)|AF2|=2|F2B|=2r1，|AF1|=r2.

解得a2=3，b2=2，故選B.

【體驗反思】(1)充分利用智慧點——利用同一個角在不同三角形中運用余弦定理，建立方程；

(2)掌握技術(shù)點——列方程解方程技術(shù)，數(shù)值運算技術(shù).

【變式】(2018·全國卷Ⅲ理·16)已知點M(-1，1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若∠AMB=90°，則k=________.

【體驗反思】此題在解方程等代數(shù)變形中，只要出現(xiàn)一點失誤(寫錯一個負(fù)號或數(shù)字)都會導(dǎo)致結(jié)果錯誤，比如(*)處，在不同消元思想支配下，運算方向不同，就會導(dǎo)致運算結(jié)果表現(xiàn)形式不同，稍微有一點失誤，再利用韋達(dá)定理時，結(jié)果就不對，后續(xù)運算不可能正確.

2.圓錐曲線運算的智慧點

【體驗反思】(1)圓錐曲線問題中出現(xiàn)共線向量時，智慧點就是點的坐標(biāo)之間的溝通，如果不能掌握這一點，不僅運算量大，而且容易出錯；

(2)圓錐曲線問題中的方程(組)的特點就是變量多，消元時方法多，運算智慧點多，但總的原則是遵循運算的順序，關(guān)注代數(shù)式的結(jié)構(gòu)；

(3)解方程組時，一般會有多種運算途徑，一要根據(jù)代數(shù)結(jié)構(gòu)的特點來決定運算方向，確定求解方法；二要遵循一些規(guī)則，如先化無理式為有理式，化分式為整式，化分?jǐn)?shù)為整數(shù)，有公約數(shù)(式)先約分.總之，注意尋找最優(yōu)的求解方法.

【素養(yǎng)水平】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中對綜合問題情境中的運算有著明確的水平要求，解此問題的過程中需要的數(shù)學(xué)運算水平：在綜合的情境中，能夠把問題轉(zhuǎn)化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向.能夠?qū)\算問題，構(gòu)造運算程序，解決問題.能夠用程序思想理解與表達(dá)問題.

二、圓錐曲線運算訓(xùn)練方向

1.突破解方程(不等式)的心理障礙

【體驗反思】這是2016年浙江高考數(shù)學(xué)圓錐曲線題解析中的節(jié)選，專家多次強調(diào)要在圓錐曲線問題中檢測考生的運算能力，其中解方程與解不等式是主旋律，上述的每一步都是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的內(nèi)容，但在綜合運算時，由于運算方向不明確，變形能力弱而導(dǎo)致止步不前，丟失大分.

【素養(yǎng)水平】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中對關(guān)聯(lián)的情境中的運算有著明確的水平要求，解此問題的過程中需要的數(shù)學(xué)運算水平：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運算對象，提出運算問題.能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設(shè)計運算程序，解決問題.能夠理解運算是一種演繹推理.能夠在綜合運用運算方法解決問題的過程中，體會程序思想的意義和作用.

2.突破圓錐曲線運算技術(shù)障礙

圓錐曲線題中運算量較大，其中涉及運算技術(shù)的比重較大，學(xué)生面對復(fù)雜的代數(shù)式只會硬算，缺少對代數(shù)結(jié)構(gòu)的分析與識別，因此選擇適合的運算途徑尤為重要.

【例4】(2019·浙江卷·21)如圖，已知點F(1，0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點.過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側(cè).記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.

(Ⅰ)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.

(Ⅱ)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC)，重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0，則xA=t2.

所以直線AC的方程為y-2t=2t(x-t2)，得Q(t2-1,0).

由于Q在焦點F的右側(cè)，故t2>2.

令m=t2-2，則m>0，

【體驗反思】(1)建立面積之比的函數(shù)是第一關(guān)，大多數(shù)考生可以達(dá)到，但是面對復(fù)雜的繁分運算時，紛紛下馬，事實上，按照分式運算規(guī)則，通分，除以一個代數(shù)式就是乘以這個代數(shù)式的倒數(shù)；

(3)運算中最重要的是要觀察結(jié)構(gòu)、隨步化簡.

3.強化運算方法優(yōu)化訓(xùn)練

圓錐曲線中的點與線是主體，代數(shù)化過程中必然涉及表達(dá)方式，設(shè)得巧，運算就簡化，否則就繁雜，無法進(jìn)行下去.

【體驗反思】(1)充分利用智慧點——挖掘平面幾何性質(zhì)，運用焦半徑性質(zhì)；

(2)熟練掌握技術(shù)點——建立圓的方程技術(shù)，解方程技術(shù).

【變式】(2018·浙江卷·21)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.

(Ⅰ)設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；

所以y1+y2=2y0,

因此，PM垂直于y軸.

(2)題中第(Ⅱ)問涉及三角形面積的表達(dá)方式，因此面積函數(shù)的繁雜程度也不同；

因此結(jié)合這幾點，復(fù)習(xí)教學(xué)中有意識地設(shè)置“問題思考點”，對于訓(xùn)練學(xué)生的運算思維很有用處.

4.關(guān)注運算方向的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

圓錐曲線的幾何性質(zhì)要通過代數(shù)運算來證明或求解，其中合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.比如，證明互補的兩個角的關(guān)系，利用正切函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為斜率之和為0，這是此類問題最常見的轉(zhuǎn)化模式.

(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

【解析】(Ⅰ)由已知得F(1,0)，l的方程為x=1.

(Ⅱ)當(dāng)l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.

當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，

由y1=kx1-k,y2=kx2-k得

從而kMA+kMB=0，故直線MA與MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB.

綜上，∠OMA=∠OMB.

【體驗反思】(1)題中第(Ⅰ)問是簡單的，每個學(xué)生都可以做好，第(Ⅱ)問，證明兩個角相等，畫出圖形后，除了要考慮特殊位置關(guān)系外，還要考慮如何通過代數(shù)方法來證明兩個幾何角相等，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個角之間的聯(lián)系——傾斜角互補性，利用兩直線斜率互為相反數(shù)可以解決；

(2)第(Ⅱ)問中如何驗證兩直線斜率互為相反數(shù)，必須尋找一個“橋”——直線l的斜率，此時將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題已經(jīng)成功，剩下的就是運算了；

因此，由上述幾點可見，運算的本質(zhì)是表達(dá)與轉(zhuǎn)化——表達(dá)的簡潔性，轉(zhuǎn)化的合理性.

三、圓錐曲線運算關(guān)突破策略

1.觀察結(jié)構(gòu)，同步化簡

圓錐曲線運算中不論是方程求解還是代數(shù)式變形，面對復(fù)雜的代數(shù)式，第一，從結(jié)構(gòu)上入手，有公因式首先要提出來或約去；第二，無理式化有理式，分式化整式，多元化一元都是必須堅持的優(yōu)先原則；第三，不斷地觀察所面對的復(fù)雜代數(shù)式中的特點，以便明確下一步的運算方向.

(1)解方程運算中，始終觀察方程的特點，充分利用方程給出的信息，減少運算步驟；

(2)熟練掌握運算技術(shù)，時刻關(guān)注運算方向并靈活運算.

2.研究途徑，尋找方向

圓錐曲線中的運算問題大多都需要合理轉(zhuǎn)化后才能解決，轉(zhuǎn)化方向很多，運算途徑也很多，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，積累轉(zhuǎn)化類型與轉(zhuǎn)化方法，每年高考圓錐曲線問題都在此處設(shè)置障礙，通過訓(xùn)練一旦突破，圓錐曲線問題便可迎刃而解.

3.強化意識，提運算力